高一数学课本

高一数学课本内容

第一章集合与简易逻辑

本章概述

1.教学要求

[1]理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;

掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法;熟练掌握一元二次不等式的解法.

[3]理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件.

2.重点难点

重点：有关集合的基本概念;一元二次不等式的解法及简单应用;逻辑联结词"或"、"且"、"非"与充要条件.

难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系;"四个二次"之间的关系;对一些代数命

题真假的判断.

3.教学设想

利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念;突出一种数学方法--元素分析法;渗透两种数学思想--数形结合

思想与分类讨论思想;掌握三种数学语言--文字语言、符号语言、图形语言的转译.

1.1集合(2课时)

目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法;初步了解集合的分类及性质。

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法--列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

教学过程：

第一课时

一、引言：(实例)用到过的"正数的集合"、"负数的集合"、"不等式2x-1>3的解集"

如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

集合与元素：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

指出："集合"如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示：

用大括号表示集合{...}

如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合

如：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

常用数集及其记法：

1.非负整数集(即自然数集)记作：N2.正整数集N*或N+3.整数集Z

4.有理数集Q5.实数集R

集合的三要素：1。元素的确定性;2。元素的互异性;3。元素的无序性

三、关于"属于"的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A记作a?A，相反，a不属于

集A记作a?A(或aA)例：见P4-5中例

四、练习P5略

五、集合的表示方法：列举法与描述法

1.列举法：把集合中的元素一一列举出来。

例：由方程x2-1=0的解集;例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合。

2.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①文字语言描述法：例{斜三角形}再见P6○2符号语言描述法：例不等式x-3>2的解集图形语言描述法(不

等式的解集、用图形体现"属于"，"不属于")。

3.用图形表示集合(韦恩图法)P6略

六、集合的分类

1.有限集2.无限集

七、小结：概念、符号、分类、表示法

八、作业P7习题1.1

1.1第二教时

一、复习：(结合提问)

1.集合的概念含集合三要素

2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3.集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集

4.关于"属于"的概念

二、例题

例一用适当的方法表示下列集合：(符号语言的互译，用适当的方法表示集合)

1.平方后仍等于原数的数集

解：{x|x2=x}={0,1}

2.不等式x2-x-6<0的整数解集

解：{x?Z|x2-x-6<0}={x?Z|-2

3.方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集

解：{(x,y)|4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)|(2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)|(1/2,-2/3)}

4.使函数有意义的实数x的集合

解：{x|x2+x-6?0}={x|x?2且x?3,x?R}

例二、下列表达是否正确，说明理由.

1.Z={全体实数}2.R={实数集}={R}3.{(1，2)}={1，2}4.{1，2}={2，1}

例三、设集合试判断a与集合B的关系.

例四、已知

例五、已知集合，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围.

三、作业《教材精析精练》P5智能达标训练

1.2子集、全集、补集

教学目的：通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

(1)了解集合的包含、相等关系的意义;(2)理解子集、真子集的概念;

(3)理解补集的概念;(4)了解全集的意义.

教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

教学过程:

第一课时

一提出问题:集合与集合之间的关系.

存在着两种关系:"包含"与"相等"两种关系.

二"包含"关系-子集

1.实例:A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}引导观察.

结论:对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:集合A包含于集合B,或集合B

包含集合A,记作A?B(或B?A);也说:集合A是集合B的子集.

2.反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B(或B?A)

注意:?也可写成?;?也可写成?;í也可写成ì;?也可写成?。

3.规定:空集是任何集合的子集.φ?A

三"相等"关系

1.实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}"元素相同"

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是

集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

2.①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集：如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作

③空集是任何非空集合的真子集。

④如果A?B,B?C,那么A?C

同样;如果A?B,B?C,那么A?C

⑤如果A?B同时B?A那么A=B

四例题：

例一写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

例二解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来.

练习课本P9

例三已知，问集合M与集合P之间的关系是怎样的?

例四已知集合M满足

五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号

几个性质：A?A

A?B,B?C==>A?C

A?BB?A==>A=B

作业：P10习题1.21,2,3

1.2第二教时

一复习：子集的概念及有关符号与性质。

提问：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它

们之间的关系。

二补集与全集

1.补集、实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加

校运动会同学的集合。

集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。

定义：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的

补集(或余集)

记作：CsA即CsA={x?x?S且x?A}

2.全集

定义：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表

示。

如：把实数R看作全集U,则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合。

例1(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA

(2)若A={0}，求证：CNA=N*。

(3)求证：CRQ是无理数集。

例2已知全集U=R，集合A={x|1≤2x+1<9｝，求CA。

例3已知S={x|-1≤x+2<8｝，A={x|-2<1-x≤1｝，

B={x|5<2x-1<11｝，讨论A与CB的关系。

三练习：P10(略)

1、已知全集U={x|-1

(A)a<9(B)a≤9(C)a≥9(D)1

2、已知全集U={2，4，1-a｝，A={2，a2-a+2｝。如果CUA=

{-1｝，那么a的值为。

3、已知全集U，A是U的子集，是空集，B=CUA，求CUB，CU，CUU。

(CUB=CU(CUA，CU=U，CUU=)

4、设U={梯形｝,A={等腰梯形｝,求CUA.

5、已知U=R，A={x|x2+3x+2<0｝,求CUA.

6、集合U={(x，y)|x∈{1,2｝,y∈{1,2｝｝,

A={(x，y)|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求CUA.

7、设全集U(UΦ)，已知集合M，N，P，且M=CUN，N=CUP，则M与P的关系是()

(A)M=CUP，(B)M=P，(C)MP，(D)MP.

四小结：全集、补集

五作业P104，5

1.2第三教时

一、复习：子集、补集与全集的概念，符号

二、讨论：1.补集必定是全集的子集，是否必是真子集?什么时候是真子集?

2.A?B如果把B看成全集，则CBA是B的真子集吗?什么时候(什么条件下)CBA是B的真子集?

3.研究

三、例题

例一设集合CUA={5}，求实数a的值.

例二设集合

例三已知集合且A中至多只有一个奇数，写出所有满足条件的集合.

例四设全集U={2,3,},A={b,2},={b,2},求实数a和b的值.

(a=2、-4,b=3)

四、作业

《精析精练》P9智能达标训练

1.3交集与并集(3课时)

教学目的：通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。

(1)结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念;

(2)掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集;

教学重点：交集和并集的概念

教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系

教学过程：

一、复习引入：

1.说出的意义。

2.填空：若全集U={x|0≤x<6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么CUA=,CUB=.

3.已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为

C=.

4.如果集合A={a,b,c,d}B={a,b,e,f}用韦恩图表示(1)由集合A,B的公共元素组成的集合;(2)把集合A,B合

并在一起所成的集合.

公共部分A∩B合并在一起A∪B

二、新授

定义：交集：A∩B={x|x?A且x?B}符号、读法

并集：A∪B={x|x?A或x?B}

例题：例一设A={x|x>-2},B={x|x<3},求.

例二设A={x|是等腰三角形},B={x|是直角三角形},求.

例三设A={4，5，6，7，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.

例四设A={x|是锐角三角形},B={x|是钝角三角形},求A∪B.

例五设A={x|-1

例六设A={2,-1,x2-x+1},B={2y,-4,x+4},C={-1,7}且A∩B=C求x,y.

解：由A∩B=C知7?A∴必然x2-x+1=7得

x1=-2,x2=3

由x=-2得x+4=2?C∴x?-2

∴x=3x+4=7?C此时2y=-1∴y=-

∴x=3,y=-

例七已知A={x|2x2=sx-r},B={x|6x2+(s+2)x+r=0}且A∩B={}求A∪B.

解：∵?A且?B∴

解之得s=?2r=?

∴A={?}B={?}

∴A∪B={?,?}

练习P12

三、小结：交集、并集的定义

四、作业：课本P13习题1、31--5

补充：设集合A={x|?4≤x≤2},B={x|?1≤x≤3},C={x|x≤0或x≥},

求A∩B∩C,A∪B∪C。

1.3第二教时

复习：交集、并集的定义、符号

授课：一、集合运算的几个性质：

研究题设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}B={4，7，8}

求：(CUA)∩(CUB),(CUA)∪(CUB),CU(A∪B),CU(A∩B)

若全集U,A,B是U的子集，探讨(CUA)∩(CUB),(CUA)∪(CUB),CU(A∪B),CU(A∩B)之间的关系.

结合韦恩图得出公式：(反演律)

(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)

(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)

另外几个性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,

A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

(注意与实数性质类比)

例8.设A={x|x2?x?6=0}B={x|x2+x?12=0}，求;A∪B

二、关于奇数集、偶数集的概念及一些性质

例9.已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，

求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，A∪Z，B∪Z.

练习P13

三、关于集合中元素的个数

规定：有限集合A的元素个数记作：card(A)作图观察、分析得：

card(A∪B)?card(A)+card(B)

card(A∪B)=card(A)+card(B)?card(A∩B)

五、作业：课本P146、7、8

1.3第三教时

例1.如图(1)U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字标出的区域，试填下表：

区域号相应的集合1CUA∩CUB2A∩CUB3A∩B4CUA∩B集合相应的区域号A

2，3B3，4U1，2，3，4A∩B3

图(1)图(2)

例2.如图(2)U是全集，A，B，C是U的三个子集，图中有8个用数字标

出的区域，试填下表：(见右半版)

区域号相应的集合1CUA∩CUB∩CUC2A∩CUB∩CUC3A∩B∩CUC4CUA∩B∩CUC5A∩CUB∩C

6A∩B∩C7CUA∩B∩C8CUA∩CUB∩C集合相应的区域号A2，3，5，6B3，4，6，7C5，6，7，

8∪1，2，3，4，5，6，7，8A∪B2，3，4，5，6，7A∪C2，3，5，6，7，8B∪C3，4，5，6，7，8例

3.已知：A={(x,y)|y=x2+1,x?R}B={(x,y)|y=x+1,x?R}求A∩B。

例4.设集合.

例5.已知集合(1)判断B,C,D间的关系;(2)求A∩B.

例6.已知集合

若.

作业：《精析精练》P15智能达标训练

集合单元小结(2课时)

教学目的：小结、复习整单元的内容，使学生对有关的知识有全面系统的理解。

一、复习：

1.基本概念：集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集

2.含同类元素的集合间的包含关系：子集、等集、真子集

3.集合与集合间的运算关系：全集与补集、交集、并集

4.主要性质和运算律

(1)包含关系：

(2)等价关系：

(3)集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律:.

0-1律：

等幂律：

求补律：

反演律：(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)

(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)

5.有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为n(A).规n(φ)=0.

基本公式：

(3)

二、例题及练习

1、用适当的符号(?，?，，，=，?)填空：

0?;0N;?{0};2{x|x?2=0};

{x|x2-5x+6=0}{2,3};(0,1){(x,y)|y=x+1};

{x|x=4k,k?Z}{y|y=2n,n?Z};{x|x=3k,k?Z}{x|x=2k,k?Z};

{x|x=a2-4a,a?R}{y|y=b2+2b,b?R}

2、用适当的方法表示下列集合，然后说出其是有限集还是无限集。

①由所有正奇数组成的集合;({x=|x=2n+1,n?N}无限集注意"自然数"定义)

②由所有小于20的奇质数组成的集合;

③平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合;

④方程x2-x+1=0的实根组成的集合;(?有限集)

⑤所有周长等于10cm的三角形组成的集合;

3、已知集合A={x,x2,y2-1},B={0,|x|,y}且A=B求x,y。

4、求满足{1}A?{1,2,3,4,5}的所有集合A。

5、设U={x?N|x<10},A={1,5,7,8},B={3,4,5,6,9},C={x?N|0≤2x-3<7}求：

A∩B,A∪B,(CUA)∩(CUB),(CUA)∪(CUB),A∩C,[CU(C∪B)]∩(CUA)。

6、设A={x|x=12m+28n,m、n?Z},B={x|x=4k,k?Z}求证:1。8?A2。A=B

7、设A∩B={3},(CUA)∩B={4,6,8},A∩(CUB)={1,5},(CUA)∪(CUB)

={x?N*|x<10且x?3},求CU(A∪B),A,B。

8、设A={x|?3≤x≤a},B={y|y=3x+10,x?A},C={z|z=5?x,x?A}且B∩C=C求实数a的取值范围。

9、设集合A={x?R|x2+6x=0},B={x?R|x2+3(a+1)x+a2?1=0}且A∪B=A求实数a的取值范围。

10、方程x2?ax+b=0的两实根为m,n,方程x2?bx+c=0的两实根为p,q,其中m、n、p、q互不相等，集合A={m,n,p,q},

作集合S={x|x=?+?,??A,??A且???}，P={x|x=??,??A,??A且???},若已知S={1,2,5,6,9,10},P={?7,?3,?2,6,

14,21}求a,b,c的值。

1.5一元二次不等式(4课时)

教学目的：

1.理解三个二次的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法;

2.初步掌握高次不等式、分式不等式的解法;

3.用数形结合的思想方法,处理简单的一元二次方程根的分布问题.

4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力;

教学重点：图象法解一元二次不等式。

教学难点：字母系数的讨论;一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系。一元二次方程根的分布.

关键:弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。

教学过程：

第一课时

一、复习引入：

讨论不等式3x-15>0(或<0)的解法。(分别用图象解法和代数解法)

二、讲解新课：

1.画出函数的图象，利用图象讨论：

(1)方程=0的解是什么;(2)x取什么值时，函数值大于0;

(3)x取什么值时，函数值小于0。

2.一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢?关键要考虑以下两点：

(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况

(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号。

3.结论：

二次函数

()的图象一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

三、讲解范例：

例1(课本第19页例2)解不等式

例2.

例3(课本第19页例3)解不等式.

例4(课本第20页)解不等式.

例5解关于x的不等式

四、课内练习

(课本第21页)练习1-3.

五、作业:

课本第21页习题1.51.3.5

1.5第二课时(高次不等式、分式不等式解法)

一、复习引入：

1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。

2.一元二次不等式的解法步骤。

一元二次不等式的解.

3.乘法(除法)运算的符号法则.

二、讲解新课：

⒈特殊的高次不等式解法

例1解不等式.

分析：由乘法运算的符号法则结合数轴引导学生导出简单高次不等式的根轴法.

思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数的特征图像

根轴法(零点分段法)

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)...(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化"+";(为了统一方便)

②求根，并在数轴上表示出来;

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么?);

④若不等式(x的系数化"+"后)是">0",则找"线"在x轴上方的区间;若不等式是"<0",则找"线"在x轴下方的区

间.

例2解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.

例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.

例4解不等式：.

结论：分式不等式的解法

移项通分化为>0(或<0)的形式，转化为：

例5解不等式：.

三、课堂练习：1.课本P21练习：3⑴⑵;2.解不等式.

2解不等式：.

四、作业

1.解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.

2.若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.

1.5第三课时(含参一元二次不等式)

一、复习引入：

1.函数、方程、不等式的关系

2.一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项

二、讲解新课：

例1解关于x的不等式：(x-+12)(x+a)<0.

例2若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.

例3已知关于x的二次不等式：a+(a-1)x+a-1<0的解集为R，求a的取值范围.

例4已知集合求实数a的取值范围

练习：已知(-1)-(a-1)x-1<0的解集为R，求实数a的取值范围.

三、作业

1.如果不等式x2-2ax+1≥(x-1)2对一切实数x都成立，a的取值范围是。

2.如果对于任何实数x，不等式kx2-kx+1>0(k>0)都成立，那么k的取值范围是。

3.对于任意实数x，代数式(5-4a-)-2(a-1)x-3的值恒为负值，求a的取值范围。

4.设α、β是关于方程-2(k-1)x+k+1=0的两个实根，求y=+关于k的解析式，并求y的取值范围。

1.5第四课时(一元二次方程实根的分布1"零分布")

教学目的：

1.掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法

2.培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力;

3.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神。

教学重点：用韦达定理解"含参二次方程的实根分布"问题的基本方法。

教学难点：韦达定理的正确使用。

教学过程：

一、复习引入：

韦达定理：

方程()的二实根为、，则

二、讲解新课：

例1当m取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:

①两个正根;②一正根和一负根;

③正根绝对值大于负根绝对值;④两根都大于1.

解：设方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根为、

①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：(无解)

∴此时m的集合是φ，即原方程不可能有两个正根.

②若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：

m<5.∴此时m的取值范围是m<5.

③若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：

m<2.

④错解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则正解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满

足：

m∈φ.

∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1.

说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.

例2.已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.

解：要原方程有两个负实根，必须:

.

∴实数k的取值范围是{k|-2

二、练习：

1.关于x的方程m+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是：

A.(-,+);B.(-,-);C.[-，+];D.(-,0)∪(0,+).

2.若方程-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.

三、小结

用韦达定理解"含参二次方程的实根分布"问题的基本方法

四、作业(补充)：

1、若方程有两个负根，则实数的取值范围是。

2、若方程的一个根大于4，另一个根小于4，求实数的取值范围。

3、若方程的两个实根都在和4之间，求实数的取值范围。

4、设α、β是关于方程-2(k-1)x+k+1=0的两个实根，求y=+关于k的解析式，并求y的取值范围。

1.6逻辑联结词(2课时)

教学目的：了解命题的概念和含有"或"、"且"、"非"的复合命题的构成;理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的

含义;理解掌握判断复合命题真假的方法;培养学生观察、推理、归纳推理的思维能力。

教学重点(难点)：逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义及复合命题的构成、

对"或"的含义的理解及对命题"真""、"假"的判定.

教学过程：

第一课时

1.命题的定义：可以判断真假的语句叫命题。正确的叫真命题，错误的叫假命题。

问题1下列语句中哪些是命题，哪些不是命题?并说明理由：(1)12>6.(2)3是15的约数.(3)0.2是整数.(4)3

是12的约数吗?(5)x>2.(6)这是一棵大树.

命题的结构：主语-连结词(判断词)-宾语;通常主语为条件，连结词和宾语合为结论.

语句形式：直言判断句和假言判断句.(把直言判断句改写成"若...则..."的形式)

大前提与小前提：例同一三角形中，等边对等角.

2.逻辑连接词

问题2(续问题1)(7)10可以被2或5整除;

(8)菱形的对角线互相垂直且平分;(9)0.5非整数。

逻辑联结词："或"、"且"、"非"这些词叫做逻辑联结词。

3.简单命题与复合命题：

简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题。

复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。

复合命题构成形式的表示：常用小写拉丁字母p、q、r、s......表示命题。

如(7)构成的形式是：p或q;(8)构成的形式是：p且q;(9)构成的形式是：非p.

例1：指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：

(1)24既是8的倍数，也是6的倍数;(2)李强是篮球运动员或跳高运动员;

(3)平行线不相交(非"平行线相交")

例2分别写出由下列命题构成的"p或q"、"p且q""、"非p"形式的复合命题.

(1)p：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根，q：方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.

(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;

q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.

三、课堂练习：课本P26，1、2，

四、课时小结:(略)

五、课后作业：课本：P29，习题1.6：1、2.;

1.6第二课时

一、复习回顾

什么叫做命题?逻辑联结词是什么?什么叫做简单命题和复合命题?

二、讲授新课

P非p真假假真1、复合命题的真假判断

(1)非p形式的复合命题

例1：①如果p表示"2是10的约数"，试判断非p的真假.

②p表示"3≤2"，那么非p表示什么?并判断其真假

结论非p复合命题判断真假的方法是：当p为真时，非p为假;当p为假时，非p为真。

(2)p且q形式的复合命题

例2：如果p表示"5是10的约数";q表示"5是15的约数";r表示"5是8的约数";s表示"5是16的约数"。试写出p

且q，p且r，r且s的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律。结论如表二.

(3)p或q形式的复合命题

pqp或q真真真真假真假真真假假假pqp且q真真真真假假假真假假假假例

3：如果p表示"5是12的约数";q表示"5是15的约数";r表示"5是8的约数";s表示"5是10的约数"，试写出，p或r，

q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律。

结论如表三.

(表二)(表三)

上述三个表示命题的真假的表叫做真值表。

2、运用举例

例4：分别指出由下列各组命题构成的"p或q"，"p且q"，"非p"形式的复合命题的真假.

(1)p：2+2=5;q：3>2;(2)p:9是质数;q：8是12的约数;

(3)p：1∈{1，2};q：{1}{1，2};(4)p：?{0};q：?={0}。

例5：由下列各组命题构成"p或q"、"p且q"、"非p"形式的复合命题中，"p或q"为真，"p且q"为假，"非

p"为真的是()

A、p：3是偶数，q：4为奇数;B、p：3+2=6，q：5>3;

C、p：a∈{a,b}，q：{a}{a,b}D、p：QR，q：N=Z

三、课堂练习：课本P28，1、2

四、作业：课本P29，习题1.6,3、4;

1.7四种命题(3课时)

教学目的：

1.理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示;理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假。

2.理解反证法的基本原理;掌握运用反证法的一般步骤;并能用反证法证明一些命题;

教学重点：四种命题的概念;理解四种命题的关系。

教学难点：逆否命题的等价性。

教学过程：

第一课时

一、复习回顾

什么叫做命题的逆命题?

二、讲授新课

1、四种命题的概念

阅读课本P29-30，思考下列问题：

(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义分别是什么?

(2)原命题的形式表示为"若p则q"，则其它三种命题的形式如何表示?

如果原命题为：若p则q，则它的：

逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题;

否命题为：若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题;

逆否命题为：若┐q则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.

例把下列三个命题改写成"若p则q"的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题：

(1)两直线平行，同位角相等;

(2)负数的平方是正数;

(3)四边相等的四边形是正方形.

三、课堂练习：课本P31：1、2

四、课时小结：

五、课后作业：

书面作业：P33，习题1.7，1、2;预习提纲：

(1)四种命题之间的关系是什么?

(2)一个命题与其它三个命题之间的真假关系如何?

1.7第二课时

一、复习回顾

什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?

二、讲授新课

1、四种命题之间的相互关系

请同学们讨论后回答下列问题：

(1)哪些之间是互逆关系?

(2)哪些之间是互否关系?

(3)哪些之间是互为逆否关系?

2、四种命题的真假之间的关系

例1原命题："若a=0,则ab=0."写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

原命题为真，它的逆否命题一定为真.

思考：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?

由上述讨论情况，归纳：

1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.

2.原命题为真，它的否命题不一定为真.

3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.

由上述归纳可知：两个互为逆否命题是等价命题。若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题

的真假。

例2设原命题是"当c>0时，若a>b，则ac>bc."写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。

分析："当c>0"是大前提，写其它命题时应保留，原命题的条件是a>b,结论是ac三、课堂练习：课本P32，1、

2

四、课时小结

五、课后作业书面作业：课本P33，3、4;预习：(课本P32-33)，预习提纲：反证法证明命题的一般步骤是什

么?

1.7第三课时

一、复习回顾

初中已学过反证法，什么叫做反证法?

从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

二、讲授新课

1、反证法证题的步骤

共分三步：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾;(3)由

矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，

可运用反证法进行证明。

例："在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。"

在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原

命题的结论正确.

2、例题讲解

例3：用反证法证明：如果a>b>0,那么。

例4：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图：在⊙0中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径。

求证：弦AB、CD不被P平分。

分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP，由平面几何知识可推出：OP⊥AB且OP⊥CD。又推出：在平面内过一

点P有两条直线AB和CD同时与OP垂直，这与垂线性质矛盾，则原命题成立。

由上述两例题可看：利用反证法证明时，关键是从假设结论的反面出发，经过推理论证，得出可能与命题的条

件，或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯

定了命题结论的正确性。

例5：若p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明：p+q≤2.

证明：假设p+q>2,∵p>0,q>0.则：(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.

又∵p3+q3=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：pq(p+q)>2.(1)

又由p3+q3=2，即(p+q)(p2-pq+q2)=2代入(1)得：pq(p+q)>(p+q)(P2-pq+q2)，

但这与(p-q)2≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.

三、课堂练习：课本P331、2

四、课时小结

五、课后作业：书面作业，课本P34，习题1.7，5;预习提纲：充分条件与必要条件的意义是什么?命题"若p

则q"的真假与p是q的充分条件，q是p的必要条件的关系是什么?

1.8充分条件与必要条件(2课时)

教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用.

2.增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.

教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断。

教学难点：。充分性与必要性的推导顺序

教学过程：

第一课时

一、复习回顾：判断下列命题的真假：

(1)若a>b,则ac>bc;(2)若a>b,则a+c>b+c;

(3)若x≥0,则x2≥0;(4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。

二、讲授新课

1、推断符号""的含义

如果p成立，那么q一定成立，此时可记作"pq"。

如果p成立，推不出q成立，此时可记作"pq"。

2、充分条件与必要条件

定义：如果已知p==>q，那么就说：p是q的充分条件;q是p的必要条件。

应注意条件和结论是相对而言的。由"p==>q"等价命题是"┐q==>┐p"，即若q不成立，则p就不成立，故q就

是p成立的必要条件了。但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立。

讨论上述问题(2)、(3)、(4)中的条件关系：

3、例题讲解

例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

(1)p：x=y;q：x2=y2;

(2)p:三角形的三条边相等;q:三角形的三个角相等;

(3)p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0;(4)p：x=2或x=3,q:x-3=.

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p==>q,而qp;(2)必要不充分条件，

即pq,而q==>p;(3)既充分又必要条件，即p==>q，又有q==>p;(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。

三、课堂练习：课本P351、2四、课时小结：

五、课后作业：书面作业：课本P36，习题1.8:1(1)、(2);2：(1)、(2)、(3);

1.8第二课时

一、复习回顾

一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类?

二、讲授新课：

1、充要条件

请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件?

(1)若a是无理数，则a+5是无理数;

(2)若a>b,则a+c>b+c;

(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0。

命题(1)中因：a是无理数==>a+5是无理数，所以"a是无理数"是"a+5是无理数"的充分条件;又因：a+5是无理

数==>a是无理数，所以"a是无理数"又是"a+5是无理数"的必要条件。因此"a是无理数"是"a+5是无理数"既充分又

必要的条件。

定义：如果既有p==>q，又有q==>p，就记作：pq.""叫做等价符号。pq表示p==>q且q==>p。这时p既是q的

充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。

2、例题讲解

例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在"充分而不必要条件"、"必要而不充分条件"、"充要条件"、"

既不充分也不必要条件"中选出一种)?

(1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0;

(2)p：同位角相等;q：两直线平行。

(3)p：x=3，q：x2=9;

(4)p：四边形的对角线相等;q：四边形是平形四边形。

(5);q：2x+3=x2.

例2设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则"x∈M或x∈P"是"x∈M∩P"的什么条件?

三、课堂练习：课本P36，练习题1、2

四、课时小结

五、作业课本P37，习题1.81.(3)、(4)2.(4)、(5)、(6)3.

第一章复习与小结(3课时)

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

(一)集合

1.基本概念：集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.

2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

3.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

4.集合运算：交、并、补.

5.主要性质和运算律

6.有限集的元素个数

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法(零点分段法)

2.分式不等式的解法

3.含绝对值不等式的解法

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

(1)根的"零分布"：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的"非零分布"：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

(三)简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

3、"或"、"且"、"非"的真值判断

4、四种命题的形式：

5、四种命题之间的相互关系：

6、充要条件充分条件，必要条件，充要条件.

7、反证法.

三、例题

例1：集合A={x|x=,m∈Z,|m|<3,n∈N,n≤3},试用列举法将A表示出来.

例2：设全集，又集合求

(1);(2);(3)(C)(C);

(4)(C)(C);(5)C;(6)(C)

例3：设集合，同时满足下列条件：

(Ⅰ)(Ⅱ)，求α、β的值.

例4：解关于x的不等式.

例5：若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.

例6：已知集合A=，B=，

(1)若，求实数a的取值范围.

(2)若AB，求实数a的取值范围.

例7：指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假

(1)"菱形的对角线互相垂直平分"

(2)""

(3)""

例8：设命题为"若，则关于x的方程有实根"，试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假。

例9：已知x，y，z均为实数，且，，，求证：a，b，c中至少有一个大于0。

例10：命题p：一组对边平行的四边形是平行四边形;命题q：一组对边相等的四边形是平行四边形。写出由其

构成的"p或q"、"p且q"、"非p"形式的复合命题，并指出其真假。

αβγδθλμπφω±?∞∠∥∩∪((????

(≠≤≥φcard()?

第二章函数

函数是高中数学的主线，也是高考的热点之一，根据新教材要求，本章的教学目的要求和教学中的注意事项如

下：

一、教学目的要求

1.理解函数概念,了解映射的概念;

2.理解函数的单调性概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制

过程;

3.了解反函数的概念，了解互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数;

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质;

5.掌握指数函数的概念、图象和性质;

6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质;

7.掌握对数函数的概念、图象和性质;

8.能够运用函数的概念、函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题;

9.实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。

10.在解题和证题过程中，通过运用有关的概念和运用函数的性质，培养学生的思维能力和运算能力;通过揭示

互为反函数的两个函数之间的内在联系，以及指数与对数，指数函数与对数函数之间的内在联系，对学生进行辩证

唯物主义观点的教育;通过联系实际地引入问题和解决简单的带有实际意义的某些问题，培养学生用数学的意识，

提高分析问题和解决实际问题的能力。

二、教学中应该注意的问题

(一)注意与初中内容的衔接

函数这章内容是与初中数学最近的结合点。如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障

碍。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容，

包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等;又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数

幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注

意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。

(二)注意数形结合

本章的内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用。通过观察函数图象的

变化趋势，可以总结出函数的性质。函数与反函数的函数图象的关系也是通过图象变化特点来归纳的性质，指数函

数的性质、对数函数的性质本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅

能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学

生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问

题的习惯。

(三)注意与其他章内容的联系

本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的内容来学

习本章，又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件

在本章中就要用到。同样本章学到的知识将在后续内容也要经常用到。因此，要注意与其他章节的联系，也要注意

联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。

2.1函数2.函数的表示法(4课时)

教学目的：

1.理解函数及映射的概念;明确决定函数的三要素：定义域、值域和对应法则;

2.能够正确理解和使用"区间"、"无穷大"等记号;

3.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法.

4.培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念。

5.理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：理解函数的概念，函数的三要素及其求法;

教学难点：函数的概念，简单的分段函数及复合函数.

教学过程：

第一课时(2.1，2.2概念综述)

一、复习引入：

初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?(课件第一页)

引导观察，(课件第二页)分析以上六个实例。注意讲清以下几点：

1.先讲清对应法则：然后，根据法则，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个(或几个)元素与此相

对应。

2.对应的形式：一对多(如(5))、多对一(如(2))、一对一(如(1)、(3))、一对0(4)

3.集合类型：数的集合与任意集合

二、讲解新课：

(一)函数的概念

由课件第二页(1)、(2)、(3)的共性，引入函数的定义(课件第三页，函数的定义)

强调函数的三要素.

函数符号表示"y是x的函数"，有时简记作函数.

(二)映射的概念(课件第三页，映射的概念、一一映射)

对映射的概念要强调下列两点：

1.映射的三要素;

2.由映射的定义的关键字词概括出映射的特征：

①"A到B"：映射是有方向的，A到B的对应与B到A的对应往往不是同一个对应,如若A到B是求平方，则B

到A则是开平方，因此映射是有序的;

②"任一"：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性;

③"唯一"：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性;

④"在集合B中"：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.

(三)函数与映射的关系：

(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊映射.这里A,B为非空的数集.

映射对集合A,B没有规定"非空"，集合A,B可以是数集，也可以是其它集合.

(2)A：定义域，原象的集合;值域，象的集合,其中?B;

：对应法则，?A，?B

(四)已学函数的定义域和值域

1.一次函数:定义域,值域;

2.反比例函:定义域,值域;

3.二次函数:定义域,值域：当时，;当时.

(五)区间概念和记号(课件第四页)

(六)函数的表示法(参考课件第五页)

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.

⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例

如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.

中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

例如，学生的身高单位：厘米

学号123456789身高8169数学用表中的平方表、平方根表、三

角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.

⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图

象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数

的某些性质.

三、例题

例1求下列函数的定义域：

①;②;③.○4

四、作业

习题2.11，2，3

第二课时(2.1函数,2.2函数的表示法)

教学目的：

1.理解函数的概念，映射的概念;

2.初步掌握函数的表示法.

教学重点难点：函数，映射的"三要素"，分段表示函数的解析式.

教学过程：

一、复习：函数的概念，映射的概念，函数的表示法

二、例题

例1已知函数=3-5x+2，求f(3),f(-),f(a+1).

例2下列函数中哪个与函数是同一个函数?

⑴;⑵;⑶

例3下列各组中的两个函数是否为相同的函数?

①

②

③

○4

例5某种笔记本每个5元，买x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x为自变量的函数y的解析式，

定义域，值域，并画出这个函数的图像。

例6国内投寄信函(外埠)，每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，

每封xg(0

三、课堂练习：课本P51练习1，5，6;P56练习1，2，3

四、作业习题2.14，5，6(3)(4)(6)8

第三课时(2.1,2.2)

教学目的：1.初步掌握分段函数与简单的复合函数，会求它们的解析式，定义域，值域.

2.会画函数的图象，掌握数形结合思想，分类讨论思想.

重点难点：分段函数的概念及其图象的画法.

教学过程：

一、复习函数的概念，函数的表示法

二、例题

例1.已知.求f(f(f(-1)))

(从里往外"拆")

例2.已知f(x)=x2?1g(x)=求f[g(x)]

(介绍复合函数的概念)

例3.若函数的定义域为[?1，1]，求函数的定义域。

例4作出函数的图像

(先化为分段函数，再作图象)

例5.作函数y=|x-2|(x+1)的图像.

(先化为分段函数，再作图象.图象见课件第一页)

例6.作出函数的图象

(用列表法先作第一象限的图象，再根据对称性作第三象限的图象.图象见课件第二页，进一步介绍函数的图

象，见课件第三页)

三、课堂练习课本P56习题2.13，6

四、作业课本P56习题2.14，5，《精析精练》P65智能达标训练

第四课时(2.1，2.2)

教学目的：

1.掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定

区间上的值域(最值)的求法.

2.培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力;

教学重点：值域的求法

教学难点：二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法

教学过程：

一、复习引入：函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则;

定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定。已学过的函数的值域

二、讲授新课

1.直接法：利用常见函数的值域来求

例1.求下列函数的值域

①y=3x+2(-1x1)②

③④

2.二次函数比区间上的值域(最值)：

例2求下列函数的最大值、最小值与值域：

①;②;

③;④;

3.判别式法(△法)：

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母中最高为二次式且至少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数

是否为0的讨论及函数的定义域.

例3.求函数的值域

4.换元法

例4.求函数的值域

5.分段函数

例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

三、单元小结：函数的概念，解析式，定义域，值域的求法.

四、作业：《精析精练》P58智能达标训练

2.3函数的单调性(3课时)

教学目的：理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性;能利用函数的单调性及对称性作一些函

数的图象.

教学重点：函数单调性的概念.

教学难点：函数单调性的证明

教学过程：

第一课时

教学目的：

(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思。

(2)理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念;并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间。

(3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性。

教学重点：函数的单调性的概念;

教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性。

一、复习引入：

观察二次函数y=x2，函数y=x3的图象，由形(自左到右)到数(在某一区间内，当自变量增大时，函数值的变

化情况)(见课件第一页图1，2)

二、讲授新课

⒈增函数与减函数

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当<时，都有f()

⑵若当<时，都有f()>f(),则说f(x)在这个区间上是减函数(如图4).

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一

些区间上不是增函数.例如函数y=(图1)，当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间

叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

三、讲解例题：

例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单

调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.

例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.

例3证明函数f(x)=在(0,+)上是减函数.

例4.讨论函数在(-2,2)内的单调性.

三、练习课本P59练习1，2

四、作业课本P60习题2.31，3，4

2.3函数的单调性(第二课时)

教学目的：

1..巩固函数单调性的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步了解复合函数单调性的判断方法.

2.会求复合函数的单调区间.明确复合函数单调区间是定义域的子集.

教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.

教学难点：单调性的综合运用

一、复习引入：

1.有关概念：增函数，减函数，函数的单调性，单调区间.

2.判断证明函数单调性的一般步骤：(区间内)设量，作差(或比)，变形，比较，判断.

二、讲解新课：

1.函数单调性的判断与证明

例1.求函数的单调区间.

2.复合函数单调性的判断

对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性

的规律见下表：

增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘

增↗以上规律还可总结为："同向得增，异向得减"或"同增异减".

证明：①设，且

∵在上是增函数，

∴，且

∵在上是增函数，∴.

所以复合函数在区间上是增函数.

(同理可证其余三种情况)

例2.求函数的值域，并写出其单调区间。

解：题设函数由和复合而成的复合函数，

函数的值域是，

在上的值域是.

故函数的值域是.

对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数;

二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数。

当时，，即，或.

当时，，即，.

x[-1,0](0,1)u=g(x)增增减减y=f(u)增减减增y=f(g(x))增减增减综上所述，函数在

区间、上是增函数;在区间、上是减函数。

三、课堂练习：课本P60练习：3，4

四、作业：课本P60习题2.36(2)，7

补充，已知：f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)

2.3函数的单调性(第三课时)

教学目的：函数单调性的应用

重点难点：含参问题的讨论，抽象函数问题.

教学过程

一、复习引入函数单调性的概念，复合函数的单调性.

二、例题.

例1.如果二次函数在区间内是增函数，求f(2)的取值范围.

分析：由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,f(2)的取值范围即一次函数y=-2a+11的值域，固应先求其定义域.

例2.设y=f(x)在R上是单调函数，试证方程f(x)=0在R上至多有一个实数根.

分析：根据函数的单调性，用反证法证明.

例3.设f(x)的定义域为，且在上的增函数，

(1)求证f(1)=0;f(xy)=f(x)+f(y);

(2)若f(2)=1,解不等式

分析：利用f(x)的性质，脱去函数的符号，将问题化为解一般的不等式;注意，2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).

例4.已知函数.

(1)当时，求函数f(x)的最小值;

(2)若对任意恒成立，试求实数a的取值范围.

分析：(1)利用f(x)的单调性即可求最小值;

(2)利用函数的性质分类讨论解之.

例5.求函数的单调区间.

分析：利用复合函数的单调性解题.

令即函数的定义域为[-3，1];

再根据复合函数的单调性求出其单调区间.

三、作业：《精析精练》P73智能达标训练.

2.4反函数(三课时)

教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数

2.互为反函数的图象间的关系.

3.反函数性质的应用.

教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.

教学难点：反函数的定义，反函数性质的应用.

教学过程：

第一课时

教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数

2.互为反函数的图象间的关系.

教学重点：反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.

教学难点：反函数的定义和求法。

教学过程：

一、复习引入：

由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,(其中速度v是常量)s是时间t的函数;可以变形为：，这时，位移s

是自变量，时间t是位移s的函数.

又如，在函数中，x是自变量，y是x的函数.由中解出x，得到式子.这样，对于y在R中任何一个值，通过

式子，x在R中都有唯一的值和它对应.因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，

值域是xR.

上述两例中，由函数s=vt得出了函数;由函数得出了函数，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都

存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的;②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而

前者的定义域是后者的值域.我们称这样的每一对函数是互为反函数.

二、讲解新课：

反函数的定义

设函数的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y).若对于y在C中的任何一个

值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的

函数x=(y)(yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成

开始的两个例子：s=vt记为，则它的反函数就可以写为，同样记为，则它的反函数为：.

从映射的角度看，若确定函数y=f(x)的映射是定义域A到值域C的一一映射，则它的逆映射f-1:(x=f-1(y))

C→A确定的函数x=f-1(y)(习惯上记为y=f-1(x))叫做函数y=f(x)的的反函数.

即，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，由此可知：

1.只有"一一映射"确定的函数才有反函数.如(x?R)没有反函数,

而,有反函数是

2.互为反函数的定义域和值域互换.即函数的定义域正好是它的反函数的值域;函数的值域正好是它的反函数

的定义域.且(如下表)：

函数反函数定义域AC值域CA3.函数与互为反函数。即

若函数有反函数，那么函数的反函数就是.

三、例题：

例1.求下列函数的反函数：

①;②;

③;④.

小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明

⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到。

⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射。

例2.求函数()的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。

解：(略)

它们的图像为：由图象看出，函数

()和它的反函数的图象关于直线y=x对称.

一般地，函数的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称..

例3求函数(?1

例4已知=-2x(x≥2),求.

解法1：⑴令y=-2x，解此关于x的方程得，

∵x≥2，∴，即x=1+--①,

⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0--②,

⑶由①②得=1+(x≥0，x∈R);

解法2：⑴令y=-2x=-1，∴=1+y，

∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=--①,即x=1+,

⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0,

⑶∴函数=-2x(x≥2)的反函数是=1+(x≥0);

说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来

函数的定义域.

四、课堂练习：课本P63练习：1-4

五、课后作业：课本第64习题2.4：1(2)(3)(4)(6)(7)(8);2.

2.4.反函数(第二课时)

教学目的：

会利用互为反函数的定义，函数图象间的关系及相关性质解决有关问题.

教学重点：反函数性质的应用

教学难点：反函数性质的应用.

教学过程：

一、复习引入：

1.反函数的定义;

2.互为反函数的两个函数与间的关系：

定义域、值域互换，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称;逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对

称，则这两个函数一定是互为反函数.

3.反函数的求法：一解、二换、三注明

二、例题：

例1.求函数的值域.

分析：用"函数思想"求值域，即由y=f(x)求出x=,则使有意义的y值的集合为原来函数的值域.

例2.已知=(x<-1)，求;

解法1：⑴令=y=，则=，∵x<-1，∴x=-;且y=<0

∴=-(x<0);∴=-2.

分析：由反函数的定义可知y=与y=中，x,y互换，即y=中的x为y=中的y,y=中的y为y=中的x，反之亦然.

本题要求，即在函数=y=(x<-1)中，当y=时，求x的值.

解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.

例3.如果单调增函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则交点必在直线y=x上.

证明：若点(a,b)是函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则b=f(a),b=,.

(1)若a>b,则a=f(b)>b=f(a),即f(b)>f(a).

∵y=是增函数，∴b>a,这与a>b矛盾，∴a>b不成立.

(2)若a∵y=是增函数，∴bb矛盾，∴a

综(1)，(2)可得：a=b,即交点(a,b)在直线y=x上.

说明：题中的y=是单调增函数的条件不可少，反例见课件.

由例3的结论可知，若y=是单调增函数，则方程利用这一点，可以帮助解决一类较复杂的方程问题，如方程不

易求解，这里，是单调增函数，且它的反函数是原方程等价于易得其解集为{1，2}.

例4.已知试求F(x)的最小值.

解：

∴F(x)的最小值是-90.

三、练习：课本P63-64练习：5，6，7

四、作业：课本P64习题2.4：3，4，5，6

2.4反函数(第三课时)

教学目的：

1.求分段函数的反函数及较复杂函数的反函数;

2.利用反函数解决相关综合问题。

教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用

教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.。

教学过程：

一、复习引入：

1.反函数的定义;求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明

互为反函数的两个函数间的关系：

定义域，值域互换;x,y互换;

函数与的图象关于直线对称.

在对应区间同增同减.

注意：反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到

2.函数、、、间的关系：

与、与互为反函数;

与、与为同一函数。

二、讲解例题：

例1.设函数y==，求它的反函数.

分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.

(答案=.)

例2.若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求a,b的值.

分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，注意到原来函数与其反函数x,y互换，则A(1,2)和A'(2，1)都

在图象上.

解：由A(1,2)在=上，则有--①;

由A(1,2)在其反函数图象上，可知(2,1)也在函数=图象上，∴又有--②，

解联立①②的方程组得a=-3,b=7.

例3.若，试求反函数.

分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式.

注意：在利用换元解题时，一定要注意新元(中间变量)的取值范围.

例4.若函数有反函数，求a的取值范围.

略解：

例5.若函数的图象与其反函数的图象总有公共点，求a的范围.

略解：问题等价于关于x的方程有实数解，求a的范围.

，注意到设一元二次方程的两根为x1,x2，∵x1+x2=3,方程x2-3x+a=0有正根的条件是

例6.已知函数且函数f(x)具有反函数，求常数a的取值范围.设a0是满足上述条件的a的最大值，当a=a0

时，求f(x)的反函数.

略解：由题意知，f(x)在(-∞,-1]必为单调函数，故

当a=a0=2时，

则故其反函数为

三、作业：《精析精练》P78智能达标训练

二次函数在区间上的最值问题

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数在区间的最值;

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.

教学重点：二次函数在区间上的最值问题

教学难点：含参问题的讨论.

教学过程：

一、复习引入

1.二次函数的概念和性质;

2.单调函数的概念.

二、例题

例1.求函数当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.

(1)

例2.求函数在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.

例3关于x的方程有两个实根α，β，求α2+β2的最值.

例4.已知函数在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).

(1)求g(a)的表达式;

(2)求g(a)的最大值.

三、作业

1.函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.

2.关于x的不等式上恒成立，求实数a的取值范围.

3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关

系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

(I)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t);

写出图二表求援种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);

(II)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

(注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天)

2.5指数(第一课时-根式)

教学目的：掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中。

教学重点：根式的概念性质

教学难点：根式的概念

教学过程：

一、复习引入：

1.整数指数幂的概念。

2.运算性质：

3.注意

①可看作可归入性质(1)∴==;

②可看作可归入性质(3)∴==

二、讲解新课：

1.方根

⑴计算(可用计算器)

①=9，则3是9的平方根;

②=-125，则-5是-125的立方根;

③若=1296，则6是1296的4次方根;

④=693.43957，则3.7是693.43957的5次方根.

⑵定义：

一般地，若则x叫做a的n次方根。

2.根式

(1)根式定义：式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数

例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为;16的4次方根表示为±，即16的4次方根

有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反.

(2)实数集内方根的规定：

①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数.记作：

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数).记作：

③负数没有偶次方根，

④0的任何次方根为0

注：当a0时，0，表示算术根，所以类似=-2的写法是错误的.

3.根式的运算性质

根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：

①当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.

②当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=.

例如，=-2，=2;=3，=|-3|=3.

⑶根式的基本性质：，(a0).

注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立.例如.

用语言叙述上面三个公式：

⑴当根式有意义时，a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身;n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.

⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者

除以同一个正整数，根式的值不变.

三、例题：

例1(课本第71页例1)求值

①;②;③;④.去掉'a>b'呢?

例2求值：

分析：(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质;

(2)根式的乘、除常化小数为分数;异次根式相乘要化为同次根式再相乘.

四、作业：习题2.51.

补充：1.计算：.

2.化简：.

2.5指数(第二课时-分指数1)

教学目的：

1.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质.

2.会对根式、分数指数幂进行互化.

教学重点：分数指数幂的概念与运算性质.

教学难点：对分数指数幂概念的理解.

教学过程：

一、复习引入：

1.整数指数幂的运算性质：

2.根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，()=a.

②当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：，(a0).

3.引例：当a>0时

①

②

③

④

二、讲解新课：

1.正数的正分数指数幂的意义

(a>0,m,n∈N*,且n>1)

要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.

2.规定：

(1)(a>0，m,n∈N*,且n>1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a>0时，整数指数幂的运算性质，对

于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

3.有理指数幂的运算性质:

说明：若a>0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都

适用，有关概念和证明在本书从略.

三、讲解例题：

例1求值：.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

(式中a>0)

例3计算下列各式(式中字母都是正数)

分析：(1)题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。

(2)题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。

例4计算下列各式：

分析：(1)题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。

(2)题按多项式除以单项式的法则处理，并把根式化成分数指数幂的形式

再计算。

四、练习：课本P14练习

五、作业：

1.课本P75习题2.52.(2)(4)(6)，3.(2)(4)，4.(2)(4)(6)

2.5指数(第三课时)

教学目的：巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算。

教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质。

教学难点：准确应用计算.

教学过程：

一、复习引入：用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

二、例题：

例1计算下列各式：

例2化简：

例3已知,求下列各式的值：

(1)a+a-1,

分析：利用初中学过因式分解知识，设法从整体寻求结果与条件的联系.

例4若.求S的值.(结果可用分数指数表示)

分析：问题则易于解决.

三、练习：

1.练习：课本第78页练习：4;习题：*6⑴，*7⑴.

四、作业：《精析精练》P83智能达标训练.

课题：2.6.1指数函数1

教学目的：理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.

教学重点：指数函数的图象、性质。

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.

教学过程：

一、复习引入：

引例(P57)：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，.......1个这样的细胞分裂x次后，得到

的细胞个数y与x的函数关系是什么?

分裂次数：1，2，3，4，...，x

细胞个数：2，4，8，16，...，y

由上面的对应关系可知，函数关系是.

在中,指数x是自变量，底数2是一个大于0且不等于1的常量.

二、新授内容：

1.指数函数的定义：

函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

探究1：为什么要规定a>0,且a1呢?

探究2：函数是指数函数吗?

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，的图象.

列表如下：

x...-3-2-1-0.500.5123...y=...0.130.250.50.7111.4248...y=...8421.41

0.710.50.250.13...

我们观察y=，y=的图象特征，就可以得到

的图象和性质。

a>10

图

象

性

质(1)定义域：R(2)值域：(0，+∞)(3)过点(0，1)，即x=0时，y=1(4)x>0

时，y>1;x<0时，00时，0<0时，y>1.(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数三、例题：

例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随

时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字)。

分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。

解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。

经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;

经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;

......

一般地，经过x年，剩留量y=0.84

根据这个函数关系式可以列表如下：

x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画出指数函数y=0.84x的图象。从图上

看出y=0.5只需x≈4.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半。

例2(课本第81页)比较下列各题中两个值的大小：

①，;②，;③，

四、练习：⑴比较大小：,

⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：

m

⑶比较下列各数的大小：，

五、课后作业：课本P73习题2.61，2,3,4,5.

2.6指数函数(第二课时)

教学目的：

1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。

2.掌握指数形式的复合函数的定义域、值域，判断其单调性;

教学重点：指数形式的函数定义域、值域

教学难点：判断单调性.

教学过程：

一、复习引入：

的图象和性质。(见课件)

二、讲授范例：

例1求下列函数的定义域、值域：

⑴⑵⑶

(1)题析解：函数由复合而成，由x-1≠0得x≠1，所以，所求函数定义域为;

又，故函数的值域为.

(2)该函数看成由函数复合而成.

由5x-1≥0得

所以，所求函数定义域为;

又由≥0得y≥1

所以，所求函数值域为.

(3)(略)

例2求函数的单调区间，并证明

解法1(定义法，求商比较)

解法二、(用复合函数的单调性)：

设：则：.根据二次函数和指数函数的单调性，列表：

x减减减增增减∴在是增函数，在是减函数

引申：求函数的值域()

例3设a是实数，

试证明对于任意a,为增函数;

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。

(1)证明：设∈R,且

则

由于指数函数y=在R上是增函数,且,

所以即，

又由>0得+1>0,+1>0

所以<0即

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数。

评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。

三、练习：

求下列函数的定义域和值域：

⑴⑵

四、作业：课本P73习题2.63，4，5

2.6指数函数(第三课时)

教学目的：了解函数图象的变换;能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题.

教学重点：函数图象的变换;指数函数性质的运用

教学难点：函数图象的变换;指数函数性质的运用.

教学过程：

一、复习引入：指数函数的定义、图像、性质(定义域、值域、单调性)

二、新授内容：

解：⑴作出图像，显示出函数数据表

x-3-2-101230.1250.250.512480.250.51248160.31250.6250.1250.250.512

比较函数y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，

比较函数y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象。

例2⑴已知函数，求定义域、值域，并探讨与图像的关系。

解：定义域：x?R值域：

关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对称.

⑵已知函数作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系。

解：定义域：x?R值域：

关系：将(x>1)的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称

⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：

基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图或翻转等方法，得到我们所要求

作的复合函数的图象，目前，我们遇到的有以下几种形式：

函数y=f(x)y=f(x+a)a>0时，向左平移a个单位;a<0时，向右平移|a|个单位.y=f(x)+a

a>0时，向上平移a个单位;a<0时，向下平移|a|个单位.y=f(-x)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.

y=-f(x)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对

称.y=f(|x|)y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图

象关于y轴对称.y=|f(x)|∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)图象局部翻转(x轴下方部分翻转1800)所得

图象的组合.y=y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.例3观察函数和的图象的关系，(课件第3页)

并证明关于y轴对称。

例4利用函数的图象作函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程无解?有一解?有两解?

(见课件第4页)

四、课后作业：

课本P102复习参考题二A组13B组1，2，6.

2.6指数函数(第四课时)

教学目的：利用指数函数的概念和性质解题

重点难点：综合应用相关概念和性质

教学过程：

一、复习：复习指数函数的性质，二次函数的单调性.

二、例题

例1.求函数的单调区间和值域.

分析：由的单调性，根据复合函数单调性的求法确定函数的单调区间.

由及y=3u的单调性求函数的值域;注意y>0学生容易遗漏.

例2.设.x为何值时，有(1)y1=y2;(2)y1分析：(1)利用同底数幂相等，指数相等，把问题转化为代数方程求

解.

(2)注意分类讨论，根据指数函数的单调性转化为一元二次不等式求解.

例3.已知函数.

(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的单调区间.

思路引导：(1)求值域中，由题设得后应注意到ax>0;问题转化为关于y的分式不等式.

(2)无论a>0还是0

例4.已知试求函数的定义域.

分析：再分b>a和a

三、作业：《精析精练》P88智能达标训练

2.7对数(第一课时，对数的概念)

教学目的：理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化;

教学重点：对数的概念

教学难点：对数概念的理解.

教学过程：

一、实例引入：

假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍?

抽象出：=2x=?

也是已知底数和幂的值，求指数。怎样求呢?

二、新授内容：

1.对数的定义：一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数

的底数，N叫做真数。

例如：;

;

根据对数的定义可知：底数的取值范围;真数的取值范围范围，即负数与零没有对数.

2.对数中几个常用的恒等式：

(1);(2)

(3)对数恒等式

如果把中的b写成,则有

3.常用对数和自然对数：

(1)常用对数.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数简记作lgN.

例如：简记作lg5;简记作lg3.5.

(2).自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828......为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，

为了简便，N的自然对数简记作lnN.

例如：简记作ln3;简记作ln10

三、讲解范例：

例1将下列指数式写成对数式：

(1)=625(2)=(3)=27(4)=5.73

例2将下列对数式写成指数式：

(1);(2)128=-7;

(3)lg0.01=-2;(4)ln10=2.303

例3计算：⑴，⑵，⑶，⑷

四、练习：课761-4

1.把下列指数式写成对数式

(1)=8(2)=32(3)=(4)

2.把下列对数式写成指数式

(1)9=2(2)125=3

(3)=-2(4)=-4

五、作业：课本P79习题2.71，2

2.7(第二课时，对数的运算性质)

教学目的：

1.掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程;

2.能较熟练地运用法则解决问题;

教学重点：对数运算性质

教学难点：对数运算性质的证明方法.

教学过程：

一、复习引入：

1.对数的定义其中a与N。

2.指数式与对数式的互化

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数;⑵，⑶对数恒等式

4.指数运算法则

二、新授内容：

1.积、商、幂的对数运算法则：

如果a>0，a?1，M>0，N>0有：

运算法则推导用定义法：运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒

等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式。(推导过程略)

注意事项：

1?语言表达："积的对数=对数的和"......(简易表达--记忆用)

2?注意有时必须逆向运算：如

3?注意定义域：是不成立的

是不成立的

4?当心记忆错误：

2.常用对数的首数和尾数(大纲未要求，只用实例介绍)

科学记数法：把一个正数写成10的整数次幂乘一位小数的形式，即

若N>0,记，则lgN=n+lgm,其中这就是说，任何一个正数的常用对数都可以写成一个整数加上一个零或正纯小

数的形式.我们称这个整数为该对数的首数，这个零或正纯小数为该对数的尾数.

如：已知则

三、例题：

例1计算

(1)25，(2)1，(3)(×)，(4)lg

例2用，，表示下列各式：

例3计算：

(1)lg14-2lg+lg7-lg18(2)(3)

(1)分别用对数运算性质和逆用运算性质两种方法运算(答案：0).

四、课堂练习：课本P781，3

1.用lgx，lgy，lgz表示下列各式：

(1)lg(xyz);(2)lg;(3);(4)

2.求下列各式的值：

(1)6-3(2)lg5+lg2

(3)3+(4)5-15

五、作业：课本P79习题2.73.(1)(3)(5)，4.(1)(5)(6)，5.(3)(5)(6)，6.(3)(4)

2.7(第三课时对数的换底公式)

教学目的：掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。

教学重点：换底公式及推论

教学难点：换底公式的证明和灵活应用.

教学过程：

一、复习：对数的运算法则

导入新课：对数的运算的前提条件是"同底"，如果底不同怎么办?

二、新授内容：

1.对数换底公式：

(a>0,a?1，m>0,m?1,N>0)

证明：设N=x,则=N

两边取以m为底的对数：

从而得：∴

2常用的推论:

①，

②(a,b>0且均不为1,m≠0)

○3

三、例题：

例1已知3=a，7=b,用a,b表示56

例2计算：①②

例3设且

(1)求证;(2)比较的大小。

例4已知x=c+b，求x

分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解;另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形

产生困难，故可考虑将c移到等式左端，或者将b变为对数形式。

例5计算：

例6.若求m

四、课后作业：

1.证明：

2.已知

求证：

提示：用换底公式和等比定理

2.7(第四课时习题课)

教学目的：应用对数的概念和性质较简单的综合题

重点难点：对数的概念和性质和灵活应用

教学过程：

一、复习：对数的定义，运算法则，换底公式及推论

二、例题：

例1.已知lg2=0.3010,求小数点后第几位开始是有效数字.

解：设则

故小数点后第七位开始是有效数字.

例2.如果方程的两个根是，求的值.

分析：原方程是关于x的方程，用换元法，转化成关于lgx的方程，易得分别等于-lg7,-lg5(注意：不是分

别等于-lg7,-lg5);应用韦达定理和对数的运算法则解之.(答案：).

例3.求函数的定义域.

分析：易得，问题化为，这里含有两个参数a和k，要根据问题的需要恰当的作好逻辑划分，进行分类讨论.

例4.设a,b,c均是不等于1的正数，且求abc的值.

略解：则

三、作业：《精析精练》P93智能达标训练.

2.8(第一课时对数函数的定义、图象和性质)

教学目的：

1.了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系;

2.会求对数函数的定义域;

3.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。

教学重点：对数函数的定义、图象、性质

教学难点：对数函数与指数函数间的关系.

教学形式：计算机辅助教学

教学过程：

一、复习引入：

对于函数=，根据对数的定义，可以写成对数的形式，就是

如果用表示自变量，表示函数，这个函数就是

由反函数概念可知，与指数函数互为反函数。

二、新授内容：

1.对数函数的定义：

函数叫做对数函数;它是指数函数的反函数。

对数函数的定义域为，值域为。

2.对数函数的图象

由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称。因此，我们只要画出和的图象关于

对称的曲线，就可以得到的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。

3.对数函数的性质

三、例题：

例1求下列函数的定义域：[(1)-(3)课本P83例1]

(1);(2);(3)

(4)

例2求下列函数的反函数

(1)(2)

四、练习：

1.画出函数y=x及y=的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质..

2.求下列函数的定义域：

(1)y=(1-x)(2)y=

(3)y=

五、作业：习题2.81，2

2.8(第二课时对数函数性质的应用)

教学目的：

1.巩固对数函数性质，掌握比较同底数对数大小的方法;

2.，能够运用对数函数的性质解决具体问题;

教学重点：对数函数性质的应用

教学难点：对数函数性质的应用.

教学过程：

一、复习引入：

1.对数函数的性质：

(见课件)

二、例题：

例1比较下列各组数中两个值的大小：(课本P83例2)

⑴;⑵;

⑶

例2比较下列各组中两个值的大小：(课本P84例3)

⑴;⑵

例3求下列函数的定义域、值域：

⑴⑵

⑶⑷

三、练习：比较大小

⑴⑵⑶

四、作业：习题2.83，4

2.8(第三课时对数形式的复合函数)

教学目的：

1.掌握对数形式的复合函数单调性的判断及证明方法;

2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。

教学重点：函数单调性证明通法

教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.

教学过程：

一、复习引入：三、练习：

1.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设-作差-变形-判断

2.对数函数的性质：

二、新授内容：

例1⑴证明函数在上是增函数。

⑵函数在上是减函数还是增函数?

例2(1)求函数的单调区间，并用单调定义给予证明。

(2).已知y=(2-)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.

三、练习求函数y=(-4x)的单调递增区间

四、作业：习题2.83，4

2.8(第四课时对数函数的综合应用)

教学目的：应用对数函数的概念和性质解决一些较简单的问题

重点难点：对数概念和性质的综合应用

教学过程：

一、复习引入

对数函数的性质：

二、例题

例1如右图，的曲线是对数函数y=logax的图象，已知a的取值则相应于曲线C1,C2,C3,C4的a值依次为

分析：指数函数的图象在第一象限内从下到上对应的底数从小到大;(见课件第1页)对数函数的图象在第一象限

内从左到右的底数从小到大.见课件第2页)

答：选A.

例2若a2>b>a>1,试比较的大小.

解：

例3求函数的定义域、值域和单调区间.

解：要使y有意义，须-x2+2x+3>0,解得-1

设t=-x2+2x+3由0<-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,知0

又∵是单调减函数，∴y≥-2,即所求函数的值域是[-2，+∞).

因为函数t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4在(-1，1]上递增。而在[1，3)上递减，

所以函数的单调减区间是(-1，1],单调增区间是[1，3).

例4已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值，及y取得最大值时x的值.

解：

∵函数f(x)的定义域为[1，9]，∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义，须

当log3x=1,即x=3时，y=13.

∴当x=3时，函数y=[f(x)]2+f(x2)取最大值13.

例5求的定义域.

解：欲使f(x)有意义，须○1

当k≤0时，○1恒成立，即定义域为R;

当k>0时：

1)若>1,即a>2,欲使○1成立，须x>;

2)若=1，即a=2,则f(x)=lg[2x(1-k)],易知，在0

3)若0<<1,即0<.

三、作业《精析精练》P99智能达标训练

2.9函数应用举例

教学目的：1.运用所学的函数知识和方法解决实际问题.

2.培养学生用数学的意识分析问题解决问题的能力.

教学重点：根据已知条件建立函数关系式

教学难点：数学建模意识.

课时安排：四课时

第一课时

关于函数的应用问题主要抓住以下几个步骤：

1.读懂题意;2.正确建立函数关系;3.转化为函数问题解决;4.做好最后的结论回答.

一、例题

例1按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期

x变化的函数关系式。如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少?

"复利"：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。

解：1期后

2期后......

∴x期后，本利和为：

将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式：

由计算器算得：y=1117.68(元)

例2某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，

那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.

分析：此题解决的关键在于恰当引入变量，抓准数量关系，并转化成数学表达式，具体解答可以仿照例子.

解：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量360M

经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)，人口量为M(1+1.2%)

则人均占有粮食为

经过2年后,人均占有粮食为

......

经过x年后，人均占有粮食

y=,

即所求函数式为：y=360()

评述：例2是一个有关平均增长率的问题，如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为R，则对于时间x的总

产值y可以用下面的公式，即y=N(1+P)

解决平均增长率的问题，常用这个函数式.

例3已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数。

1.当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大?

2.如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围。

解：1.设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。

由题设：当价格上涨x%时，销售总额为

即

取得：

当x=50时，

即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。

2.∵二次函数

在上递增，在上递减

∴适当地涨价，即x>0,即

就是0

例4北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖

不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社。在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天

只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最

大?并计算他一个月最多可赚得多少元?

解：若设每天从报社买进()份，则每月共可销售份，每份可获利润0.10元，退回报社份，每份亏损0.15元，建

立月纯利润函数，再求的最大值，可得一个月的最大利润.

设每天从报社买进份报纸，每月获得的总利润为元，则依题意，得

函数在上单调递增，时，(元)

即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元。

小结：①在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定，准确确定函数的定义域是建立

函数模型解答实际问题的一个关键环节，不可忽视;②闭区间上的单调函数的最值常在区间的端点取得。

二、练习：

课本P88练3，4

3.一种产品的年产量是a件，在今后的m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加P%，写出年产量随经过年

数变化的函数关系式.

解：设年产量经过x年增加到y件，则y=a(1+P%)(x∈N*且x≤m)

4.一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低P%，写出成本随经过年数变

化的函数关系式.

解：设成本经过x年降低到y元，则y=a(1-P%)(x∈N*且x≤m)

三、作业：

课本P89习题2.91，2，3

2.9函数应用举例(第二课时)

教学目的：

1.使学生适应各学科的横向联系.

2.能够建立一些物理问题的数学模型.

3.培养学生分析问题、解决问题的能力.

教学重点：数学建模的方法

教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.

教学过程：

一、例题

例1(课本第86页例2)设海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是，其中c，k为常量，

已知某地某天在海平面的大气压为Pa，1000m高空的大气压为Pa，求：600m高空的大气压强。(结果保留3个有

效数字)

解：将x=0,y=;x=1000,y=，代入得：

将(1)代入(2)得：

计算得：∴

将x=600代入,得：

计算得：=0.943×105(Pa)

答：在600m高空的大气压约为0.943×105Pa.

说明：(1)此题利用数学模型解决物理问题;(2)需由已知条件先确定函数式;(3)此题实质为已知自变量的值，

求对应的函数值的数学问题;(4)此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算.

例2在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到,,......,共n个数据，我们规

定所测量的物理量的"最佳近似值"a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小.依次规定，

从,,......,推出的a=________.(1994年全国高考试题)

分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题.

解：由题意可知，所求a应使y=(a-)+(a-)+...+(a-)最小

由于y=na-2(++...+)a+(++...+)

若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值.

因为n>0,二次函数f(a)图象开口方向向上.

当a=(++...+)，y有最小值.

所以a=(++...+)即为所求.

说明：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问

题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即

y=(a-)+(a-)+...+(a-)，然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a为自变量的二

次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用.

例3某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=,其中，λ是正的常数.

(1)说明函数是增函数还是减函数;(2)把t表示成原子数N的函数;(3)求当N=时，t的值.

解：(1)由于>0,λ>0，函数N=是属于指数函数y=类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大

而减少

(2)将N=写成=

根据对数的定义有-λt=ln

所以t=-(lnN-ln)=(ln-lnN)

(3)把N=代入t=(ln-lnN)得t=(ln-ln)

=(ln-ln+ln2)=ln2.

二、练习：

1.如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，

连AP设AP=x

⑴写出AP+2PM关于x的函数关系式⑵求此函数的最值

解：⑴过P作PD?AB于D，连PB设AD=a则

∴

⑵

当时

当时

2.距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60?角的方向行驶，A船只

以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相距最近?

解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20BC=100-15t

过D作DE?BC于EDE=BDsin60?=10tBE=BDcos60?=10t

∴EC=BC+BE=100-5t

CD==

∴t=时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近。

3.一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N

的拉力作用下，长度为0.55m,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少?

解：设拉力是xN(0≤x≤600)时，弹簧的长度为ym

设：y=kx+b由题设：

∴所求函数关系是：y=0.0005x+0.50

∴当x=0时，y=0.50,即不受拉力作用时，弹簧自然长度为0.50m。

三、作业：课本P89习题2.94，5，6

2.9函数应用举例(第三课时)

教学目的：

1.了解数学建模，会根据实际问题确定函数模型;

2.掌握根据已知条件建立函数关系式;

3.培养学生的数学应用意识.

教学重点：根据已知条件建立函数关系式

教学难点：数学建模意识.

教学过程：

一、新授内容：

数学模型与数学建模

数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于

实际问题的数学描述.

数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学

方法.

二、例题：

例1课本P87例3以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表

身高xcm60160170体重ykg6.137.909.9912.1515.0217.5020.92

26.8631.1138.8547.2555.05⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数,

，中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解

析式,并求出a,b的值.

⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175cm体重

78kg，他的体重是否正常?

分析：根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判

断它不能用函数来近似反映.根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数来近似反映

图1图2

例2某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月

的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函

数或函数(其中为常数)。已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理

由。

讲解：根据题意，该产品的月产量是月份的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产

品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式。

注：确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键。

例3用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与

x的函数式，并写出它的定义域.

分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单

应用.

例4如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，

上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域.

分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此，只须

用已知量(半径R)和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式.

评述：例4是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定

义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形.

小结：(1)数学应用题的能力要求

①阅读理解能力;②抽象概括能力;③数学语言的运用能力;④分析、解决数学问题的能力;

(2)解答应用题的基本步骤

①合理、恰当假设;②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示;③分析、解决数学问题;④数学问题的解向实

际问题的还原.

三、练习：

1.中国人口问题

2.销售额问题

四、作业：

课本P88练习1,2

2.9函数应用举例(第四课时)

教学目的：根据实际问题，提出不同方案，建立数学模型，选定最佳方案，解决简单的市场经济问题。

一、例题

例1某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

，其中x是仪器月产量.

(1)将月利润表示为月产量的函数f(x);

(2)当月产量为何值时，公司获利最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)

分析：由总收益=总成本+利润，知利润=总收益-总成本.由于R(x)是分段函数，所以f(x)也是分段函数，要

分别求出f(x)在各段的最大值，通过比较，确定f(x)的最大值.

例2根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格与时间满足关系销售量与时间满足关系。求这种商品的日销

售额(销售量与价格之积)的最大值。

例3有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)

的关系，有经验公式：.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入

分别应为多少?能获得最大利润是多少?

分析：首先应根据题意建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再化为求函数最大值的问

题.

二、课后作业：《精析精练》P103智能达标训练

函数复习小结(三课时)

第一课时

一、本章知识网络结构：

二、深刻理解函数的有关概念：

概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，集合，函数三要素(对应法则、定

义域、值域);反函数;函数的单调性，最大(小)值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，

正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.

1.映射

2.函数的概念

3.函数的单调性

4.反函数

5.方法总结

⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.

⑵.函数表达式的求法：①定义法;②换元法;③待定系数法.

⑶.反函数的求法：递解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).

⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的

依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1;④零指数幂的底

数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.

⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次);②判别式法;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性

法.

⑹.单调性的判定法：①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为

偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为

奇函数.

⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸

缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

⑼.函数的应用举例(实际问题的解法).

解决应用问题的一般程序是：

①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系;

②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型.

③求模：求解数学模型，得到数学结论.

④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.

三、二次函数的基础知识及运用：

高考对二次函数的考查主要从以下几方面：

1.二次函数解析式的三种表示方法：

(1)y=ax+bx+c(a≠0)叫做标准式;

(2)y=a(x+)+,叫做顶点式;

(3)y=a(x-x)(x-x),叫做二根式;(这里指的是：当Δ>0时，即抛物线与x轴有两个交点(x,0)和(x,0)时的解析

式形式).

注意：以上三种形式突出了解析式的特点，运用时要有选择性.

2.二次函数的定义、二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与性质：

3.二次函数在指定区间上的最值;

4.运用二次函数的知识解决某些数学问题与实际问题.

四、指数函数与对数函数的图像和性质：

五、把握数形结合的特征和方法

本章函数中，重点讨论的指数函数、对数函数，都是以定义、性质、图象作为主要的内容，性质和图象相互联

系、相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象的基础上，通过概括，归纳得出的，并借助于函数图象所具

有的直观性强的优点形成记忆，在分析和解决与函数有关的问题中，也常常是函数图象的几何特征与函数性质的数

量特征紧密结合，相互为用.

函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，对应研

究函数的性质.

六、识函数思想的实质，强化应用意识

函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数学对象，

抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题.

纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近三年加大了应用题的考查力

度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，

一定要强化应用意识.

七、例题

例1已知函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的定义域是________.

解：由0≤x≤1,解得-1≤x≤1∴f(x)的定义域为[-1，1].

评述：针对题目中函数关系抽象的特点，可将f(x)具体化，能有助于对问题的理解与判断.设f(x)=,它的定义

域是[0，1]，这时，f(x)=的定义域是[-1，1]，由此可见，列举实例是处理抽象函数有关问题的有效方法.

例2已知函数f(x)=(-1≤x≤0),则f(0.5)=________.

解法一：先求f(x)后令x=0.5

令y=,则x=1-y,x=±,又-1≤x≤0∴x=-,

∴f(x)=-(0≤x≤1),∴f(0.5)=-.

解法二：根据函数y=f(x)与反函数y=f(x)的关系，求f(0.5)的值，就是求f(x)=0.5的x值，令0.5=.解

之得：x=-

评述：方法二是由于对函数f(x)与其反函数f(x)之间关系有深刻理解，因此把求f(a)的问题转化为求f(x)=a

的解的问题，在高观点指导下进行高层次的思维，解法自然也就简单多了.

八、课堂练习：

1.已知映射f:M→N,使集合N中的元素y=x与集合M中的元素x对应，要使映射f:M→N是一一映射，那么M，

N可以是()

A.M=R，N=RB.M=R,N={y|y≥0}

C.M={x|x≥0},N=RD.M={x|x≥0},N={y|y≥0}

2.求下列函数的定义域：

(1)y=;(2)y=;

(3)y=;(4)y=

九、课后作业

1.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数：

(1)f(x)=-x+x-6;(2)f(x)=-;

(3)f(x)=;(4)f(x)=-x+1

2.讨论函数y=ax(a>0)的单调性，并证明你的结论：

3.自检作业订正情况

函数复习小结(第二课时)

一、例题

例1若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么()

A.f(2)

C.f(2)

分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.

例2求f(x)=x-2ax+2在[2，4]上的最大值和最小值.

解：先求最小值.

因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

(1)当a<2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;

(2)当2≤a<4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a;

(3)当a>4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a

综上所述：f(x)min=

最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a

(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;

(2)当a<3时，f(2)

故f(x)max=

评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于"

轴动区间定"，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间[2，4]的位置关系，分三种情况讨论;最

大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、

右两种情况.

例3已知f(x)=|lgx|,且0

A.a<1,b<1,且c>1B.01且c>1

C.b>1,c>1D.c>1且

分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在(0，1)内是减函数，在(1，+∞)上为增函数.

观察图象，因为f(a)1且

评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数图象在函数单调性问题中的应用.

例4函数f(x)=x-bx+c，满足对于任何x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b)与f(c)的大小关系是()

A.f(b)≤f(c)B.f(b)≥f(c)

C.f(b)f(c)

分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然后结合

b,c的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.

三、课堂练习：

已知f(x)=x-4x-4,x∈[t,t+1](t∈R)，求f(x)的最小值φ(t)的解析式.

五、课后作业：

1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q(万元)，这两项生产与投入的奖金a(万

元)的关系是P=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业

投入应各为多少万元?最大利润为多少万元?

2.已知，求函数的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的相应的的值。

3.设集合,，函数。

(1)设不等式的解集为C，当时，求实数的取值范围;

(2)若对任意实数，均有恒成立，求时，的值域;

(3)当时，证明

函数复习小结(第三课时)

一、例题

例1.已知，求的最大值。

例2.画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程无解?有一解?有两解?

解：当k<0或k>时，无解。

当时，方程有唯一解(x=0)。

当k=0时，方程有两解(x=±1)。

当时，方程有四个不同解。

例3已知(1≤x≤4)，求函数的最大

值和最小值。

例4对于任意的实数x，规定y取4?x，x+1，三个值的最小值。

1.求y与x的函数关系，并画出函数的图象。

2.x为何值时，y最大?最大值是多少?

解：1.易得A(1,2)B(3,1)

∴y与x的函数关系是：

2.由图：x=1时,ymax=2

例5设函数的定义域为A，函数的定义域为B，若A?B，求实数k的取值范围。

例6已知函数

1?求f(x)的定义域、值域。2?判断并证明其单调性。

二、作业：《精析精练》P107能力测试

第三章"数列"教材分析

一、内容与要求

1.知识点：

数列。

等差数列及其通项公式。等差数列前n项和公式。

等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。

2.教学目标：

(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义;了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出

数列的前几项。

(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分。

在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法。关于数列的概念，先给出了一个描

述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出："从映射、函数的观点看，数列可

以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值"。这样

就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列。关于给

出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式。点破了这一点，数列与函数

的内在联系揭示得就更加清楚。此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有

通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。递推是数学里

的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是"递推"。在数列的研究中，不仅很多重

要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公

式，然后再根据它推得通项公式。但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数

列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担。考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，

只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了。

在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函

数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两

项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)。在推导等差数列前n项和的公式时，突出了数列的

一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便。

在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系。这不仅可加深对等比

数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握。

二、本章的特点

(一)在启发学生思维上下功夫

本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力

得到提高。

在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的"前言"里用了一个有关国际象棋棋盘的古代

传说作为引入的例子。它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、

难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念;在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写

出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义。

在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用。例如在讲等差数列前n项和的公式时，没有平铺直

叙地推导公式，而是先提出问题：

1+2+3+...+100=?，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学

生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于首末两项的和，

从而为顺利地推导求和公式铺平了道路。

在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分。如3.3例4："已知数

列的通项公式为=pn十q，其中p、q是常数，那么这种数列是否一定是等差数列?如果是，其首项与公差是什么?"

又如:"如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点?"这样就增加了题目的研究性。在讲

有些例题时，加了一小段"分析"，通过不多的几句话点明解题的思路。如对于上面提到的"3.3例4"，加的一段"

分析"是："由等差数列定义，要判定{}是不是等差数列，只要看是不是一个与n无关的常数就行了"。话虽不多，

但突出了"从定义出发"这种最基本的证明方法。

(二)加强了知识的应用

除了上面提到的"研究性课题"多具有应用性的特点以外还在教材中适当增加了一些应用问题。如在"阅读材料"

里介绍了有关储蓄的一些计算;在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等。

(三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练

考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了"简易逻辑"，为进行推理论

证作了准备，紧接着又在第二章"函数"里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面有所加强。

(四)注意渗透一些重要的数学思想方法

由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘。教材注意

从函数的观点去看数列，在这种整体的、

动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如"复习参考题B组第2

题"便是一个典型例子。方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满

足某某条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出方程或方程组.然后求解。关于递推的思想方法，不仅在数

列的递推公式里有所体现。观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示.为学生了解

它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件。

三、教学中应注意的几个问题

(一)把握好本章的教学要求

由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的"一步到位"的教育思想的影响下，本章的教

学要求很容易拔高，过早地进行针对"高考"的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担。事实

上，学习是一个不断深化的过程。作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后

续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高。最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一

步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次。为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方。例如

在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项

就行了;在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.

(二)有意识地复习和深化初中所学内容

对于初中学过的多数知识.在高中没有系统深入学习的机会。而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在

学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要。本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初

中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力。

(三)适当加强本章内容与函数的联系

适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的

问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步。比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，

而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能

产生的学生认识上的负迁移;

本章内容与函数的联系涉及以下几个方面。

1.数列概念与函数概念的联系。

相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量"等距

离"地离散取值的函数。从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围。但数列与函数并不能划等号，

数列是相应函数的一系列函数值。基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性

质。数列的通项公式实际上是相应因数的解析表

达式。而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公

式确定相应的f(n)。这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式。

2.等差数列与一次函数、二次函数的联系。

从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a是关于项数n的一次函数式。于是可以利

用一次函数的性质来认识等差数列。例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容

易理解为什么两项可以确定一个等差数列。

此外，首项为、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：

即当时，是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题。如可以

根据二次函数的图象了解的增减变化、极值等情况。

3.等比数列与指数型函数的联系。

由于首项为、公比为q的等比数列的通项公式可以写成

它与指数函数y=有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列。

(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征

等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、

两个数的等差(等比)中项。具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等。因此在教学与复习时可采用对比方法，

以便于弄清它们之间的联系与区别。顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数

列。

教学中应强调，等差数列的基本性质是"等差"，等比数列的基本性质是"等比"，这是我们研究有关两类数列的

主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差(等比)数列和解决其他问题的一种基本方法。要让学生注意，这

里的"等差"("等比")，是对任意相邻两项来说的。

上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项"等距离"的两项之和(之积)等于该项的2

倍(平方).

利用上述性质，常使一些问题变得简便。对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简

单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化。非均匀变化通常

要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在。

(五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力

综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力。事实上，在问题探索求解中，

常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路;然后用归纳方法进行试探，提出猜想;最后采用

证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想。应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很

多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过。

(六)在符号使用上与国家标准一致

为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集N={0，l，2.3，......}，即自然数从O开始。

这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭。但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改

变过来，称数集{1，2，3，...}为正整数集.

3.1数列的一般概念(第一课时)

教学目的：

⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.

⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项

⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式

教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n项和与an的关系

教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

教学过程：

一、复习引入：(课件第1页)

观察这些例子，看它们有何共同特点?(启发学生发现数列定义)

上述例子的共同特点是：⑴均是一列数;⑵有一定次序.

从而引出数列及有关定义

二、讲解新课：数列的相关概念(课件第2页)

例如，上述例子均是数列，其中①中，"1"是这个数列的第1项(或首项)，""是这个数列中的第4项.

结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是"1"，3是这个数列的第"3"

项，等等。

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引

导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式)对于上面的数列○5，第一项与这一项的序号有这样

的对应关系：

序号12345

↓↓↓↓↓

项

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系

即：只要依次用1，2，3...代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项

结合上述其他例子，练习找其对应关系

如：数列①：;

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列○3;

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，...它的通项公式可以是，也可以是.

⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.

(课件第3页)

数列的通项公式就是相应函数的解析式.

例题：

四、课堂练习：五、课后作业：(课件第5页)

3.1(第二课时)数列的递推关系

教学目的：1.数列递推公式的概念;2.会根据给出的递推公式写出数列的前n项。

教学重点:数列的任意连续若干项能满足的关系式称为该数列的一个递推公式,由递推公式和相应有尽有前若

干项可以确定一个数列.这种表示方法叫做递推公式法或递推法.

教学难点:1.根据数列的首项和递推公式写出它的前几项,关归纳出通项公式.

2.的关系

教学过程：

一、复习引入：数列的定义，数列的通项公式的意义(从函数观点出发去刻划)

把上节的数列○1引导到

二、讲授新课

"递推公式"定义：已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前-1项)间的关系可以用一个公式

来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。

三、例题

例1已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项.(课本P109例3)

例2写出数列的一个通项公式，并判断它的增减性.

例3已知，求.

解一：(观察法)

解二：(迭加法)

例4若记数列的前n项之和为Sn试证明：

例5已知数列的前n项和为①②

求数列的通项公式。

例6已知，求.

解一：

观察可得：

解二：由∴即

∴

∴

四、作业：P110习题3.13、4《精析精练》P112智能达标训练

3.1等差数列(第一课时)

教学目的：

1.明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式;

2.会解决知道中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

一、复习引入：(课件第一页)

二、讲解新课：

1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母"d"表示)。(课件第

二页)

⑴.公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求;

⑵.对于数列{},若-=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差。

2.等差数列的通项公式：【或】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：

即：

即：

即：

......

由此归纳等差数列的通项公式可得：(课件第二页)

第二通项公式(课件第二页)

三、例题讲解

例1⑴求等差数列8，5，2...的第20项(课本P111)

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13...的项?如果是，是第几项?

例2在等差数列中，已知，，求,,

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现

什么结论?并证明你的结论。

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽

度。(课本P112例3)

例5已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列?若是，首项与公差分别是什

么?(课本P113例4)

分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看(n≥2)是不是一个与n无关的常数。

注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，...

②若p≠0,则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数

是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q(p、q是常数)。称其为第3通项公式

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

例6.成等差数列的四个数的和为26，第二项与第三项之积为40，求这四个数.

四、练习：

1.(1)求等差数列3，7，11，......的第4项与第10项.

(2)求等差数列10，8，6，......的第20项.

(3)100是不是等差数列2，9，16，......的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由.

(4)-20是不是等差数列0，-3，-7，......的项?如果是，是第几项?如果不是，说明理由.

2.在等差数列{}中，(1)已知=10,=19,求与d;

五、课后作业：习题3.21(2)，(4)2.(2)，3，4，5，6.8.9.

3.1等差数列(第二课时，等差数列的性质)

教学目的：

1.明确等差中项的概念.

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.

教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

一、复习引入

1.等差数列的定义;2.等差数列的通项公式：(1)，(2)，(3)

3.有几种方法可以计算公差d

①d=-②d=③d=

二、讲解新课：

问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件?

由定义得A-=-A，即：

反之，若，则A-=-A

由此可可得：成等差数列。

也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件

定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中

项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13...中

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

注意到，，......

由此猜测：

性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，

即m+n=p+q(m,n,p,q∈N)

(以上结论由学生证明)

但通常①由推不出m+n=p+q，②

特例：等差数列{an}中，与首尾"等距离"的任意两项和相等.即

三、例题

例1在等差数列{}中，若+=9,=7,求,.

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一

项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差)，本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，

想到从这双项关系式+=+=9入手......(答案：=2,=32)

例2等差数列{}中，++=-12,且··=80.求通项

分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必

须消元(项)或再构造一个等式出来。

(答案：=-10+3(n-1)=3n-13或=2-3(n-1)=-3n+5)

例3在等差数列{}中,已知++++=450,求+及前9项和(=++++++++).

提示：由双项关系式：+=2，+=2及++++=450,得5=450,易得+=2=180.

=(+)+(+)+(+)+(+)+=9=810.

例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列。

分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)

=0是否成立.

例5已知两个等差数列5，8，11，...和3，7，11...都有100项，问它们有多少公共项.

分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍

数.(答案：25个公共项)

四、练习：

1.在等差数列中，已知，，求首项与公差

2.在等差数列中,若求

3.在等差数列中若，，求

五、作业：课本：P114习题3.27.10，11.《精析精练》P117智能达标训练

3.3等差数列的前n项和(第一课时)

教学目的：

1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

3.激发学生的创新精神，培养学生观察问题、解决问题的能力.

教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应用.

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.

教学过程：

一、复习与引入

(一)复习

1.等差数列的定义：-=d，(n≥2，n∈N+)

2.等差数列的通项公式：

(或=pn+q(p、q是常数))

3.等差数列的性质：

(1)(有穷)等差数列中，与首尾两项"等距离"的任意两项的和相等;

(2)等差数列{an}中，若m+n=p+q则(m,n,p,q∈N)

(3)

(二)引入

1.数列的前n项和的定义：

数列中，称为数列的前n项和，记为.

即Sn=a1+a2+...+an.

2.小故事(高斯求100以内正整数和的故事)

小高斯为什么能这么快算出正确答案?同学们能否根据我们学过的相关概念和性质为小高斯问答老师的质疑?

3.观察与思考：

--数列1，2，...，100.是一个等差数列，老师提出的问题是求这个数列的第1项到第100项的和.

--在(有穷)等差数列{an}中，与首尾两项"等距离"的任意两项的和相等，即;上述数列的和可以用下面方法计

算：

1+100=2+99=...=50+51=101;所以1+2+3+...+100=101×50=5050.

4.启迪：

这个故事告诉我们：

(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察、思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东

西.我们应该怎样学习，才能有所发现，有所创新?

(2)通过这个故事同学们得到什么启迪，如何求等差数列前n项和?

二、讲授新课

(一)等差数列的前n项和

1.公式推导

三、例题

例1某长跑运动员7天里每天的训练量(单位：m)是：

75050这位运动员7天共跑了多少米?

例2等差数列-10，-6，-2，2，...前多少项的和是54?

例3.已知等差数列{}中=13且=,那么n取何值时,取最大值.

(解法1.利用an;解法2.利用Sn.)

四、练习

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的Sn.

(1)a1=5,an=95,n=10;(2)a1=100,d=-2,n=50;(3)a1=14.5,d=0.7,an=32.

2.(1)求正整数列中前n个数的和;(2)求正整数列中前n个偶数的和.

五、小结本节课学习了以下内容：

(一)等差数列的前项和公式1、2、及二次函数型的表达式;

(二)求对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1)利用，(2)利用.

六、作业：课本P118习题3.31(2)、(4)，2(2)、(4)，6(2)，7，8.

3.3等差数列的前n项和(第二课时)

教学目的：

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.

教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式

教学难点：灵活应用求和公式解决问题

教学过程：

一、复习引入：

1.等差数列的前项和公式1：

2.等差数列的前项和公式2：

3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1)利用:利用：由二次函数配方法求得最值时n的值。

二、例题讲解

例1.已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和.

例2已知一个等差数列的前四项和为21，后四项和为67，前n项和为286，求项数.

分析：若把有穷数列{an}的前n项和sn的平均值叫做数列的平均值，记为，即则sn=n.根据等差数列的性质

易知，.(答案：n=26).

例3等差数列中，该数列的前多少项和最小?

思路1：求出sn的函数解析式(n的二次函数,)，再求函数取得最小值时的n值.

思路2：公差下为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：

思路3：由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.

例4.已知数列{an}的前n项和，求数列{|an|}的前n项和Tn.

三、练习：

1.一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

2.两个数列1,,,......,,5和1,,,......,,5均成等差数列公差分别是,,求与的值。

3.在等差数列{}中,=-15,公差d=3,求数列{}的前n项和

的最小值。

四、作业：课时P119习题3.39，10，《精析精练》P122智能达标训练.

3.4等比数列(第一课时)

教学目的：

1.掌握等比数列的定义.

2.理解等比数列的通项公式及推导;理解等比中项概念.

教学重点：等比数列的定义及通项公式

教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题

教学过程：

一、复习引入：

1.等差数列的定义：2.等差数列的通项公式：

3.几种计算公差d的方法：4.等差中项：

二、讲解新课：

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?

1，2，4，8，16，...，263;①

5，25，125，625，...;②

1，-，...;③

对于数列①，=;=2(n≥2)

对于数列②，=;=5(n≥2)

对于数列③，=·;(n≥2)

共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数

1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就

叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0)，即：{｝成等比数列=q(,q≠0)

注意：等比数列的定义隐含了任一项

2.等比数列的通项公式1:

由等比数列的定义，有：

;

;

;

.....................

3.等比数列的通项公式2:

4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.

5.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即

G=±(a,b同号)

a,G,b成等比数列G=ab(a·b≠0)

三、例题

例1课本P123例1，请同学们认真阅读题目，并自己动手解题.

例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.

例3求下列各等比数列的通项公式：

1.=?2,=?8

(答案)

2.=5,且2=?3

例4.求数列=5,且的通项公式

例5.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证是等比数列.(课本P123例3)

四、练习：

1.求下面等比数列的第4项与第5项：

(1)5，-15，45，......;(2)1.2，2.4，4.8，......;

(3)，.......

2.一个等比数列的第9项是，公比是-，求它的第1项.

五、作业：课本P125习题3.41(2)(4)，2，5，6，7(2)，8，9.

3.4等比数列(第二课时)

教学目的：

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.

2.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法。

教学重点：等比中项的应用及等比数列性质的应用.

教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

教学过程：

一、复习：

等比数列的定义、通项公式、等比中项

二、讲解新课：

1.等比数列的性质：若m+n=p+q，则

2.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

3.等比数列的增减性：当q>1,>0或0<0时,=""{}是递增数列;当q="">1,<0,或00时,{}是递减数列;当q=1

时,{}是常数列;当q<0时,{}是摆动数列;

三、例题讲解

例1已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，

求证：也成等比数列。

例2已知等比数列.

例3a≠c,三数a,1,c成等差数列，a,1,c成等比数列，求的值.

例4已知无穷数列，

求证：(1)这个数列成等比数列

(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的，

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

例5设均为非零实数，，

求证：成等比数列且公比为。

四、课后作业：课本P125习题3.410(2)，11，《精讲精练》P126智能达标训练.

3.5等比数列的前n项和(第一课时)

教学目的：

1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.

2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

教学重点：等比数列的前n项和公式推导

教学难点：灵活应用公式解决有关问题

教学过程：

一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。

二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，

即求①

用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：

②

②-①：这是一个庞大的数字>1.84×，

以小麦千粒重为40计算，则麦粒总质量达7000亿吨--国王是拿不出来的。

三、一般公式推导：设①

乘以公比，②

①?②：，时：

时：

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，

根据等比的性质，有

即(结论同上)

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式.

公式的推导方法三：

=

==

(结论同上)

注意：(1)和各已知三个可求第四个，

(2)注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆，

(3)应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

四、例题

例1、求等比数列的前8项和.(P127，例一)--直接应用公式。

例2、某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可

使总销售量达到30000台(保留到个位)(P127，例二)--应用题，且是公式逆用(求)，要用对数算。

例3、求和：(x+(其中x≠0，x≠1，y≠1)(P127，例三)--简单的"分项法"。

例4、设数列为求此数列前项的和。

--用错项相消法，注意分两种情况讨论

例5、已知{}为等比数列，且=a，=b，求.

--注意这是一道多级分类讨论题.一级分类：分两种情况讨论;时，要分四、练习：是等比数列，是其前n项

和，数列()是否仍成等比数列?

提示：应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.

五、小结1.等比数列求和公式：当q=1时，

当时，或;

2.是等比数列的前n项和，

①当q=-1且k为偶数时，不是等比数列.

②当q≠-1或k为奇数时，仍成等比数列。

3.这节课我们从已有的知识出发，用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法)推导出了等比数

列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识.

六、作业：P129.习题3.51，2，3，4，5，6，7.

3.5等比数列的前n项和(第二课时)

教学目的：

1.会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的

中知道三个数求另外两个数的一些简单问题

2.提高分析、解决问题能力.

教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.

教学难点：灵活使用公式解决问题

教学过程：

一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n项和的公式

二、例题

例1已知等差数列{}的第二项为8，前十项的和为185，从数列{}中，依次取出按原来的顺序排成一个新数列{}，

求数列{}的通项公式和前项和公式

--由题设求{bn},再分组求和法

例2已知等比数列{an}的前n项和是2，紧接着后面的2n项的和是12，再紧接着后面的3n项的和是S，求S的

值.

--(1)认真审题(紧接着...);(2)对q的判断.

例3等比数列前项和与积分别为S和T，数列的前项和为，

求证：

--计算验证形的证明，按公比q=1和两类分别计算验证.

例4设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前项中数值最大的项为54，求此数列。

例5已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2,a1=1.

(1)设bn=an+1-2an,求证数列{bn}是等比数列.

(2)设求证数列{cn}是等差数列;

(3)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.

--思路分析(1)利用题设的递推公式和等比数列的定义证明;(2)利用等差数列的定义证明;(3)借助(2)的结论

及题设的递推公式求解.

三、练习：

设数列前项之和为，若且，问：数列成等比数列吗?

四、课后作业：《精讲精练》P132智能达标训练.

等差、等比数列综合问题

教学目标

1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差

、等比数列的综合问题.

2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力.

教学重点与难点

用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式.

例题

1.(1)已知{an}成等差，且a5=11，a8=5，求an=;

(2)等差数列{an}中，如S2=4,S4=16,Sn=121，求n=;

(3)等差数列{an}中，a6+a9+a12+a15=20，求S20=;

(4)等差数列{an}中，am=n，an=m,则am+n=，Sm+n=;

(5)等差数列{an}中，公差d=-2，a1+a4+a7+...+a97=50，

求a3+a6+a9+...+a99=?

(6)若两个等差数列{an}、{bn}的前n项的和分别为Sn,Tn,且，求.

2.(1)在等比数列{an}中，a1+a2=3，a4+a5=24，则a7+a8=;

(2)设{an}是由正数组成的等比数列，且a5·a6=81，则=;

(3)设{an}是由正数组成的等比数列，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7=;

(4)设等比数列{an}的前n项和为Sn=4n+m，求得常数m=;

3.(1)""是"a、G、b成等比数列"的条件;

(2)"数列{an}既是等差数列又是等比数列"是"该数列为常数列"的条件

(3)设数列{an}、{bn}(bn>0)满足，则{an}为等差数列是{bn}为等比数列的条件;

(4)Sn表示数列{an}的前n项的和，则Sn=An2+Bn,(其中A、B为常数)是数列{an}成等差数列的条件。