2017年高考数学全国卷

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=22(,)1xyxy│，B=(,)xyyx│，则AB中元素的个数为

A．3B．2C．1D．0

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=

A．

1

2

B．

2

2

C．2D．2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至

2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．学#科&

网

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．(

x

+y)(2

x

-y)5的展开式中

x3y3的系数为

A．-80B．-40C．40D．80

5．已知双曲线C：

22

22

1

xy

ab

(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为

5

2

yx,且与椭圆

22

1

123

xy

有公共焦点，则C的方程为

A．

22

1

810

xy

B．

22

1

45

xy

C．

22

1

54

xy

D．

22

1

43

xy



6．设函数f(x)=cos(x+

3



)，则下列结论错误的是

A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=

8

3



对称

C．f(x+π)的一个零点为x=

6



D．f(x)在(

2



,π)单调递减

7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A．5B．4C．3D．2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的

体积为

A．

π

B．

3π

4

C．

π

2

D．

π

4

9．等差数列

n

a的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则

n

a前6项的和

为

A．-24B．-3C．3D．8

10．已知椭圆C：

22

22

1

xy

ab

，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直

径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为

A．

6

3

B．

3

3

C．

2

3

D．

1

3

11．已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点，则a=

A．

1

2

B．

1

3

C．

1

2

D．1

12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=

AB+AD，则+的最大值为

A．3B．22C．

5

D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若

x

，y满足约束条件

y0

20

0

x

xy

y

















，则z34xy的最小值为__________．

14．设等比数列

n

a满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．

15．设函数

10

()

20x

xx

fx

x













，，

，，

则满足

1

()()1

2

fxfx

的x的取值围是_________。

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b

都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所称角的最小值为45°；

④直线AB与a所称角的最小值为60°；

其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+

3

cosA=0，a=2

7

,b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积．

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，

未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求

量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最

高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为

了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的

进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？学科*网

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求

二面角D–AE–C的余弦值．

20．（12分）

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径

的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）

已知函数()fx=x﹣1﹣alnx．

（1）若

()0fx

，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，

2

111

1++1+)

222n

()(1)(﹤m，求m的最小

值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为

2+,

,

xt

ykt











（t为参数），直线l2的参数方

程为

2,

,

xm

m

m

y

k















（为参数）

．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

23．[选修45：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值围．

2017年理科数学试题正式答案

一、选择题

1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B9.A10.A11.C12.A

二、填空题13.-114.-815.



1

（-，+）

4

16.②③

三、解答题17.解：（1）由已知得tanA=





2

3，所以A=

3

在△ABC中，由余弦定理得

22

2

2844cos+2-24=0

3

c6c

cccc







，即

解得（舍去），=4

（2）有题设可得



=，所以

26

CADBADBACCAD

故△ABD面积与△ACD面积的比值为





1

sin

26

1

1

2

ABAD

ACAD

又△ABC的面积为



1

42sin23，所以的面积为3.

2

BACABD

18.解：（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知



216

2000.2

90

PX





36

3000.4

90

PX

2574

5000.4

90

PX





.

因此

X

的分布列为

X

200300500

P

0.20.40.4

⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑

200500n≤≤

当

300500n≤≤

时，

若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n

若最高气温位于区间20，,25

，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;

因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n

当

200300n≤

时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;

因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n

所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19.解：（1）由题设可得，

,ABDCBDADDC从而

又

ACD

是直角三角形，所以0=90ACD

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO

又由于

ABCBOAC是正三角形，故

所以

DOBDACB为二面角的平面角

222

2222220

,

RtAOBBOAOAB

ABBD

BODOBOAOABBD

ACDABC









在中，

又所以

，故DOB=90

所以平面平面

（2）由题设及（1）知，

OA,OB,OD

两两垂直，以

O

为坐标原点，OA的方向为

x

轴正方

向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

Oxyz-

，则

(1，0，0),(0，3，0),(1，0，0),(0，0，1)ABCD

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的

1

2

，从而E到平面ABC的距离为D

到平面ABC的距离的

1

2

，即E为DB的中点，得E

31

0，，

22









.故



31

1，0，1，2，0，0，1，，

22

ADACAE











设=x,y,zn是平面DAE的法向量，则

0

0，

即

31

0

0，

22

xz

AD

xyz

AE

























n

n

可取

3

11

3

=,,









n设

m

是平面AEC的法向量，则

0，

0，

AC

AE















m

m

同理可得013,,m

则

7

7

cos,

nm

nm

nm

所以二面角D-AE-C的余弦值为

7

7

20.解（1）设

1122

2Ax,y,Bx,y,l:xmy

由

2

2

2

xmy

yx











可得2

12

240则4ymy,yy

又

2

22

12

12

1212

==故=

224

yy

yy

x,x,xx=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为12

12

-4

==-1

4

yy

xx

所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.

（2）由（1）可得2

121212

+=2+=++4=24yym,xxmyym

故圆心M的坐标为2+2，mm，圆M的半径2

222rmm

由于圆M过点P（4，-2），因此0APBP,故

1212

44220xxyy

即

12121212

4+2200xxxxyyyy由（1）可得

1212

=-4，=4yyxx

，

所以2210mm，解得

1

1或

2

mm.

当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为10，圆M

的方程为223110xy当

1

2

m时，直线l的方程为240xy，圆心M的

坐标为

91

，-

42







，圆M的半径为

85

4

，圆M的方程为

229185

++

4216

xy









21.解：（1）fx的定义域为0，+.①若0a，因为

11

=-+2＜0

22

faln







，所以不满

足题意；②若＞0a，由1

axa

f'x

xx



知，当0x,a时，＜0f'x；当，+xa

时，＞0f'x，所以fx在0,a单调递减，在，+a单调递增，故x=a是fx在

0，+x的唯一最小值点.由于10f，所以当且仅当a=1时，0fx.故a=1

（2）由（1）知当1，+x时，1＞0xlnx令

1

=1+

2n

x得

11

1+＜

22nn

ln







，从而

22

1111111

1++1+++1+＜+++=1-＜1

2222222nnn

lnlnln









故

2

111

1+1+1+＜

222n

e









而

23

111

1+1+1+＞2

222







，所以m的最小值为3.

22.解：（1）消去参数t得l1的普通方程

1

2l:ykx；消去参数m得l2的普通方程

2

1

2l:yx

k

设P（x,y）,由题设得





2

1

2

ykx

yx

k















，消去k得2240xyy.

所以C的普通方程为2240xyy

（2）C的极坐标方程为22240＜＜2cossin,

联立





2224

+-2=0

cossin

cossin













得=2+cossincossin.

故

1

3

tan，从而22

91

=，=

1010

cossin

代入222-=4cossin得2=5

，所以交点M的极径为5.

23.解：

（1）

3＜1

2112

3＞2

,x

fxx,x

,x















当＜1x时，1fx无解；

当12x时，由1fx得，211x，解得12x当＞2x时，由1fx解得

＞2x.所以1fx的解集为1xx.

（2）由2fxxxm得212mxxxx，而

22

2

12+1+2

35

=--+

24

5

4

xxxxxxxx

x











且当

3

2

x时，2

5

12=

4

xxxx.故m的取值围为

5

-，

4









