圆锥曲线方程

高中数学第八章-圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．

双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．

抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．

考试要求：

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．

（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．

（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．

（4）了解圆锥曲线的初步应用．

§08.圆锥曲线方程知识要点

一、椭圆方程.

1.椭圆方程的第一定义：

为端点的线段以

无轨迹

方程为椭圆

212121

2121

2121

,2

,2

,2

FFFFaPFPF

FFaPFPF

FFaPFPF











⑴①椭圆的标准方程：

i.中心在原点，焦点在x轴上：

)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x



.ii.中心在原点，焦点在

y

轴上：

)0(1

2

2

2

2

ba

b

x

a

y



.

②一般方程：

)0,0(122BAByAx.③椭圆的标准参数方程：1

2

2

2

2



b

y

a

x

的参数方程为















sin

cos

by

ax

（一象限应是属于

2

0



）.椭圆面积S=PI*a*b

⑵①顶点：

),0)(0,(ba

或

)0,)(,0(ba

.②轴：对称轴：x轴，

y

轴；长轴长

a2

，短轴长

b2

.③

焦点：

)0,)(0,(cc

或

),0)(,0(cc

.④焦距：22

21

,2baccFF

.⑤准线：

c

a

x

2

或

c

a

y

2

.⑥离心率：

)10(e

a

c

e

.⑦焦点半径：

i.设

),(

00

yxP

为椭圆)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

上的一点，

21

,FF为左、右焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.离心率为：椭圆上的点到焦点的距离比上到准线的距离

ii.设),(

00

yxP为椭圆)0(1

2

2

2

2

ba

a

y

b

x

上的一点，

21

,FF为上、下焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：

)0()(),0()(

000

2

200

2

01

xaexx

c

a

epFxexa

c

a

xepF

归结起来为

“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆.



0201

,exaPFexaPF



0201

,eyaPFeyaPF

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(

22

2

2

a

b

c

a

b

d和

),(

2

a

b

c

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

的离心率是

)(22bac

a

c

e

，方

程tt

b

y

a

x

(

2

2

2

2

是大于0的参数，)0ba的离心率也是

a

c

e

我们称此方程为共离心率的

椭圆系方程.

⑸若P是椭圆：1

2

2

2

2



b

y

a

x

上的点.

21

,FF为焦点，若

21

PFF，则

21

FPF的面积为

2

tan2



b（用余弦定理与aPFPF2

21

可得）.若是双曲线，则面积为

2

cot2



b.

二、双曲线方程.

1.双曲线的第一定义：

的一个端点的一条射线以

无轨迹

方程为双曲线

212121

2121

2121

,2

2

2

FFFFaPFPF

FFaPFPF

FFaPFPF











⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(1

2

2

2

2

2

2

2

2

ba

b

x

a

y

ba

b

y

a

x

.一般方程：

)0(122ACCyAx.

⑵①i.焦点在x轴上：

顶点：

)0,(),0,(aa

焦点：

)0,(),0,(cc

准线方程

c

a

x

2

渐近线方程：

0

b

y

a

x

或

0

2

2

2

2



b

y

a

x

ii.焦点在

y

轴上：顶点：),0(),,0(aa.焦点：),0(),,0(cc.准线方程：

c

a

y

2

.渐近线

方程：

0

b

x

a

y

或0

2

2

2

2



b

x

a

y

，参数方程：















tan

c

by

ax

或















c

tan

ay

bx

.

②轴

yx,

为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率

a

c

e

.④准线距

c

a22

（两准线的距离）；通径

a

b22

.⑤参数关系

a

c

ebac,222.⑥焦点半径公式：对于双曲

线方程1

2

2

2

2



b

y

a

x

（

21

,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：

aexMF

aexMF





02

01构成满足

aMFMF2

21



aexFM

aexFM









02

01（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半

径要带符号计算，而双曲线不带符号）

▲

asinacos

,(

)

bsinbcos

(

)

,

N

y

x

N的轨迹是椭圆

▲

y

x

M'

M

F

1

F

2

▲

y

x

M'

M

F

1

F

2

aeyFM

aeyFM

aeyMF

aeyMF





















0

2

0

1

02

01

⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为

xy

，离心率2e.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭

双曲线.



2

2

2

2

b

y

a

x

与



2

2

2

2

b

y

a

x

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：0

2

2

2

2



b

y

a

x

.

⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(

2

2

2

2



b

y

a

x

的渐近线方程为0

2

2

2

2



b

y

a

x

如果双曲线的

渐近线为

0

b

y

a

x

时，它的双曲线方程可设为)0(

2

2

2

2



b

y

a

x

.

例如：若双曲线一条渐近线为xy

2

1

且过)

2

1

,3(p，求双曲线的方程？

解：令双曲线的方程为：

)0(

4

2

2

y

x

，代入)

2

1

,3(得

1

28

2

2



y

x

.

⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4

条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入

”“

法与渐

近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

，则常用结论1：P到焦点的距离为m：n，则P到两准线的距

离比为m︰n.

简证：

e

PF

e

PF

d

d

2

1

2

1

=

n

m

.

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

▲

y

x

F

1F

2

1

2

3

4

5

3

3

3.设

0p

，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

pxy22pxy22pyx22pyx22

图形▲

y

x

O

▲

y

x

O

▲

y

x

O

▲

y

x

O

焦点

)0,

2

(

p

F)0,

2

(

p

F)

2

,0(

p

F)

2

,0(

p

F

准线

2

p

x

2

p

x

2

p

y

2

p

y

范围

Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx

对称轴x轴

y

轴

顶点（0，0）

离心率

1e

焦点

12

x

p

PF

12

x

p

PF

12

y

p

PF

12

y

p

PF

注：①xcbyay2顶点

)

24

4

(

2

a

b

a

bac





.

②)0(22ppxy则焦点半径

2

P

xPF

;)0(22ppyx则焦点半径为

2

P

yPF

.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

④pxy22（或pyx22）的参数方程为











pty

ptx

2

22

（或











22

2

pty

ptx

）（t为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义..

4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线

l

的距离之比为常数e的点的轨迹.

当

10e

时，轨迹为椭圆；

当

1e

时，轨迹为抛物线；

当

1e

时，轨迹为双曲线；

当

0e

时，轨迹为圆（

a

c

e

，当bac,0时）.

5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关

于原点对称的.

因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆双曲线抛物线

定义1．到两定点F

1

,F

2

的距离

之和为定值2a(2a>|F

1

F

2

|)

的点的轨迹

1．到两定点F

1

,F

2

的距

离之差的绝对值为定值

2a(0<2a<|F

1

F

2

|)的点的

轨迹

2．与定点和直线的距离

之比为定值e的点的轨

迹.（0

2．与定点和直线的距离

之比为定值e的点的轨

迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等

的点的轨迹.

图形

方

程

标准

方程1

2

2

2

2



b

y

a

x

(ba>0)1

2

2

2

2



b

y

a

x

(a>0,b>0)

y2=2px

参数

方程

为离心角）参数





(

sin

cos











by

ax

为离心角）参数





(

tan

c











by

ax











pty

ptx

2

22

(t为参数)

范围─axa，─byb|x|a，yR

x0

中心原点O（0，0）原点O（0，0）

顶点

(a,0),(─a,0),(0,b),

(0,─b)

(a,0),(─a,0)(0,0)

对称轴x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;

实轴长2a,虚轴长2b.

x轴

焦点

F

1

(c,0),F

2

(─c,0)F

1

(c,0),F

2

(─c,0)

)0,

2

(

p

F

焦距

2c（c=22ba）2c（c=22ba）

离心率

)10(e

a

c

e)1(e

a

c

e

e=1

准线

x=

c

a2

x=

c

a2



2

p

x

渐近线

y=±

a

b

x

焦半径exar

)(aexr

2

p

xr

通径

a

b22

a

b22

2p

焦参数

c

a2

c

a2

P

1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.

2.等轴双曲线3.共轭双曲线

5.方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.6.共渐近线的双曲线系方程.

高中数学第九章-立体几何

考试内容

平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．

平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．

直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平

面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．

平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性

质．

多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．

考试要求

（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空

间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．

（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概

念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．

（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质

定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂

线定理及其逆定理．

（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行

平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．

（5）会用反证法证明简单的问题．

（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．

（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．

（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．

（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．

9（B）．直线、平面、简单几何体

考试内容：

平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．

平行直线．

直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．

两个平面的位置关系．

空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．

直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．

直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平

面内的射影．

平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性

质．

多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．

考试要求：

（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出

空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．

（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和

平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．

（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．

（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．

（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；

掌握空间两点间距离公式．

（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．

（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距

离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握

两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．

（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．

（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．

（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．

（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．

（考生可在9（A）和9（B）中任选其一）