2012年高考题

1

2012年全国统一高考数学试卷〔理科〕〔新课标〕

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给同的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．〔5分〕已知集合A={1，2，3，4，5}，B={〔x，y〕|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，

则B中所含元素的个数为〔〕

A．3B．6C．8D．10

2．〔5分〕将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社

会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有〔〕

A．12种B．10种C．9种D．8种

3．〔5分〕下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为〔〕，

p1：|z|=2，

p2：z2=2i，

p3：z的共轭复数为1+i，

p4：z的虚部为﹣1．

A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4

4．〔5分〕设F1、F2是椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点，P为直线

x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为〔〕

A．B．C．D．

5．〔5分〕已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=〔〕

A．7B．5C．﹣5D．﹣7

6．〔5分〕如果执行右边的程序框图，输入正整数N〔N≥2〕和实数a1，a2，…，

an，输出A，B，则〔〕

2

A．A+B为a1，a2，…，an的和

B．为a1，a2，…，an的算术平均数

C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数

7．〔5分〕如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视

图，则此几何体的体积为〔〕

3

A．6B．9C．12D．18

8．〔5分〕等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准

线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为〔〕

A．B．C．4D．8

9．〔5分〕已知ω＞0，函数f〔x〕=sin〔ωx+〕在区间[，π]上单调递减，

则实数ω的取值范围是〔〕

A．B．C．D．〔0，2]

10．〔5分〕已知函数f〔x〕=，则y=f〔x〕的图象大致为〔〕

A．B．C．D．

11．〔5分〕已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的外表上，△ABC是边长为

1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为〔〕

A．B．C．D．

12．〔5分〕设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln〔2x〕上，则|PQ|最小值

为〔〕

A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．

二．填空题：本大题共4小题，每题5分．

13．〔5分〕已知向量夹角为45°，且，则=．

14．〔5分〕设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．

15．〔5分〕某个部件由三个元件按下列图方式连接而成，元件1或元件2正常

工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命〔单位：

小时〕均服从正态分布N〔1000，502〕，且各个元件能否正常相互独立，那么该

4

部件的使用寿命超过1000小时的概率为．

16．〔5分〕数列{an}满足an+1+〔﹣1〕nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．〔12分〕已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC

﹣ccosA．

〔1〕求A；

〔2〕假设a=2，△ABC的面积为，求b，c．

18．〔12分〕某花店每天以每枝5元的价格从农场购进假设干枝玫瑰花，然后以

每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

〔1〕假设花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y〔单位：元〕关于当天需

求量n〔单位：枝，n∈N〕的函数解析式．

〔2〕花店记录了100天玫瑰花的日需求量〔单位：枝〕，整理得如表：

日需求量n

920

频数

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

〔i〕假设花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润〔单位：元〕，求X的分

布列，数学期望及方差；

〔ii〕假设花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17

枝？请说明理由．

19．〔12分〕如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，

DC1⊥BD

〔1〕证明：DC

1⊥BC；

〔2〕求二面角A

1﹣BD﹣C1的大小．

5

20．〔12分〕设抛物线C：x2=2py〔p＞0〕的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以

F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

〔1〕假设∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

〔2〕假设A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一

个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

21．〔12分〕已知函数f〔x〕满足f〔x〕=f′〔1〕ex﹣1﹣f〔0〕x+x2；

〔1〕求f〔x〕的解析式及单调区间；

〔2〕假设，求〔a+1〕b的最大值．

四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

计分，作答时请写清题号．

22．〔10分〕如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的

外接圆于F，G两点，假设CF∥AB，证明：

〔1〕CD=BC；

〔2〕△BCD∽△GBD．

23．选修4﹣4；坐标系与参数方程

6

已知曲线C

1的参数方程是〔φ为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的

正半轴为极轴建立坐标系，曲线C

2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都

在C

2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为〔2，〕．

〔1〕求点A，B，C，D的直角坐标；

〔2〕设P为C

1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

24．已知函数f〔x〕=|x+a|+|x﹣2|

〔1〕当a=﹣3时，求不等式f〔x〕≥3的解集；

〔2〕假设f〔x〕≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

7

2012年全国统一高考数学试卷〔理科〕〔新课标〕

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给同的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．〔5分〕〔2012•新课标〕已知集合A={1，2，3，4，5}，B={〔x，y〕|x∈A，y

∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为〔〕

A．3B．6C．8D．10

【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，

即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项

【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，

x=4时，y=1，2，3，

x=3时，y=1，2，

x=2时，y=1

综上知，B中的元素个数为10个

故选D

2．〔5分〕〔2012•新课标〕将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、

乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方

案共有〔〕

A．12种B．10种C．9种D．8种

【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分

步计数原理，将各步结果相乘即可得结果

【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；

第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；

第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法

故不同的安排方案共有2×6×1=12种

8

故选A

3．〔5分〕〔2012•新课标〕下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题

为〔〕，

p1：|z|=2，

p2：z2=2i，

p3：z的共轭复数为1+i，

p4：z的虚部为﹣1．

A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4

【分析】由z===﹣1﹣i，知，，

p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．

【解答】解：∵z===﹣1﹣i，

∴，

，

p3：z的共轭复数为﹣1+i，

p4：z的虚部为﹣1，

故选C．

4．〔5分〕〔2012•新课标〕设F1、F2是椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左、右

焦点，P为直线x=上一点，△F

2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心

率为〔〕

A．B．C．D．

【分析】利用△F

2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为

直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．

【解答】解：∵△F

2PF1是底角为30°的等腰三角形，

∴|PF

2|=|F2F1|

9

∵P为直线x=上一点

∴

∴

故选C．

5．〔5分〕〔2012•新课标〕已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=

〔〕

A．7B．5C．﹣5D．﹣7

【分析】由a

4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比

数列的通项可求a

1，a10，即可

【解答】解：∵a

4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8

∴a

4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4

当a

4=4，a7=﹣2时，，

∴a

1=﹣8，a10=1，

∴a

1+a10=﹣7

当a

4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1

∴a

1+a10=﹣7

综上可得，a

1+a10=﹣7

故选D

6．〔5分〕〔2012•新课标〕如果执行右边的程序框图，输入正整数N〔N≥2〕和

10

实数a

1，a2，…，an，输出A，B，则〔〕

A．A+B为a1，a2，…，an的和

B．为a1，a2，…，an的算术平均数

C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是求出a

1，a2，…，an中最大的数和最小的数．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，

可知，该程序的作用是：求出a

1，a2，…，an中最大的数和最小的数

其中A为a

1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数

故选：C．

11

7．〔5分〕〔2012•新课标〕如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是

某几何体的三视图，则此几何体的体积为〔〕

A．6B．9C．12D．18

【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即

可．

【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；

底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，

此几何体的体积为V=×6×3×3=9．

故选B．

8．〔5分〕〔2012•新课标〕等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛

物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为〔〕

A．B．C．4D．8

【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2〔a＞0〕，y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛

物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．

【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2〔a＞0〕，

y2=16x的准线l：x=﹣4，

∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，

∴A〔﹣4，2〕，B〔﹣4，﹣2〕，

将A点坐标代入双曲线方程得=4，

∴a=2，2a=4．

12

故选C．

9．〔5分〕〔2012•新课标〕已知ω＞0，函数f〔x〕=sin〔ωx+〕在区间[，

π]上单调递减，则实数ω的取值范围是〔〕

A．B．C．D．〔0，2]

【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，

得到结果．

法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．

【解答】解：法一：令：不合题意排除〔D〕

合题意排除〔B〕〔C〕

法二：，

得：．

故选A．

10．〔5分〕〔2012•新课标〕已知函数f〔x〕=，则y=f〔x〕的图象大

致为〔〕

A．B．C．D．

【分析】考虑函数f〔x〕的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f〔x〕

的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明

【解答】解：设

则g′〔x〕=

13

∴g〔x〕在〔﹣1，0〕上为增函数，在〔0，+∞〕上为减函数

∴g〔x〕＜g〔0〕=0

∴f〔x〕=＜0

得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f〔x〕＜0排除A，C，

又f〔x〕=中，，能排除D．

故选B

11．〔5分〕〔2012•新课标〕已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的外表上，

△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积

为〔〕

A．B．C．D．

【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO

1，进而求出底面

ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．

【解答】解：根据题意作出图形：

设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O

1，则OO1⊥平面ABC，

延长CO

1交球于点D，则SD⊥平面ABC．

∵CO

1==，

∴OO

1==，

∴高SD=2OO

1=，

∵△ABC是边长为1的正三角形，

∴S

△ABC

=，

∴V

三棱锥S﹣ABC

==．

故选：C．

14

12．〔5分〕〔2012•新课标〕设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln〔2x〕上，

则|PQ|最小值为〔〕

A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．

【分析】由于函数与函数y=ln〔2x〕互为反函数，图象关于y=x对称，要

求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为

的最小值，

设g〔x〕=，利用导数可求函数g〔x〕的单调性，进而可求g〔x〕的最

小值，即可求．

【解答】解：∵函数与函数y=ln〔2x〕互为反函数，图象关于y=x对称，

函数上的点到直线y=x的距离为，

设g〔x〕=〔x＞0〕，则，

由≥0可得x≥ln2，

由＜0可得0＜x＜ln2，

∴函数g〔x〕在〔0，ln2〕单调递减，在[ln2，+∞〕单调递增，

∴当x=ln2时，函数g〔x〕

min=1﹣ln2，

，

15

由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．

故选B．

二．填空题：本大题共4小题，每题5分．

13．〔5分〕〔2012•新课标〕已知向量夹角为45°，且，

则=3．

【分析】由已知可得，=，代入

|2|====可求

【解答】解：∵，=1

∴=

∴|2|====

解得

故答案为：3

14．〔5分〕〔2012•新课标〕设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y

的取值范围为．

【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣

表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求

z的最大与最小值，从而可求z的范围

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域

由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，

截距越大，z越小

结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直

线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大

16

由可得B〔1，2〕，由可得A〔3，0〕

∴Z

max=3，Zmin=﹣3

则z=x﹣2y∈[﹣3，3]

故答案为：[﹣3，3]

15．〔5分〕〔2012•新课标〕某个部件由三个元件按下列图方式连接而成，元件1

或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使

用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布N〔1000，502〕，且各个元件能否正常相

互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．

【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的

概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000

小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同

时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可

【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N〔1000，502〕

17

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时

时，元件3正常}

C={该部件的使用寿命超过1000小时}

则P〔A〕=，P〔B〕=

P〔C〕=P〔AB〕=P〔A〕P〔B〕=×=

故答案为

16．〔5分〕〔2012•新课标〕数列{an}满足an+1+〔﹣1〕nan=2n﹣1，则{an}的前60

项和为1830．

【分析】由题意可得a

2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，

a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，

a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{an}的前60项

和

【解答】解：∵a

n+1+〔﹣1〕nan=2n﹣1，

∴有a

2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．

从而可得a

3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，

a16+a14=56，…

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2

个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．

∴{a

n}的前60项和为15×2+〔15×8+〕=1830，

故答案为：1830．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．〔12分〕〔2012•新课标〕已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对

边，c=asinC﹣ccosA．

〔1〕求A；

〔2〕假设a=2，△ABC的面积为，求b，c．

18

【分析】〔1〕由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；

〔2〕有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．

【解答】解：〔1〕c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：

sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•〔sinA﹣cosA﹣1〕=0，

又，sinC≠0，

所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin〔A﹣〕=1，

所以A=；

〔2〕S

△ABC

=bcsinA=，所以bc=4，

a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，

即有，

解得b=c=2．

18．〔12分〕〔2012•新课标〕某花店每天以每枝5元的价格从农场购进假设干枝

玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾

处理．

〔1〕假设花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y〔单位：元〕关于当天需

求量n〔单位：枝，n∈N〕的函数解析式．

〔2〕花店记录了100天玫瑰花的日需求量〔单位：枝〕，整理得如表：

日需求量n

920

频数

10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

〔i〕假设花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润〔单位：元〕，求X的分

布列，数学期望及方差；

〔ii〕假设花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17

枝？请说明理由．

【分析】〔1〕根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立

分段函数；

19

〔2〕〔i〕X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期

望及方差；

〔ii〕求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可

得到结论．

【解答】解：〔1〕当n≥16时，y=16×〔10﹣5〕=80；

当n≤15时，y=5n﹣5〔16﹣n〕=10n﹣80，得：

〔2〕〔i〕X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其

他情况X=80，

P〔X=60〕===0.1，P〔X=70〕=0.2，P〔X=80〕

=1﹣0.1﹣0.2=0.7，

X的分布列为

X607080

P

EX=60×+70×+80×0.7=76

DX=162×+62×+42×0.7=44

〔ii〕购进17枝时，当天的利润的期望为y=〔14×5﹣3×5〕×+〔15×5﹣2×5〕

×+〔16×5﹣1×5〕×+17×5×

∵＞76，∴应购进17枝

19．〔12分〕〔2012•新课标〕如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D

是棱AA

1的中点，DC1⊥BD

〔1〕证明：DC

1⊥BC；

〔2〕求二面角A

1﹣BD﹣C1的大小．

20

【分析】〔1〕证明DC

1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；

〔2〕证明BC⊥面ACC

1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于

点H，连接C

1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的

平面角，由此可求二面角A

1﹣BD﹣C1的大小．

【解答】〔1〕证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°

同理：∠A

1DC1=45°，∴∠CDC1=90°

∴DC

1⊥DC，DC1⊥BD

∵DC∩BD=D

∴DC

1⊥面BCD

∵BC⊂面BCD

∴DC

1⊥BC

〔2〕解：∵DC

1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，

∵AC⊂面ACC

1A1，∴BC⊥AC

取A

1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH

∵A

1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，

∵面A

1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，

∴C

1O⊥面A1BD

而BD⊂面A

1BD

∴BD⊥C

1O，

∵OH⊥BD，C

1O∩OH=O，

∴BD⊥面C

1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1

的平面角

21

设AC=a，则，，

∴sin∠C

1DO=

∴∠C

1DO=30°

即二面角A

1﹣BD﹣C1的大小为30°

20．〔12分〕〔2012•新课标〕设抛物线C：x2=2py〔p＞0〕的焦点为F，准线为l，

A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

〔1〕假设∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

〔2〕假设A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一

个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

【分析】〔1〕由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的

距离，由△ABD的面积S

△ABD

=，知

=，由此能求出圆F的方程．

〔2〕由对称性设，则点A，B关于点F对称得：

，得：，由此能求出坐

标原点到m，n距离的比值．

【解答】解：〔1〕由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p

点A到准线l的距离，

∵△ABD的面积S

△ABD

=，

22

∴=，

解得p=2，所以F坐标为〔0，1〕，

∴圆F的方程为x2+〔y﹣1〕2=8．

〔2〕由题设，则，

∵A，B，F三点在同一直线m上，

又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．

由点A，B关于点F对称得：

得：，直线，

切点

直线

坐标原点到m，n距离的比值为．

21．〔12分〕〔2012•新课标〕已知函数f〔x〕满足f〔x〕=f′〔1〕ex﹣1﹣f〔0〕x+x2；

〔1〕求f〔x〕的解析式及单调区间；

〔2〕假设，求〔a+1〕b的最大值．

【分析】〔1〕对函数f〔x〕求导，再令自变量为1，求出f′〔1〕得到函数的解析

式及导数，再由导数求函数的单调区间；

〔2〕由题意，借助导数求出新函数

的最小值，令其大于0即可得到参数a，b所满足的关系式，再研究〔a+1〕b

的最大值

【解答】解：〔1〕

令x=1得：f〔0〕=1

23

∴令x=0，得f〔0〕=f'〔1〕e﹣1=1解得f'〔1〕=e

故函数的解析式为

令g〔x〕=f'〔x〕=ex﹣1+x

∴g'〔x〕=ex+1＞0，由此知y=g〔x〕在x∈R上单调递增

当x＞0时，f'〔x〕＞f'〔0〕=0；当x＜0时，有

f'〔x〕＜f'〔0〕=0得：

函数的单调递增区间为〔0，+∞〕，单调递减区间为〔﹣∞，0〕

〔2〕得h′〔x〕=ex﹣〔a+1〕

①当a+1≤0时，h′〔x〕＞0⇒y=h〔x〕在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h〔x〕

→﹣∞与h〔x〕≥0矛盾

②当a+1＞0时，h′〔x〕＞0⇔x＞ln〔a+1〕，h'〔x〕＜0⇔x＜ln〔a+1〕

得：当x=ln〔a+1〕时，h〔x〕

min=〔a+1〕﹣〔a+1〕ln〔a+1〕﹣b≥0，即〔a+1〕

﹣〔a+1〕ln〔a+1〕≥b

∴〔a+1〕b≤〔a+1〕2﹣〔a+1〕2ln〔a+1〕，〔a+1＞0〕

令F〔x〕=x2﹣x2lnx〔x＞0〕，则F'〔x〕=x〔1﹣2lnx〕

∴

当时，

即当时，〔a+1〕b的最大值为

四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

计分，作答时请写清题号．

22．〔10分〕〔2012•新课标〕如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线

DE交△ABC的外接圆于F，G两点，假设CF∥AB，证明：

〔1〕CD=BC；

〔2〕△BCD∽△GBD．

24

【分析】〔1〕根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四

边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；

〔2〕证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．

【解答】证明：〔1〕∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点

∴DF∥BC，AD=DB

∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形

∴CF∥BD，CF=BD

∴CF∥AD，CF=AD

∴四边形ADCF是平行四边形

∴AF=CD

∵，∴BC=AF，∴CD=BC．

〔2〕由〔1〕知，所以．

所以∠BGD=∠DBC．

因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．

所以△BCD～△GBD．

23．〔2012•新课标〕选修4﹣4；坐标系与参数方程

已知曲线C

1的参数方程是〔φ为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的

正半轴为极轴建立坐标系，曲线C

2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都

25

在C

2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为〔2，〕．

〔1〕求点A，B，C，D的直角坐标；

〔2〕设P为C

1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

【分析】〔1〕确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；

〔2〕利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得

|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

【解答】解：〔1〕点A，B，C，D的极坐标为

点A，B，C，D的直角坐标为

〔2〕设P〔x

0，y0〕，则为参数〕

t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ

∵sin2φ∈[0，1]

∴t∈[32，52]

24．〔2012•新课标〕已知函数f〔x〕=|x+a|+|x﹣2|

〔1〕当a=﹣3时，求不等式f〔x〕≥3的解集；

〔2〕假设f〔x〕≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

【分析】〔1〕不等式等价于，或，或

，求出每个不等式组的解集，

再取并集即得所求．

〔2〕原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值

范围．

【解答】解：〔1〕当a=﹣3时，f〔x〕≥3即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，

或②，

26

或③．

解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．

把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．

〔2〕原命题即f〔x〕≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在

[1，2]上恒成立，

等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．

故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，

故a的取值范围为[﹣3，0]．