二次函数顶点公式

1.求抛物线的顶点、对称轴：顶点是），（

a

bac

a

b

4

4

2

2

，对称轴是直线

a

b

x

2



.

2.抛物线cbxaxy2中，

b

和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线

cbxaxy2的对称轴是直线

a

b

x

2



，故：①

0b

时，对称轴为y轴；②0

a

b

（即a、

b

同号）时，对称轴在y轴左侧；③

0

a

b

（即a、

b

异号）时，对称轴在y轴右侧.（同

左异右）

3.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标

1

x、

2

x，通常选用交点式：

21

xxxxay.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以

写成交点式，只有抛物线与

x

轴有交点，即240bac

时，抛物线的解析式才可以用交点

式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

4.抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为

00

21

，，，xBxA，由于

1

x、

2

x是方程02cbxax的两个根，故

5.点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为

2

21

2

21

yyxx

6.直线斜率：

12

12tan

xx

yy

k







7.对于点P（x0，y0）到直线滴一般式方程ax+by+c=0滴距离有

22

00

a

ba

cbyx

d







8.平移口诀：上加下减，左加右减

二、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk

关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk

；

2.关于

y

轴对称

2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk

关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk

；

3.关于原点对称

2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk

关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk

；

4.关于顶点对称

2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2

b

yaxbxc

a

；

2yaxhk

关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk

．

5.关于点mn，对称

2yaxhk

关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a

永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合

适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，

再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．