与三角形有关的线段

与三角形有关的线段(基础)知识

讲解(总7页)

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与三角形有关的线段（基础）知识讲解

【学习目标】

1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述

方法；

2.理解并会应用三角形三边间的关系；

3.理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应

用；

4.对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．

【要点梳理】

要点一、三角形的定义及分类

1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三

角形．

要点诠释：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的

角；

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首

尾顺次相接”.

(3)三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作

“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以

用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用

a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

2．三角形的分类

(1)按角分类：

















直角三角形

三角形

锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

要点诠释：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;

②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

(2)按边分类：

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要点诠释：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边

叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

②等边三角形：三边都相等的三角形.

要点二、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边的和大于第三边.

推论：三角形任意两边的差小于第三边.

要点诠释：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之

和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角

形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系.

要点三、三角形的高、中线与角平分线

1、三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段

叫做三角形的高线，简称三角形的高．

三角形的高的数学语言：

如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于

D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.

注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；

要点诠释：

（1）三角形的高是线段；

（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；

（3）三角形的三条高：

(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；

(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外

部；

(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.

2、三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．

三角形的中线的数学语言：

4

如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝

2

1

BC.

要点诠释：

（1）三角形的中线是线段；

(2)三角形三条中线全在三角形内部；

(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；

(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

3、三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线

段叫做三角形的角平分线.

三角形的角平分线的数学语言：

如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.

注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝

2

1

∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD

＝2∠DAC).

要点诠释：

（1）三角形的角平分线是线段；

（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；

（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；

（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.

要点四、三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性

质叫做三角形的稳定性.

要点诠释：

（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长

不改变．

（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角

形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个

三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，

也是这个道理．

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（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定

它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如

活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之

前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．

【典型例题】

类型一、三角形的定义及表示

1．如图所示．

(1)图中共有多少个三角形并把它们写出来；

(2)线段AE是哪些三角形的边

(3)∠B是哪些三角形的角

【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不

重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了

A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)

问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．

【答案与解析】

解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，

△AEC．

(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．

(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．

【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不

漏．

举一反三：

【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个用符号表示这些三角形．

【答案】3个,分别是△EAB,△BAC,△CAD.

类型二、三角形的三边关系

2.三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是()

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【答案】D.

【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习

惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之

和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够

组成三角形．

【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较

长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，

不大于则不能够成三角形．

【高清课堂：与三角形有关的线段例1】

举一反三：

【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.

(1)3，4，5；(2)3，5，9；(3)5，5，8.

【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.

3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.

【答案】59c

【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是│2-

7│

即5

【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│

举一反三：

【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：

AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．

【答案】证明：∵在△OAB中OA+OB＞AB

在△OAD中有OA+OD＞AD，

在△ODC中有OD+OC＞CD，

在△OBC中有OB+OC＞BC，

∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA

即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，

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即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．

类型三、三角形中重要线段

4.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如

何求这个三角形的面积”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华

根据小明的提示作出的图形正确的是()

【答案】C

【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和

垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然

后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．

【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高

所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的

外部．

举一反三：

【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是

（）

A．B．C．D．

【答案】A．

5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长

大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．

【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的

周长比△ACD的周长大3．

【答案与解析】

解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，

故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．

又∵CD为△ABC的AB边上的中线，

∴AD＝BD，即BC-AC＝3．

又∵BC＝8，∴AC＝5．

8

答：AC的长为5cm．

【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另

外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学

思想是解几何题常用的方法．

举一反三：

【变式】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且4

ABC

S

△

，

则S

阴影

为________．

【答案】1.

类型四、三角形的稳定性

6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上

两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么

【答案与解析】

解：三角形的稳定性．

【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多

边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．