2019数学

2019年高考数学试卷含答案

一、选择题

1．

22

xxee

fx

xx







的部分图象大致是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

2．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是

（）

A

．①③④

B

．②④

C

．②③④

D

．①②③

3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序

为

A

．甲、乙、丙

B

．乙、甲、丙

C

．丙、乙、甲

D

．甲、丙、乙

4．设

01p

，随机变量



的分布列如图，则当

p

在0,1

内增大时，（）



01

2

P

1

2

p

1

22

p

A

．D减小

B

．D增大

C

．D先减小后增大

D

．D先增大后减小

5

．为美化环境，从红、黄、白、紫

4

种颜色的花中任选

2

种花种在一个花坛中，余下的

2

种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

A

．

1

3

B

．

1

2

C

．

2

3

D

．

5

6

6．函数

2

ln1fxx

x



的一个零点所在的区间是()

A

．0,1B

．1,2C

．2,3D

．3,4

7．已知向量a，b满足2a，||1b，且

2ba

，则向量a与b的夹角的余弦值

为（）

A

．

2

2

B

．

2

3

C

．

2

8

D

．

2

4

8．函数

1

ln1yx

x

的图象大致为()

A

．

B

．

C

．

D

．

9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三

角形，则该几何体的外接球的表面积为

()

A

．

4

3



B

．

8

3



C

．

16

3



D

．

20

3



10．已知函数

25,1,

,1,

xaxx

fx

a

x

x

















是

R

上的增函数，则

a

的取值范围是（）

A

．30aB

．

0a

C

．2aD

．

32a≤≤

11．在如图的平面图形中，已知

1,2,120OMONMON,2,2,BMMACNNA则·BCOM的值为

A

．

15

B

．9

C

．6D

．

0

12．已知全集1,0,1,2,3U

，集合0,1,2A

，1,0,1B

，则

U

AB（）

A

．1B

．0,1

C

．1,2,3D

．1,0,1,3

二、填空题

13

．已知曲线

lnyxx

在点1,1

处的切线与曲线221yaxax

相切

,

则

a=

．

14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，

为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从

丙种型号的产品中抽取

________

件.

15．函数22,0

26,0

xx

fx

xlnxx













的零点个数是

________

．

16．若不等式

|3|4xb

的解集中的整数有且仅有

1

，

2

，

3

，则b的取值范围是

17．如图所示，平面BCC

1

B

1

⊥平面ABC，



ABC＝120



，四边形BCC

1

B

1

为正方形，且AB＝BC

＝2，则异面直线BC

1

与AC所成角的余弦值为

_____

．

18．设aR，直线

20axy

和圆

22cos,

12sin

x

y















（为参数）相切，则

a

的值为

____

.

19．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，

的均值为．

20．如图，用

6

种不同的颜色给图中的

4

个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使

用

3

种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作

答）．

三、解答题

21．已知函数2fxmx

，mR，且20fx

的解集为1,1

（

1

）求

m

的值；

（

2

）若

,,abcR

，且

111

23

m

abc



，求证239abc

22．如图，在三棱柱

111

ABCABC

中，H是正方形

11

AABB

的中心，

1

22AA，

1

CH

平面

11

AABB

，且

1



（

Ⅰ

）求异面直线AC与

11

AB所成角的余弦值；

（

Ⅱ

）求二面角

111

AACB

的正弦值；

（

Ⅲ

）设N为棱

11

BC的中点，点M在平面

11

AABB

内，且

MN

平面

111

ABC，求线段

BM的长．

23．选修

4-5

：不等式选讲：设函数

()13fxxxa.

（

1

）当

1a

时，解不等式

()23fxx

；

（

2

）若关于

x

的不等式

()42fxxa

有解，求实数

a

的取值范围

.

24．如图所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中

点，求证：

(1)DE∥平面BCP；

(2)四边形DEFG为矩形．

25．已知函数1fxaxlnx

，aR．

(

Ⅰ

)

讨论函数fx

的单调区间；

(

Ⅱ

)

若函数fx

在1x处取得极值，对0,x

，2fxbx

恒成立，求实数

b

的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：

A

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性，排除

D

；根据函数解析式可知定义域为1xx

,

所以

y

轴右侧虚线

部分为

x=1

，利用特殊值

x=0.01

和

x=1.001

代入即可排除错误选项．

【详解】

由函数解析式

22

xxee

fx

xx







，易知

22

xxee

fx

xx







=fx

所以函数

22

xxee

fx

xx







为奇函数，排除

D

选项

根据解析式分母不为

0

可知

,

定义域为1xx

,

所以

y

轴右侧虚线部分为

x=1

，

当

x=0.01

时，代入fx

可得0fx

，排除

C

选项

当

x=1.001

时，代入fx

可得0fx

，排除

B

选项

所以选

A

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注

意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．

2．A

解析：

A

【解析】

【分析】

分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面

既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.

【详解】

由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时

得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得

②.故选A.

【点睛】

本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征

是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题

.

3．A

解析：

A

【解析】

【分析】

利用逐一验证的方法进行求解

.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故

3

人成绩由高到

低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则

甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正

确，不符合题意，故选

A

．

【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知

识、逻辑推理能力的考查．

4．D

解析：

D

【解析】

【分析】

先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性

.

【详解】

111

()012

2222

pp

Ep





，

2222

111111

()(0)(1)(2)

2222224

pp

Dppppp





，

1

(0,1)

2



，∴

()D

先增后减，因此选

D.

【点睛】

222

111

(),()(())().

nnn

iiiiii

iii

ExpDxEpxpE





5

．

C

解析：

C

【解析】

试题分析：将

4

种颜色的花种任选

2

种种在一个花坛中，余下

2

种种在另一个花坛中，有

6

种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有

4

种，故所求概率为

2

3

，选

C.

【考点】古典概型

【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题

,

一般难度不大

,

解答中的常见错误是在用

列举法计数时出现重复或遗漏

,

避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举

.

6

．

B

解析：

B

【解析】

【分析】

先求出

(1)(2)0,ff

根据零点存在性定理得解

.

【详解】

由题得

2

1ln2=ln220

1

f

，



2

2ln3=ln310

2

f

，

所以

(1)(2)0,ff

所以函数

2

ln1fxx

x



的一个零点所在的区间是1,2.

故选

B

【点睛】

本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题

.

7．D

解析：

D

【解析】

【分析】

根据平方运算可求得

1

2

ab，利用

cos,

ab

ab

ab





求得结果

.

【详解】

由题意可知：

2

222324bababaab，解得：

1

2

ab

12

cos,

4

22

ab

ab

ab





本题正确选项：D

【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积

.

8．A

解析：

A

【解析】

【分析】

确定函数在定义域内的单调性，计算1x时的函数值可排除三个选项．

【详解】

0x

时，函数为减函数，排除

B

，

10x

时，函数也是减函数，排除

D

，又1x时，

1ln20y

，排除

C

，只有

A

可满足．

故选：

A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调

性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最

后剩下的一个即为正确选项．

9．C

解析：

C

【解析】

【分析】

根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的

半径，从而求出球的表面积公式．

【详解】

由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面SAC底面

ABC

，高为

3SO；

其中1OAOBOC，SO平面

ABC

，

其外接球的球心在

SO

上，设球心为

M

，OMx，根据

SM=MB

得到：在三角形

MOB

中，

MB=21SM3xx，，213xx，

解得

3

3

x，



外接球的半径为

323

3

33

R；



三棱锥外接球的表面积为2

2316

4()

33

S



．

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问

题，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的

性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆

心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同

样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样

两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底

面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂

直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球

.

10

．

D

解析：

D

【解析】

【分析】

根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处

的函数值

.

【详解】

要使函数在

R

上为增函数，须有fx

在

(,1]

上递增，在

(1,)

上递增，

所以

2

1,

2

0,

115,

1

a

a

a

a





















，解得

32a≤≤

.

故选

D.

【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想

的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑

.

11．C

解析：

C

【解析】

分析：连结

MN

，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果

.

详解：如图所示，连结

MN

，

由2,2BMMACNNA可知点

,MN

分别为线段

,ABAC

上靠近点A的三等分点，

则33BCMNONOM

，

由题意可知：

2

211OM，12cos1201OMON，

结合数量积的运算法则可得：

2333336BCOMONOMOMONOMOM.

本题选择

C

选项

.

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的

几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

12．A

解析：

A

【解析】

【分析】

本题根据交集、补集的定义可得

.

容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查

.

【详解】

={1,3}

U

CA，则{1}

U

CAB

【点睛】

易于理解集补集的概念、交集概念有误

.

二、填空题

13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的

为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线

方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】

解析：

8

【解析】

试题分析：函数

lnyxx

在

(1,1)

处的导数为

11

1

|1|2

xx

y

x





，所以切线方程为

；曲线2(2)1yaxax的导函数的为，因与该曲线

相切，可令，当时，曲线为直线，与直线

平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即

可求得

.

考点：导函数的运用

.

【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的

斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函

数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代

入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．

14

．

18

【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为

18

点睛

:

在分层抽样的

过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体

数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即

ni

解析：18

【解析】

应从丙种型号的产品中抽取

300

6018

1000



件，故答案为

18

．

点睛

:

在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所

抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni

∶Ni

＝

n∶N．

15．2【解析】【详解】当x≤0时由f（x）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x

＞0函数f（x）=2x﹣6+lnx单调递增则f（1）＜0f（3）＞0此时函数f（x）

只有一个零点所以共有2个零点故答案为：

解析：2

【解析】

【详解】

当

x≤0

时，由

f

（

x

）

=x2﹣

2=0

，解得

x=2，有

1

个零点；

当

x

＞

0

，函数

f

（

x

）

=2x

﹣

6+lnx

，单调递增，

则

f

（

1

）＜

0

，

f

（

3

）＞

0

，此时函数

f

（

x

）只有一个零点，

所以共有

2

个零点．

故答案为：

2

．

【点睛】

判断函数零点个数的方法

直接法（直接求零点）：令

f(x)

＝

0

，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点，

定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间

[a

，

b]

上是连续不断的

曲线，且

f(a)·f(b)<0

，还必须结合函数的图象与性质

(

如单调性、奇偶性

)

才能确定函数有多

少个零点，

图象法（利用图象交点的个数）：画出函数

f(x)

的图象，函数

f(x)

的图象与

x

轴交点的个数

就是函数

f(x)

的零点个数；将函数

f(x)

拆成两个函数

h(x)

和

g(x)

的差，根据

f(x)

＝

0

⇔

h(x)

＝

g(x)

，则函数

f(x)

的零点个数就是函数

y

＝

h(x)

和

y

＝

g(x)

的图象的交点个数，

性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的

函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数

16．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得

解析：

(5,7)

【解析】

【分析】

【详解】

由

|3|4xb

得

44

33

bb

x





由整数有且仅有

1

，

2

，

3

知

4

01

3

4

34

3

b

b























，解得57b

17．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值

【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求

线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的

解析：

6

4

【解析】

【分析】

将AC平移到和

1

BC

相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值

.

【详解】

过

B

作//BDAC，过C作//CDAB，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD是平行

四边形，故//BDAC，所以

1

CBD

是所求线线角或其补角

.

在三角形

1

BCD

中，

11

22,23BCCDBD，故

1

81286

cos

4

22223

CBD







.

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属

于中档题

.

18．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线

与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标

为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使

解析：

3

4

【解析】

【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出

a

满足的方

程，解之解得。

【详解】

圆

22cos,

12sin

x

y















化为普通方程为22(2)(1)2xy，

圆心坐标为

(2,1)

，圆的半径为2，

由直线与圆相切，则有

2

21

2

1

a

a







，解得

3

4

a

。

【点睛】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大

小作出判断。

19．11【解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn的均值x=5所以样本数据

2x1+12x2+1⋅⋅⋅2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值

的性质

解析：

【解析】

因为样本数据，，，的均值，所以样本数据，，，

的均值为，所以答案应填：．

考点：均值的性质．

20

．

390

【解析】【分析】【详解】用

2

色涂格子有种方法用

3

色涂格子第一步

选色有第二步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有

390

种方法故答案

为

:390

解析：390

【解析】

【分析】

【详解】

用

2

色涂格子有种方法

,

用

3

色涂格子

,

第一步选色有

,

第二步涂色

,

共有

种

,

所以涂色方法种方法

,

故总共有

390

种方法

.

故答案为

:390

三、解答题

21．（

1

）

1

；（

2

）见解析

【解析】

【分析】

（

1

）由条件可得2fxmx

，故有

0mx

的解集为

[11]，

，即

xm

的解集

为

[11]，

，进而可得结果；（

2

）根据

111

2323

23

abcabc

abc









利用基本

不等式即可得结果

.

【详解】

（

1

）函数2fxmx

，mR，故2fxmx

，由题意可得

0mx

的

解集为

[11]，

，即

xm

的解集为

[11]，

，故1m．

（

2

）由

a

，b，Rc，且

111

1

23

m

abc



，

∴

111

2323

23

abcabc

abc









2332

111

2233

bcacab

aabbcc



2332

3369

2233

bcacab

aabbcc



，

当且仅当

2332

1

2233

bcacab

aabbcc



时，等号成立．

所以239abc.

【点睛】

本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．

22．（

Ⅰ

）

2

3

；（

Ⅱ

）

35

7

；（

Ⅲ

）

10

4

【解析】

【分析】

（

Ⅰ

）以

B

为坐标原点，BA所在直线为

x

轴，

1

BB

所在直线为

y

轴，建立坐标系，设异

面直线AC与

11

AB

所成角为



，算出

11

,ACAB，再利用

cos

11

|cos,|ACAB计算即

可；

（

Ⅱ

）分别求出平面

11

AAC

的法向量m与平面

111

BAC

的法向量n，再利用向量的夹角公式

算得cos,mn即可；

（

Ⅲ

）设

(,,0)Mab

，由

MN

平面

111

ABC

，得11

11

0

0

MNAB

MNAC















，进一步得到M的坐

标，再由模长公式计算BM的长

.

【详解】

如图所示，建立空间直角坐标系，其中点

B

为坐标原点，BA所在直线为

x

轴，

1

BB

所在

直线为

y

轴，

由题意，

111

(0,0,0),(22,0,0),(2,2,5),(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)BACABC

，

（

Ⅰ

）

11

(2,2,5),(22,0,0)ACAB，

所以11

11

11

42

cos,

3

||||

322

ACAB

ACAB

ACAB







，

设异面直线AC与

11

AB

所成角为



，

则

cos

11

2

|cos,|

3

ACAB，

所以异面直线AC与

11

AB所成角的余弦值为

2

3

.

（

Ⅱ

）易知

111

(0,22,0),(2,2,5)AAAC，

设平面

11

AAC

的法向量(,,)mxyz，

则11

1

0

0

mAC

mAA















，即

2250

220

xyz

y















，

令5x，则

2z

，所以(5,0,2)m，

同理，设平面

111

BAC

的法向量(,,)nxyz，

则11

11

0

0

nAC

nAB















，即

2250

220

xyz

x















，

令5y，则

2z

，所以(0,5,2)n，

所以

22

cos,

7

||||

77

mn

mn

mn









，

设二面角

111

AACB

的大小为，

则2

235

sin1()

77

，

所以二面角

111

AACB

的正弦值为

35

7

.

（

Ⅲ

）由N为棱

11

BC

的中点，得

2325

,,

222

N







，

设

(,,0)Mab

，则

2325

,,

222

MNab









，

由

MN

平面

111

ABC

，得11

11

0

0

MNAB

MNAC















，即

2

(22)0

2

2325

(2)(2)50

222

a

ab



































，

解得

2

2

2

4

a

b



















，故

22

,,0

24

M







，因此

22

,,0

24

BM









，

所以线段BM的长为

10

||

4

BM.

【点睛】

本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查

学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力

.

23．（1）

15

[,]

42

（2）

(5,3)

【解析】

【分析】

（

1

）通过讨论

x

的范围，求出不等式的解集即可；

（

2

）问题等价于关于

x

的不等式

14xxa

有解，

min

14xxa

，求出

a

的范围即可．

【详解】

解：（

1

）1323fxxxax

可转化为

1

4223

x

xx











或

11

4223

x

xx











或

1

2423

x

xx











，

解得

5

1

2

x

或

1

1

4

x

或无解

.

所以不等式的解集为

15

,

42







.

（

2

）依题意，问题等价于关于

x

的不等式

14xxa

有解，

即

min

14xxa

，

又

111xxaxxaa

，当10xxa

时取等号

.

所以

14a

，解得53a，所以实数a的取值范围是5,3.

【点睛】

含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几

何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函

数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活

应用。

24．(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据DE平行PC即可证明（2）利用PC，可知DE与FG平行且相等，即可证明.

【详解】

证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.

又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.

(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.

所以四边形DEFG为平行四边形．

又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.

所以四边形DEFG为矩形．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题

.

25．(1)当

0a

时，

()fx

的单调递减区间是

(0,)

，无单调递增区间；当0a时，

()fx

的单调递减区间是

1

0,

a







，单调递增区间是

1

,

a









(2)

2

1

1b

e

≤

【解析】

【分析】

【详解】

分析：（

1

）求导fx



，解不等式0fx





，得到增区间，解不等式0fx





，得到

减区间；

（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）

≥bx

﹣

2

⇔

1+

1

x

﹣

lnx

x

≥

b，构造函数g（x）=1

+

1

x

﹣

lnx

x

，

g

（

x

）

min

即为所求的b的值

详解：

（1）在区间0,

上，

11ax

fxa

xx







，

当

0a

时，0fx





恒成立，fx

在区间0,

上单调递减；

当0a时，令0fx





得

1

x

a



，

在区间

1

0,

a







上，0fx





，函数fx

单调递减，

在区间

1

,

a









上，0fx





，函数fx

单调递增.

综上所述：当

0a

时，fx

的单调递减区间是0,

，无单调递增区间；

当0a时，fx

的单调递减区间是

1

0,

a







，单调递增区间是

1

,

a









（2）因为函数fx

在1x处取得极值，

所以10f





，解得

1a

，经检验可知满足题意

由已知2fxbx

，即1ln2xxbx，

即

1ln

1+

x

b

xx



对0,x

恒成立，

令

1ln

1

x

gx

xx



，

则

222

11lnln2xx

gx

xxx











，

易得gx

在20,e





上单调递减，在2,e





上单调递增，

所以2

2

min

1

1gxge

e



，即

2

1

1b

e

≤.

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若

()0fx

就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

min

()0fx

，若

()0fx

恒成立，转化为

max

()0fx

;

（3）若

()()fxgx

恒成立，可转化为

minmax

()()fxgx