2013高考数学试卷及答案

2013年高考数学理科试题及答

案(新课标1卷)

2

2013年高考理科数学试题解析（新课标Ⅰ）

第Ⅰ卷

一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合

2|20,|55AxxxBxx，则()

A.A∩B=B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B

2.若复数z满足(34)|43|izi，则z的虚部为()

A.4B.4

5

C.4D.4

5

3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中

小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该

地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较

大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽

样方法中，最合理的抽样方法是()

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分

层抽样D.系统抽样

4.已知双曲线C：22

22

1

xy

ab

（0,0ab）的离心率为5

2

，则C的

渐近线方程为

A.1

4

yxB.1

3

yxC.1

2

yx

5.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t，则输出s属于

A.[3,4]B

.[5,2]C.[4,3]D.[2,5]

6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容

器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，

3

当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容

器的厚度，则球的体积为()

A.3

500

3

cm

B.3

866

3

cm

C.3

1372

3

cm

D.

3

2048

3

cm



7.设等差数列



n

a的前n项和为

11

,2,0,3

nmmm

SSSS



，则m

()

A.3B.4C.5D.6

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．168B．88C．1616D．816

9.设m为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为

a，21()mxy展开式的二项式系数的最大值为b，若137ab，

则m()

4

5

6

产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数

记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，

若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再

从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批

产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检

验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优

质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每

件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费

用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

20.(本小题满分12分)已知圆M:22(1)1xy,圆

N

:22(1)9xy,动圆

P与M外切并且与圆

N

内切，圆心

P

的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）

l

是与圆

P

,圆

M

都相切的一条直线，

l

与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，

求|AB|.

21.（本小题满分共12分）已知函数()fx＝2xaxb，()gx＝

()xecxd，若曲线()yfx和曲线()ygx都过点P(0，2)，且在

点P处有相同的切线42yx

7

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥－2时，()fx≤()kgx，

求k的取值范围。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如

图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC

的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于

点F，求△BCF外接圆的半径。

23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已

知曲线C

1

的参数方程为45cos

55sin

xt

yt











(t为参数），以坐标原点

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

2

的

极坐标方程为2sin。

（Ⅰ）把C

1

的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C

1

与C

2

交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数()fx=|21||2|xxa,()gx=3x.

8

（Ⅰ）当a=2时，求不等式()fx＜()gx的解集；

（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[

2

a

，1

2

)时，()fx≤()gx,求a的取

值范围.

参考答案

一、选择题

1．B.2．D.3．C.4．C.

5．A.6．A.7．C.8．A.9．B.10．D.11．D.12．B

13．【解析】bc=[(1)]tt•bab=

2(1)tt•abb=

1

1

2

tt=

1

1

2

t=0，解得t=2.

14．【解析】当n=1时，

1

a=

1

S=

1

21

33

a，解得

1

a=1，

当n≥2时，

n

a=

1nn

SS



=

21

33n

a－(

1

21

33n

a



)=

1

22

33nn

aa



，即

n

a=

1

2

n

a



，

∴{

n

a}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴

n

a=1(2)n.

15．【解析】∵()fx=sin2cosxx=

525

5(sincos)

55

xx

令cos=

5

5

，

25

sin

5

，则()fx=5(sincossincos)xx=5sin()x，

当x=2,

2

kkz



，即x=2,

2

kkz



时，()fx取最大值，此时=2,

2

kkz



，∴

cos=cos(2)

2

k



=sin=

25

5

.

16．【解析】由()fx图像关于直线x=－2对称，则

0=(1)(3)ff=

22[1(3)][(3)3]ab，

0=(1)(5)ff=

22[1(5)][(5)5]ab，解得a=8，b=15，

9

∴()fx=

22(1)(815)xxx，

∴()fx



=

222(815)(1)(28)xxxxx=324(672)xxx

=4(2)(25)(25)xxx

当x∈(－∞,25)∪(－2,25)时，()fx



＞0，

当x∈(25,－2)∪(25,+∞)时，()fx



＜0，

∴()fx在（－∞，25）单调递增，在（25，－2）单调递减，在（－2，25）单调递增，

在（25，+∞）单调递减，故当x=25和x=25时取极大值，(25)f=(25)f=16.

17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=

o60，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得

2PA=o

11

323cos30

42

=

7

4

，∴PA=

7

2

；

（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=sin，在△PBA中，由正弦定理得，

oo

3sin

sin150sin(30)









，化简得，

3cos4sin，

∴tan=

3

4

，∴tanPBA=

3

4

.

18．【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，

1

AB，

1

AE，

∵AB=

1

AA，

1

BAA=060，∴

1

BAA是正三角形，

∴

1

AE⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵

1

CEAE=E，∴AB⊥面

1

CEA，

∴AB⊥

1

AC；……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，

1

EA⊥AB，

又∵面ABC⊥面

11

ABBA，面ABC∩面

11

ABBA=AB，∴EC⊥面

11

ABBA，∴EC⊥

1

EA，

10

∴EA，EC，

1

EA两两相互垂直，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所

示空间直角坐标系Oxyz，

有题设知A(1,0,0),

1

A(0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=（1,0，3）,

1

BB=

1

AA=(－

1,0,3),

1

AC=(0,－3,3),……9分

设n=(,,)xyz是平面

11

CBBC的法向量，

则

1

0

0

BC

BB



•





•





n

n

，即

30

30

xz

xy















，可取n=（3，1，-1），

∴

1

cos,ACn=1

1

|

AC

AC

•n

|n||

10

5

，

∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为

10

5

.……12分

19．【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件

B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验

为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，

∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=

324

4

111

()()

222

C+4

11

()

22

=

3

64

.…6分

（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且

P(X=400)=1-

334

4

111

()()

222

C=

11

16

，P(X=500)=

1

16

，P(X=800)=

33

4

11

()

22

C=

1

4

，

∴X的分布列为

X400500800

P11

16

1

16

1

4

……10分

EX=400×

11

16

+500×

1

16

+800×

1

4

=506.25……12分

20．【解析】由已知得圆M的圆心为M（-1，0）,半径

1

r=1，圆N的圆心为N(1,0),半径

2

r=3.

设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

（Ⅰ）∵圆P与圆M外切且与圆N内切，∴|PM|+|PN|=

12

()()RrrR=

12

rr=4，

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为

22

1(2)

43

xy

x.

11

（Ⅱ）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=22R≤2，∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.

∴当圆P的半径最长时，其方程为

22(2)4xy，

当l的倾斜角为

090时，则l与y轴重合，可得|AB|=23.

当l的倾斜角不为

090时，由

1

r≠R知l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q，则

||

||

QP

QM

=

1

R

r

，可求得Q（-4，0），

∴设l：(4)ykx，由l于圆M相切得

2

|3|

1

1

k

k





，解得

2

4

k.

当k=

2

4

时，将

2

2

4

yx代入

22

1(2)

43

xy

x并整理得27880xx，解得

1,2

x=

462

7



，

∴|AB|=

2

12

1||kxx=

18

7

.

当k=－

2

4

时，由图形的对称性可知|AB|=

18

7

，

综上，|AB|=

18

7

或|AB|=23.

21．【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4fgfg



，

而()fx



=2xb，()gx



=()xecxdc，∴a=4，b=2，c=2，d=2；……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

2()42fxxx，()2(1)xgxex，

设函数()Fx=()()kgxfx=

22(1)42xkexxx（2x），

()Fx



=2(2)24xkexx=2(2)(1)xxke，

有题设可得(0)F≥0，即1k，

令()Fx



=0得，

1

x=lnk，

2

x=－2，

（1）若

21ke，则－2＜

1

x≤0，∴当

1

(2,)xx时，()Fx＜0，当

1

(,)xx时，()Fx＞0，即()Fx

在

1

(2,)x单调递减，在

1

(,)x单调递增，故()Fx在x=

1

x取最小值

1

()Fx，而

1

()Fx=2

111

2242xxx=

11

(2)xx≥0，

∴当x≥－2时，()Fx≥0，即()fx≤()kgx恒成立，

12

(2)若

2ke，则()Fx



=222(2)()xexee，

∴当x≥－2时，()Fx



≥0，∴()Fx在(－2,+∞)单调递增，而(2)F=0，

∴当x≥－2时，()Fx≥0，即()fx≤()kgx恒成立，

(3)若

2ke，则(2)F=222ke=222()eke＜0，

∴当x≥－2时，()fx≤()kgx不可能恒成立，

综上所述，k的取值范围为[1,

2e].

22．【解析】（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.

由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，

又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=

090，由勾股定理可得DB=DC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG=

3

2

.

设DE中点为O，连结BO，则∠BOG=

o60，∠ABE=∠BCE=∠CBE=o30，

∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圆半径等于

3

2

.

23.【解析】将

45cos

55sin

xt

yt











消去参数t，化为普通方程

22(4)(5)25xy，

即

1

C：22810160xyxy，将

cos

sin

x

y















代入

22810160xyxy得，

28cos10sin160，

∴

1

C的极坐标方程为28cos10sin160；

（Ⅱ）

2

C的普通方程为2220xyy，

由

22

22

810160

20

xyxy

xyy















解得

1

1

x

y











或

0

2

x

y











，∴

1

C与

2

C的交点的极坐标分别为（2,

4



），(2,)

2



.

13

24．【解析】当a=-2时，不等式()fx＜()gx化为|21||22|30xxx，

设函数y=|21||22|3xxx，y=

1

5,

2

1

2,1

2

36,1

xx

xx

xx

























，

其图像如图所示

从图像可知，当且仅当(0,2)x时，y＜0，∴原不等式解集是{|02}xx.

（Ⅱ）当x∈[

2

a

，

1

2

)时，()fx=1a，不等式()fx≤()gx化为13ax，

∴2xa对x∈[

2

a

，

1

2

)都成立，故

2

a



2a，即a≤

4

3

，

∴a的取值范围为（-1，

4

3

].