高一数学

高一数学知识点

高一数学知识点15篇

高一数学知识点1

立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个

四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、

五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱

柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是

平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角

形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、

五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相

似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间

的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、

五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱

交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的

曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半

径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲

面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图

是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间

的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③

侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的

几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于

半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图

(从左向右)、俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的

高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度

和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度

和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特

别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因

此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线

的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：

(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;

(2)k与P1、P2的顺序无关;

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

幂函数

定义：

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指

数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为

任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x

肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，

即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的

所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，

函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，

函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的

特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根

号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，

函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则

x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以

看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一

是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是

偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a

就不能是负数。

指数函数

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，

对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，

因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减

的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程

中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的

单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴

的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过

渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

(7)函数总是通过(0，1)这点。

(8)显然指数函数无界。

奇偶性

定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函

数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函

数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)

同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)

都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶

函数。

高一数学知识点2

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中

每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

★元素的确定性;

★元素的互异性;

★元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一

个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同

的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是

否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋}

★用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

★集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

4、关于属于的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，

就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表

示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R|x-32}或{x|x-

32}

5、集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.包含关系子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或

BA

2.相等关系(55，且55，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}元素相同

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集

合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就

说集合A等于集合B，即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作

AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的

集合,叫做A,B的交集.

记作AB(读作A交B)，即AB={x|xA，且xB}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素

所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作A并B)，即

AB={x|xA，或xB}.

3、交集与并集的性质：AA=A,A=B=BA，AA=A,

A=A,AB=BA.

4、全集与补集

★补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不

属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

★全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这

个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

★性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)

高一数学知识点3

【(一)、映射、函数、反函数】

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特

殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题

寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，

其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，

然后再合并到一起.

②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求

反函数的过程，从而简化运算.

【(二)、函数的解析式与定义域】

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存

在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对

应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，

求定义域要结合实际意义考虑;

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.

如：

①分式的分母不得为零;

②偶次方根的被开方数不小于零;

③对数函数的真数必须大于零;

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数

y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有

意义的自变量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定

义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足

a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，

b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种情况

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，

根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.

比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，

根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.

(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)

的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现

其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方

程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

【(三)、函数的值域与最值】

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函

数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的

解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一

种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时

用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的

关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数

值域可采用此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考

虑用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可

以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用

到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用

“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个

定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助

于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事

实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最

小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角

度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-

∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域

后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的

影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文

字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最

小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，

以便能正确求得最值.

【(四)、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内

的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇

函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴

上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条

件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域

上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断

函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数;

(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2

上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=

奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函

数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是

奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称

区间上的单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，

G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

(6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的

图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内

的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称

图形，即y=f(a+x)为奇函数。

【(五)、函数的单调性】

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2

时，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增(或

递减);增函数或减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上

可以有不同的单调性.

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，

x2具有任意性，不能用特殊值代替.

(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.

(4)注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数;

在[a、b]上是减函数.

②在[a、b]上是增函数.

在[a、b]上是减函数.

需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，

f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.

(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或

x1>x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等

关系可以“正逆互推”.

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或

g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递

增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些

熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函

数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.

6、证明函数的单调性的方法

(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1(或

<)f(x2);③根据定义，得出结论.

(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.

如果f′(x)>0，则f(x)为增函数;如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.

【(六)、函数的图象】

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力

的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(b>0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f-1(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)(a>0)

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(-x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

①求证：f(0)=1;

②求证：y=f(x)是偶函数;

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问

函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请

说明理由.

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决

这类问题一般采用赋值法.

解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以

f(0)=1.

②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这

说明f(x)为偶函数.

③分别用(c>0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.

高一数学知识点4

一、变量、自变量与因变量

①两个变量x与y，y随x的改变而改变，那么x是自变量(先变的

量)，y是因变量(后变的量)。

二、变量之间的表示方法：

①列表法

②关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。

③图象法：用水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，用坚直方

向的数轴(纵轴)表示因变量。

第五章生活中的轴对称

一、轴对称图形与轴对称

①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图

形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这

两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。

③常见的轴对称图形：线段(两条对称轴)，角，长方形，正方形，

等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形

二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

∵∠1=∠2PB⊥OBPA⊥OA

∴PB=PA

三、线段垂直平分线：

①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

∵OA=OBCD⊥AB

∴PA=PB

四、等腰三角形性质：(有两条边相等的三角形叫做等腰三角形)

①等腰三角形是轴对称图形;(一条对称轴)

②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合;(三

线合一)

③等腰三角形的两个底角相等。(简称：等边对等角)

五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边

也相等。(简称：等角对等边)

六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具

有等腰三角形的所有性质。

①等边三角形的三条边相等，三个角都等于60;②等边三角形有

三条对称轴。

七、轴对称的性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形;②对应线段、对应角相

等;

②对应点的连线被对称轴垂直且平分;④对应线段如果相交，那么

交点在对称轴上。

八、镜子改变了什么：

1、物与像关于镜面成轴对称;(分清左右对称与上下对称)

2、常见的问题：①物体成像问题;②数字与字母成像问题;③时钟

成像问题

第六章概率

一、概率：反映事件发生可能性大小的数。事件P的概率=

二、事件的分类

三、游戏是否公平：双方事件发生的概率是否相等。

高一数学知识点5

一、平面解析几何的基本思想和主要问题

平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，其

基本思想就是用代数的方法研究几何问题。例如，用直线的方程可以

研究直线的性质，用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系

等。

平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件，求出

表示平面曲线的方程;二是通过方程，研究平面曲线的性质。

二、直线坐标系和直角坐标系

直线坐标系，也就是数轴，它有三个要素：原点、度量单位和方

向。如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应，那么就可以在实数集

与数轴上的点集之间建立一一对应关系。

点与实数对应，则称点的坐标为，记作，如点坐标为，则记作;点

坐标为，则记为。

直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，两条数

轴的度量单位一般相同，但有时也可以不同，两个数轴的交点是直角

坐标系的原点。在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标

平面内的点集具有一一对应关系。

一个点的坐标是这样求得的，由点向轴及轴作垂线，在两坐标轴

上形成正投影，在轴上的正投影所对应的值为点的横坐标，在轴上的

正投影所对应的值为点的纵坐标。

在学习这两种坐标系时，要注意用类比的方法。例如，平面直角

坐标系是二维坐标系，它有两个坐标轴，每个点的坐标需用两个实数

（即一对有序实数）来表示，而直线坐标系是一维坐标系，它只有一

个坐标轴，每个点的坐标只需用一个实数来表示。

三、向量的有关概念和公式

如果数轴上的任意一点沿着轴的正向或负向移动到另一个点，则

说点在轴上作了一次位移。位移是一个既有大小又有方向的量，通常

叫做位移向量，简称向量，记作。如果点移动的方向与数轴的正方向

相同，则向量为正，否则为负。线段的长叫做向量的长度，记作。向

量的长度连同表示其方向的正负号叫做向量的坐标（或数量），用表

示。这里同学们要分清，，三个符号的含义。

对于数轴上任意三点，都有成立。该等式左边表示在数轴上点向

点作一次位移，等式右边表示点先向点作一次位移，再由点向点作一

次位移，它们的最终结果是相同的。

向量的坐标公式（或数量公式），它表示向量的数量等于终点的

坐标减去起点的坐标，这个公式非常重要。

有相等坐标的两个向量相等，看做同一个向量;反之，两个相等向

量坐标必相等。

注意：①相等的所有向量看做一个整体，作为同一向量，都等于

以原点为起点，坐标与这所有向量相等的那个向量。②向量与数轴上

的实数（或点）是一一对应的，零向量即原点。

四、两点的距离公式和中点公式

1。对于数轴上的两点，设它们的坐标分别为，，则的距离为，的

中点的坐标为。

由于表示数轴上两点与的距离，所以在解一些简单的含绝对值的

方程或不等式时，常借助于数形结合思想，将问题转化为数轴上的距

离问题加以解决。例如，解方程时，可以将问题看作在数轴上求一点，

使它到，的距离之和等于。

2。对于直角坐标系中的两点，设它们的坐标分别为，，则两点的

距离为，的中点的坐标满足。

两点的距离公式和中点公式是解析几何中最基本、最常用的公式

之一，要求同学们能熟练掌握并能灵活运用。

五、坐标法

坐标法是数学中一种重要的数学思想方法，它是借助于坐标系来

研究几何图形的一种方法，是数形结合的典范。这种方法是在平面上

建立直角坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集

合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程，

间接地来研究曲线的性质。

高一数学知识点6

空间直角坐标系定义：

过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相

同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴横轴）、y轴纵轴、z轴竖轴；

统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线；

它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向

x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的

三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。

1、右手直角坐标系

①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别

指向右手的拇指、食指、中指；

②已知点的坐标P（x，y，z）作点的方法与步骤（路径法）：

沿x轴正方向（x>0时）或负方向（x<0时）移动|x|个单位，再

沿y轴正方向（y>0时）或负方向（y<0时）移动|y|个单位，最后沿

x轴正方向（z>0时）或负方向（z<>

③已知点的位置求坐标的方法：

过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，

B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b,c则a,b,c就是点P的坐标。

2、在x轴上的点分别可以表示为a,0,0,0,b,0,0,0,c。

在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为

a,b,0,a,0,c,0,b,c。

3、点Pa,b,c关于x轴的对称点的坐标为a,-b,-c；

点Pa,b,c关于y轴的对称点的坐标为-a,b,-c；

点Pa,b,c关于z轴的对称点的坐标为-a,-b,c；

点Pa,b,c关于坐标平面xOy的对称点为a,b,-c；

点Pa,b,c关于坐标平面xOz的对称点为a,-b,c；

点Pa,b,c关于坐标平面yOz的对称点为-a,b,c；

点Pa,b,c关于原点的对称点-a,-b,-c。

4、已知空间两点Px1,y1,z1，Qx2,y2,z2，则线段PQ的中点坐标

为

5、空间两点间的距离公式

已知空间两点Px1,y1,z1，Qx2,y2,z2，则两点的距离为特殊点

Ax,y,z到原点O的距离为

6、以Cx0,y0,z0为球心,r为半径的球面方程为

特殊地，以原点为球心,r为半径的球面方程为x2+y2+z2=r2

练习题：

选择题：

1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条

叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于

yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点

的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－

y，－z）其中正确的个数是（）

A．3B．2C．1D．0

2．若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的

长为（）

A．43

B．23

C．42

D．32

3．已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D

（2，―1，―1），则（）

A．|AB|>|CD|

B．|AB|<|CD|C．|AB|≤|CD|

D．|AB|≥|CD|

4．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中

点M，则|CM|?（）

A．5

B．2

C．3

D．4

高一数学知识点7

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的事物可以是人，物

品，也可以是数学元素。

例如：

1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急～。

2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。

3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是

现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托

（Cantor，G、F、P、，1845年1918年，德国数学家先驱，是集合

论的，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

集合，在数学上是一个基础概念。

什么叫基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。

集合的概念，可通过直观、公理的方法来下定义。

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇

合在一起，使之成为一个整体（或称为单体），这一整体就是集合。

组成一集合的那些对象称为这一集合的元素（或简称为元）。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个

元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，

记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是

它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。

（说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则

A称作是B的子集，写作AB。若A是B的子集，且A不等于B，则A

称作是B的真子集，一般写作AB。中学教材课本里将符号下加了一个

符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有

人的集合的真子集。）

高一数学知识点8

函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横

坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的函数C，叫做函数y=f(x),(x∈A)

的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满

足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.高中数学函数区间的概念

(1)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法

则f，使对于函数A中的任意一个元素x，在函数B中都有确定的元素

y与之对应，那么就称对应f：AB为从函数A到函数B的一个映射。

记作“f(对应关系)：A(原象)B(象)”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)函数A中的每一个元素，在函数B中都有象，并且象是的;

(2)函数A中不同的元素，在函数B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求函数B中的每一个元素在函数A中都有原象。

6.高中数学函数之分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并

集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、

g的复合函数。

高一数学知识点9

本节内容主要是空间点、直线、平面之间的位置关系，在认识过

程中，可以进一步提高同学们的空间想象能力，发展推理能力．通过

对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言，以

具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使同学们在直观

感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系，点、线、面

的位置关系是立体几何的主要研究对象，同时也是空间图形最基本的

几何元素．

重难点知识归纳

1、平面

(1)平面概念的理解

直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直

观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．

抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．

(2)平面的表示法

①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需

要，也用其他的平面图形来表示平面．

②字母表示：常用等希腊字母表示平面．

(3)涉及本部分内容的符号表示有：

①点A在直线l内，记作；②点A不在直线l内，记作；

③点A在平面内，记作；④点A不在平面内，记作；

⑤直线l在平面内，记作；⑥直线l不在平面内，记作；

注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．

(4)平面的基本性质

公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的

所有点都在这个平面内．

符号表示为：．

注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线

在这个平面内，或者称平面经过这条直线．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得．

注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示

唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确

定一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

一条过该点的公共直线．

符号表示为：．

注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条

公共直线就叫作两个平面的`交线．若平面、平面相交于直线l，记作．

公理的推论：

推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

2．空间直线

(1)空间两条直线的位置关系

①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;

②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;

③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．

(2)平行直线

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

符号表示为：设a、b、c是三条直线，．

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相

同，那么这两个角相等．

(3)两条异面直线所成的角

注意：

①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．

②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所

讲过的“等角定理”直接得出．

③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般

方法：

(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．

(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法

来实现．

(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条

异面直线所成的角的范围．

3．空间直线与平面

直线与平面位置关系有且只有三种：

(1)直线在平面内：有无数个公共点；

(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；

(3)直线与平面平行：没有公共点．

4．平面与平面

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

(1)两个平面平行：没有公共点；

(2)两个平面相交：有一条公共直线．

高一数学知识点10

定义：

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标

系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把

这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平

行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与X轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正

切（称直线的斜率）来表示平面上直线对于X轴的倾斜程度。可以通

过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交

角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐

标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确

定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角

坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得

直线的方程。

表达式：

斜截式:y=kx+b

两点式:y-y1/y1-y2=x-x1/x1-x2

点斜式:y-y1=kx-x1

截距式:x/a+y/b=0

补充一下：最基本的标准方程不要忘了,AX+BY+C=0,

因为,上面的四种直线方程不包含斜率K不存在的情况,如x=3,这条

直线就不能用上面的四种形式表示,解题过程中尤其要注意,K不存在的

情况。

练习题：

1.已知直线的方程是y+2=-x-1，则

A.直线经过点2，-1，斜率为-1

B.直线经过点-2，-1，斜率为1

C.直线经过点-1，-2，斜率为-1

D.直线经过点1，-2，斜率为-1

【解析】选C.因为直线方程y+2=-x-1可化为y--2=-[x--1]，所

以直线过点-1，-2，斜率为-1.

2.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有

A.k=-，b=3B.k=-，b=-2

C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3

【解析】选C.直线方程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3，故

k=-，b=-3.

3.已知直线l的方程为y+1=2x+，且l的斜率为a，在y轴上的截

距为b，则logab的值为

26D.0

【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以

logab=log24=2.

4.直线l：y-1=kx+2的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距

是

A.1B.-1C.2D.-2

【解析】选B.因为倾斜角为135°，所以k=-1，

所以直线l：y-1=-x+2，

令x=0得y=-1.

5.经过点-1，1，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是

A.x=-1B.y=1

C.y-1=x+1D.y-1=2x+1

【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2×=.

则所求直线方程为y-1=x+1.

高一数学知识点11

圆的方程定义：

圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三个参数a、b、

r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确

定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条

件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：

1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程

和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

①Δ>0，直线和圆相交、②Δ=0，直线和圆相切、③Δ<0，直线

和圆相离。

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小

加以比较。

①dR，直线和圆相离、

2、直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程、求圆的切线

方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线

上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

3、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

切线的性质

⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；

⑵过切点的半径垂直于切线；

⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；

⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心；

当一条直线满足

（1）过圆心；

（2）过切点；

（3）垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。

切线的判定定理

经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线长定理

从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连

线平分两条切线的夹角。

高一数学知识点12

（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

（2）两个平面的位置关系：

两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直

线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平

行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面

相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中

每一个部分叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二

面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个

面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的

平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就

说这两个平面互相垂直。记为⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂

线，那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个

平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面

积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之

间的等补关系）

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点

的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。

棱锥的性质：

（1）侧棱交于一点。侧面都是三角形

（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于

截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面

内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各

等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

（3）多个特殊的直角三角形

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底

面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对

也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

集合

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，

物品，也可以是数学元素。例如：

1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急～。

2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。

3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是

现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托

（Cantor，G、F、P、，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集

合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领

域。

集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念？基础概念是

不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的

方法来下“定义”。集合

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇

合在一起，使之成为一个整体（或称为单体），这一整体就是集合。

组成一集合的那些对象称为这一集合的元素（或简称为元）。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个

元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，

记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合

是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。

高一数学知识点13

集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集

合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就

说集合A等于集合B，即：A=B

A?①任何一个集合是它本身的子集。A

B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)?B,且A?②

真子集:如果A

C?C,那么A?B,B?③如果A

A那么A=B?B同时B?④如果A

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的

集合,叫做A,B的交集.

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素

所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即

A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A

=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有

不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

A}?S且x?x?记作：CSA即CSA={x

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，

这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

高一数学知识点14

1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系

表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是

函数思想;

2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，

大体可分为下面两个步骤：

(1)根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函

数问题;

(2)根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题;

(3)方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某

些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或(方程组)，通过解方程

(或方程组)求出它们，这就是方程思想;

3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗

透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题

也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函

数方程思想。

高一数学知识点15

立体几何初步

柱、锥、台、球的结构特征

棱柱

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个

四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、

五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱

柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都

是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的

多边形。

棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角

形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、

五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面

相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

棱台

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间

的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、

五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱

交于原棱锥的顶点

圆柱

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的

曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆

的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲

面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展

开图是一个扇形。

圆台

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间

的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；

③侧面展开图是一个弓形。

球体

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的

几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等

于半径。

1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h（R为圆柱体上下

底圆半径，h为圆柱体高）

2、圆锥体：表面积：πR2+πR[（h2+R2）的]体积：πR2h/3（r

为圆锥体低圆半径，h为其高，

3、a—边长，S=6a2，V=a3

4、长方体a—长，b—宽，c—高S=2（ab+ac+bc）V=abc

5、棱柱S—h—高V=Sh

6、棱锥S—h—高V=Sh/3

7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+（S1S2）^1/2]/3

8、S1—上底面积，S2—下底面积，S0—中h—高，V=h

（S1+S2+4S0）/6

9、圆柱r—底半径，h—高，C—底面周长S底—底面积，S侧—，

S表—表面积C=2πrS底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底

h=πr2h

10、空心圆柱R—外圆半径，r—内圆半径h—高V=πh（R^2—

r^2）

11、r—底半径h—高V=πr^2h/3

12、r—上底半径，R—下底半径，h—高V=πh（R2+Rr+r2）

/313、球r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6

14、球缺h—球缺高，r—球半径，a—球缺底半径V=πh

（3a2+h2）/6=πh2（3r—h）/3

15、球台r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3（r12+r22）

+h2]/6

16、圆环体R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体

截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4

17、桶状体D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高V=πh（2D2+d2）

/12，（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）V=πh（2D2+Dd+3d2/4）

/15（母线是抛物线形）

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