抛物线的性质

抛物线的常见性质及证明

概念

焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；

焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.

性质及证明

过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为),(

11

yxA,),(

22

yxB,倾斜角为,中点为

C(x0,y0),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’.

1.求证：①焦半径

cos12

||

1



pp

xAF；②焦半径

cos12

||

2



pp

xBF;

③

1

|AF|

＋

1

|BF|

＝

2

p

；④弦长|AB|＝x1＋x2＋p=

2sin

2p

；特别地，当

x1=x2(=90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB的面积S△OAB＝

sin2

2p

.

证明：根据抛物线的定义，|AF|＝|AD|＝x1＋

p

2

，|BF|＝|BC|＝x2＋

p

2

，

|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p

如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为

A1、B1，那么|RF|＝|AD|－|FA1|＝|AF|－|AF

|cos，

∴|AF|＝

|RF|

1－cos

＝

p

1－cos

同理，|BF|＝

|RF|

1＋cos

＝

p

1＋cos

∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝

p

1－cos

＋

p

1＋cos

＝

2p

sin2

.

S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝

1

2

|OF||y1|＋

1

2

|OF||y1|＝

1

2

·

p

2

·(|y1|＋|y1|)

∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，|y1|＋|y1|＝|y1－y2|

C

D

B(x2，y2)

R

A(x1，y1)

x

y

O

A1

B1

F

图2

∴S△OAB＝

p

4

|y1－y2|＝

p

4

(y1＋y2)2－4y1y2＝

p

4

4m2p2＋4p2＝

p2

2

1＋m2＝

p2

2sin

.

2.求证：①

2

124

p

xx；②2

12

yyp

；

③

1

|AF|

＋

1

|BF|

＝

2

p

.

当AB⊥x轴时，有

AFBFp，成立；

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：

2

p

ykx









.代入抛物线方程：

2

22

2

p

kxpx









.化简得：2

2222201

4

p

kxpkxk

∵方程（1）之二根为x1，x2，∴

1

2

24

k

xx.



12

2

11

12

1212

111111

22

24

xxp

pp

pp

AFBFAABB

xx

xxxx













1212

22

12

12

2

2

424

xxpxxp

p

ppp

p

xxp

xx









.

3.求证：'''FBABACRt∠.

先证明：∠AMB＝Rt∠

【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，

则

△ADM≌△ECM，

C

D

B(x2，y2)

R

A(x1，y1)

x

y

O

F

E

N

M

图3

∴|AM|＝|EM|，|EC|＝|AD|

∴|BE|＝|BC|＋|CE|＝|BC|＋|AD|

＝|BF|＋|AF|＝|AB|

∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，

∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠

【证法二】取AB的中点N，连结MN，则

|MN|＝

1

2

(|AD|＋|BC|)＝

1

2

(|AF|＋|BF|)＝

1

2

|AB|，∴|MN|＝|AN|

＝|BN|

∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.

【证法三】由已知得C(－

p

2

，y2)、D(－

p

2

，y1)，由此得M(－

p

2

，

y1＋y2

2

).

∴kAM＝

y1－

y1＋y2

2

x1＋

p

2

＝

y1－y2

2·

y2

1

2p

＋p

＝

p(y1－y2)

y2

1

＋p2

＝

p(y1－

－p2

y1

)

y2

1

＋p2

＝

p

y1

，同理kBM＝

p

y2

∴kAM·kBM＝

p

y1

·

p

y2

＝

p2

y1y2

＝

p2

－p2

＝－1

∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.

【证法四】由已知得C(－

p

2

，y2)、D(－

p

2

，y1)，由此得M(－

p

2

，

y1＋y2

2

).

∴MA

→

＝(x1＋

p

2

，

y1－y2

2

)，MB

→

＝(x3＋

p

2

，

y2－y1

2

)

∴MA

→

·MB

→

＝(x1＋

p

2

)(x2＋

p

2

)＋

(y1－y2)(y2－y1)

4

＝x1x2＋

p

2

(x1＋x2)＋

p2

4

－

(y1－y2)2

4

＝

p2

4

＋

p

2

(

y2

1

2p

＋

y2

2

2p

)＋

p2

4

－

y2

1

＋y2

2

－2y1y2

4

＝

p2

2

＋

y1y2

2

＝

p2

2

＋

－p2

2

＝0

∴MA

→

⊥MB

→

，故∠AMB＝Rt∠.

C

D

B

R

A

x

y

O

F

图4

1

2

3

4

M

【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结FM，则FM＝DM.

又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4

∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4

∴∠2＋∠3＝

1

2

×180＝90

∴∠AMB＝Rt∠.

接着证明：∠DFC＝Rt∠

【证法一】如图5，由于|AD|＝|AF|，AD∥RF，

故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝，

同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝，

而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180

∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠DFC＝

90

【证法二】取CD的中点M，即M(－

p

2

，

y1＋y2

2

)

由前知kAM＝

p

y1

，kCF＝

－y2

＋

p

2

＋

p

2

＝

－y2

p

＝

p

y1

∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF

∴∠DFC＝∠AMB＝90.

【证法三】∵DF

→

＝(p，－y1)，CF

→

＝(p，－y2)，

∴DF

→

·CF

→

＝p2＋y1y2＝0

∴DF

→

⊥CF

→

，故∠DFC＝90.

【证法四】由于|RF|2＝p2＝－y1y2＝|DR|·|RC|，即

|DR|

|RF|

＝

|RF|

|RC|

，且∠DRF＝∠FRC＝90

∴△DRF∽△FRC

∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90

∴∠DFR＋∠RFC＝90

图5

C

D

B(x2，y2)

R

A(x1，y1)

x

y

O

F(

p

2

，0)

C

D

B(x2，y2)

R

A(x1，y1)

x

y

O

F

M

图6

G

H

D1

N1N

M

x

y

O

F

图7

M1

l

∴∠DFC＝90

4.C’A、C’B是抛物线的切线

【证法一】∵kAM＝

p

y1

，AM的直线方程为y－y1＝

p

y1

(x－

y2

1

2p

)

与抛物线方程y2＝2px联立消去x得

y－y1＝

p

y1

(

y2

2p

－

y2

1

2p

)，整理得y2－2y1y＋y2

1

＝0

可见△＝(2y1)2－4y2

1

＝0，

故直线AM与抛物线y2＝2px相切，

同理BM也是抛物线的切线，如图8.

【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，(y2)

x

＝

(2px)

x

，

得2y·y

x

＝2p，y

x

＝

p

y

，故抛物线y2＝2px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切

＝y

x

|y＝y1＝

p

y1

.

又kAM＝

p

y1

，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.

【证法三】∵过点A(x1，y1)的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，把M(－

p

2

，

y1＋y2

2

)代入

左边＝y1·

y1＋y2

2

＝

y2

1

＋y1y2

2

＝

2px1－p2

2

＝px1－

p2

2

，

右边＝p(－

p

2

＋x1)＝－

p2

2

＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，

即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线

的切线.

5.C’A、C’B分别是∠A’AB和∠B’BA的平分

线.

【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，

则△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE，

C

D

B(x2，y2)

R

A(x1，y1)

x

y

O

F

E

N

M

图9

C

D

B(x2，y2)

R

A(x1，y1)

x

y

O

F

M

图8

D1

∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，

即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.

【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可，

即＝2.且M(－

p

2

，

y1＋y2

2

)

∵tan＝kAB＝

y2－y1

x2－x1

＝

y2－y1

y2

2

2p

－

y2

1

2p

＝

2p

y1＋y2

.

tan＝kAM＝

y1－

y1＋y2

2

x1＋

p

2

＝

y1－y2

2·

y2

1

2p

＋p

＝

p(y1－y2)

y2

1

＋p2

＝

p(y1－

－p2

y1

)

y2

1

＋p2

＝

p

y1

.

∴tan2＝

2tan

1－tan2

＝

2p

y1

1－(

p

y1

)2

＝

2py1

y2

2

－p2

＝

2py1

y2

2

＋y1y2

＝

2p

y1＋y2

＝tan

∴＝2，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.

’、A’F、y轴三线共点，BC’、B’F、y轴三线共点

【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，

由以上证明知|AD|＝|AF|，AM平分∠DAF，故AG1也是DF边上的中线，

∴G1是DF的中点.

设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，

易知，|DD1|＝|OF|，DD1∥OF，

故△DD1G2≌△FOG2

∴|DG2|＝|FG2|，则G2也是DF的中点.

∴G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共

点，

同理BM、CF、y轴也三线共点.

【证法二】AM的直线方程为y－y1＝

p

y1

(x－

y2

1

2p

)，

令x＝0得AM与y轴交于点G1(0，

y1

2

)，

C

D

B(x2，y2)

R

A(x1，y1)

x

y

O

F

M

图10

G

H

D1

又DF的直线方程为y＝－

y1

p

(x－

p

2

)，令x＝0得DF与y轴交于点G2(0，

y1

2

)

∴AM、DF与y轴的相交同一点G(0，

y1

2

)，则AM、DF、y轴三线共点，

同理BM、CF、y轴也三线共点H．由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.

7.A、O、B’三点共线，B、O、A’三点共线.

【证法一】如图11，kOA＝

y1

x1

＝

y1

y2

1

2p

＝

2p

y1

，

kOC＝

y2

－

p

2

＝－

2y2

p

＝－

2py2

p2

＝－

2py2

－y1y2

＝

2p

y1

∴kOA＝kOC，则A、O、C三点共线，

同理D、O、B三点也共线.

【证法二】设AC与x轴交于点O，∵AD∥RF∥BC

∴

|RO|

|AD|

＝

|CO|

|CA|

＝

|BF|

|AB|

，

|OF|

|AF|

＝

|CB|

|AB|

，

又|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，∴

|RO|

|AF|

＝

|OF|

|AF|

∴|RO|＝|OF|，则O与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三

点也共线.

【证法三】设AC与x轴交于点O，RF∥BC，

|OF|

|CB|

＝

|AF|

|AB|

，

∴|OF|＝

|CB|·|AF|

|AB|

＝

|BF|·|AF|

|AF|＋|BF|

＝

1

1

|AF|

＋

1

|BF|

＝

p

2

【见⑵证】

∴O与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.

【证法四】∵OC

→

＝(－

p

2

，y2)，OA

→

＝(x1，y1)，

∵－

p

2

·y1－x1y2＝－

p

2

·y1－

y2

1

2p

y2＝－

py1

2

－

y1y2y1

2p

＝－

py1

2

＋

p2y1

2p

＝0

∴OC

→

∥OA

→

，且都以O为端点

∴A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.

C

D

B(x2，y2)

R

A(x1，y1)

x

y

O

F

图11

【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A、B，过A、B两点

分别作直线l：x＝－m的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也

共线，如下图：

8.若|AF|：|BF|＝m：n，点A在第一象限，为直线AB的倾斜角.则cos＝

m－n

m＋n

；

【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BE⊥AD于E，

设|AF|＝mt，|AF|＝nt，则

|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，|AE|＝|AD|－|BC|

＝(m－n)t

∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝

|AE|

|AB|

＝

(m－n)t

(m＋n)t

＝

m－n

m＋n

∴cos＝cos∠BAE＝

m－n

m＋n

.

【例6】设经过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线相交于

两点A、B，

且|AF|：|BF|＝3：1，则直线AB的倾斜角的大小为.

【答案】60或120.

9.以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线

相切;A’B’为直径的圆与焦点弦AB相切.

【说明】如图15，设E是AF的中点，

则E的坐标为(

p

2

＋x1

2

，

y1

2

)，

C

D

B

R

A

x

y

O

E

F

图14

l

则点E到y轴的距离为d＝

p

2

＋x1

2

＝

1

2

|AF|

故以AF为直径的圆与y轴相切，

同理以BF为直径的圆与y轴相切.

【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN⊥准线l于N，则

|MN|＝

1

2

(|AD|＋|BC|)＝

1

2

(|AF|＋|BF|)＝

1

2

|AB|

则圆心M到l的距离|MN|＝

1

2

|AB|，

故以AB为直径的圆与准线相切.

交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.

【证明】设A(

y2

1

2p

，y1)，B(

y2

2

2p

，y1)，则C(－

p

2

，y2)，D(－

p

2

，

y1)，

M(－

p

2

，

y1＋y2

2

)，N(

y2

1

＋y2

2

4p

，

y1＋y2

2

)，

设MN的中点为Q，则Q(

－

p

2

＋

y2

1

＋y2

2

4p

2

，

y1＋y2

2

)

∵

－

p

2

＋

y2

1

＋y2

2

4p

2

＝

－2p2＋y2

1

＋y2

2

8p

＝

2y1y2＋y2

1

＋y2

2

8p

＝











y1＋y2

2

2

2p

∴点Q在抛物线y2＝2px上，即Q是MN的中点.

图16