高考2016

理科数学试卷A型第1页（共5页）

2016年普通高等学校招生全统一考试

理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合，，则0342xxxA032xxB

BAI

（A）（，）（B）（，）（C）（，）（D）（，）3

2

3



3

2

3

1

2

3

2

3



3

（2）设，其中,是实数，则yixi1)1(

x

y

yix

（A）1（B）（C）（D）22

3

（3）已知等差数列前9项的和为27，，则

n

a8

10

a

100

a

（A）100（B）99（C）98（D）97

（4）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车

站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）（B）（C）（D）

3

1

2

1

3

2

4

3

（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围

1

32

2

2

2







nm

y

nm

x

m

是（A）（，）（B）（，）（C）（，）（D）（，）131

3

030

3

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半

径．若该几何体的体积是，则它的表面积是

3

28

（A）17π（B）18π（C）20π（D）

28π

（7）函数在的图象大致为

xexy2222，

x

x

xx

yy

y

y

O

-22

1

O

-22

1

O-22

1

-22

1

O

（A）（B）（C）（D）

理科数学试卷A型第2页（共5页）

是

否

nyy

n

xx



,

2

1

3622yx

输入nyx,,

输出yx,

开始

结束

1nn

（8）若，，则

1ba10c

（A）（B）ccbaccbaab

（C）（D）cbca

ab

loglogcc

ba

loglog

（9）执行右图的程序框图，如果输入的,,，则输0x

1y

1n

出的值满足yx,

（A）（B）（C）（D）xy2xy3xy4

xy5

（10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于,两点，交的准线于,两点．已知CC

AB

C

DE24AB

，，则的焦点到准线的距离为52DE

C

（A）2（B）4（C）6（D）8

（11）平面过正方体的顶点，∥平面，∩平面，∩

1111

DCBAABCD

A

11

DCBmABCD

平面，则所成角的正弦值为nAABB

11

nm,

（A）（B）（C）（D）

2

3

2

2

3

3

3

1

（12）已知函数，为的零点，为图)sin()(xxf)

2

,0(





4



x

)(xf

4



x

)(xfy

象的对称轴，且在单调，则的最大值为)(xf

)

36

5

,

18

(





（A）11（B）9（C）7（D）5

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题

为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）设向量，，且，则．)1,(ma)2,1(b222baba

m

（14）的展开式中，的系数是．（用数字填写答案）5)2(xx3x

（15）设等比数列满足，，则的最大值为．

n

a10

31

aa

5

42

aa

n

aaa

21

理科数学试卷A型第3页（共5页）

F

E

A

B

C

D

9

1011

8

频数

更换的易损零件数

40

20

O

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材

料1kg，用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件A产品

的利润为2100元，生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则

在不超过600工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

的内角的对边分别为，已知.ABC△

CBA,,cba,,cAbBaC)coscos(cos2

（Ⅰ）求；C

（Ⅱ）若，的面积为.求的周长.7c

ABC△

2

33

ABC△

（18）（本小题满分12分）

如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，FEDCBA,,,,,ABEFFDAF2

，且二面角与二面角90AFD

EAFD

都是60°.FBEC

（Ⅰ）证明：平面⊥平面；ABEF

EFDC

（Ⅱ）求二面角的余弦值.ABCE

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可

以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现

需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集

并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下

面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器

更换的易损零件数发生的频率，记表示2台机器三年X

内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.n

（Ⅰ）求的分布列；X

理科数学试卷A型第4页（共5页）

（Ⅱ）若要求，确定的最小值；5.0）（nXP

n

（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪19n20n

个？

（20）（本小题满分12分）

设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于015222xyxAl

)0,1(B

x

lA

两点，过作的平行线交于点.DC,B

AC

ADE

（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；EBEA

E

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于E

1

Cl

1

C

NM,BlA

两点，求四边形面积的取值范围.QP,MPNQ

（21）（本小题满分12分）

已知函数有两个零点.2)1()2()(xaexxfx

（Ⅰ）求的取值范围；a

（Ⅱ）设是的两个零点，证明：.

21

,xx

)(xf

2

21

xx

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，是等腰三角形，.以为圆心，为半径作圆.OAB△120AOBO

OA

2

1

（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；AB

O

（Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，证明：DC,

O

DCBA,,,

.CDAB∥

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

C

B

A

O

D

理科数学试卷A型第5页（共5页）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，).在以坐标原xOy

1

C











,sin1

,cos

tay

tax

t

0a

点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.x

2

Ccos4

（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；

1

C

1

C

（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都

3

C

0



0

2tan

0



1

C

2

C

在上，求.

3

C

a

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.321)(xxxf

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；)(xfy

（Ⅱ）求不等式的解集.1)(xf

x

y

1

1

o

理科数学试卷A型第6页（共5页）

2016年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析

一、选择题

【答案】

（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8）C（9）C（10）

B

（11）A（12）B

【解析】

（1），，∴310342xxxxxA















2

3

032xxxxB

．













3

2

3

xxBAI

（2）∵即∴，解得：，∴yixi1)1(yixix1











yx

x1











1

1

y

x

．222yxyix

（3）∵∴，∵∴，∴279

2

29

2

)(9

5

591

9









a

aaa

S

3

5

a8

10

a

1

510

510







aa

d

．9890

10100

daa

（4）如图所示，画出时间轴：

8:20

8:107:507:40

8:308:00

7:30

BACD

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，

才能保证他等车的时间不超过10分钟，

根据几何概型，所求概率．

2

1

40

1010





p

（5）表示双曲线，则，∴，

1

32

2

2

2







nm

y

nm

x

0)3)((22nmnm223mnm

理科数学试卷A型第7页（共5页）

∵











22224)3()(

42

mnmnmc

c

解得，∴．12m

31n

（6）原立体图如图所示：

是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图，表面积

是7/8的球面面积和三个扇形面积之和，

∴172

4

1

324

8

7

22S

（7），排除A；，排除B；08.288)2(22ef17.288)2(22ef

时，，，当时，0xxexxf22)(xexxf



4)(

)

4

1

,0(x

∴在单调递减，排除C；04

4

1

)(0



exf)(xf)

4

1

,0(

故选D

（8）对A：由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；

01ccyx

R

1ccabab

对B：由于，∴函数在上单调递减，

110c1cyx1,

∴，B错误

111ccccababbaab

对C：要比较和，只需比较和，只需比较和，只需

log

b

aclog

a

bc

ln

ln

ac

b

ln

ln

bc

a

ln

ln

c

bb

ln

ln

c

aa

和

lnbblnaa

构造函数，则，在上单调递增，因此

ln1fxxxx'ln110fxxfx1,



11

0lnln0

lnln

fafbaabb

aabb



又由得，∴，C正确

01cln0c

lnln

loglog

lnlnab

cc

bcac

aabb



对D：要比较和，只需比较和

log

a

clog

b

c

ln

ln

c

a

ln

ln

c

b

而函数在上单调递增，故

lnyx1,

11

1lnln0

lnln

abab

ab



又由得，∴，D错误

01cln0c

lnln

loglog

lnlnab

cc

cc

ab



故选C．

【2°用特殊值法，令得，排除A；，排除B；

2

1

,2,3cba2

1

2

1

232

1

2

1

3223

，C正确；，排除D；∴选C】2log2

2

1

log3

32



2

1

log

2

1

log

23



理科数学试卷A型第8页（共5页）

（9）如下表：

输出，

2

3

x

，满足

，

故选C．6y4yx

（10）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：

22ypx

0p

222xyr

设，，

0

,22Ax

,5

2

p

D









点在抛物线上，∴……①

0

,22Ax

22ypx

0

82px

点在圆上，∴……②

,5

2

p

D







222xyr

2

25

2

p

r









点在圆上，∴……③

0

,22Ax

222xyr22

0

8xr

联立①②③解得：，焦点到准线的距离为．

4p4p

2°【如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,22ypx

交轴于点，则，即点纵坐,ABDE

x

,CF

22ACA

标为，则点横坐标为，即，由勾股22A

4

p

4

OC

p



定理知，

2222DFOFDOr

，即

2222ACOCAOr

，解得，即的2222

4

(5)()(22)()

2

p

p



4p

C

焦点到准线的距离为4】

（11）如图所示：

∵，∴若设平面平面，则11

CBD∥平面

11

CBDI

1

ABCDm

1

mm∥

循环节运

行次数

1

2

n

xxx











yyny

判断

2236xy

是否

输出

1nnn

运行前

01//1

第一次

0

1

否否

2

第二次

1

2

2

否否

3

第三次

3

2

6

是是

F

理科数学试卷A型第9页（共5页）

又∵平面∥平面，结合平面平面

ABCD

1111

ABCD

11

BDCI

111111

ABCDBD

∴，故111

BDm∥

11

BDm∥

同理可得：1

CDn∥

故、的所成角的大小与、所成角的大

mn

11

BD

1

CD

小相等，即的大小．

11

CDB

而（均为面对交线），因此1111

BCBDCD

，即．

113

CDB





11

3

sin

2

CDB

（12）由题意知：

则，其中

1

2

π

+π

4

ππ

+π+

42

k

k





















21kkZ

在单调，

()fxQ

π5π

,

1836







5π

,12

3618122

T



接下来用排除法

若，此时，在递增，在递减，不满

π

11,

4



π

()sin11

4

fxx









()fx

π3π

,

1844







3π5π

,

4436







α

A

A

1

B

B

1

D

C

C

1D

1

理科数学试卷A型第10页（共5页）

足在单调；()fx

π5π

,

1836







若，此时，满足在单调递减

π

9,

4



π

()sin9

4

fxx









()fx

π5π

,

1836







二、填空题

【答案】

（13）-2（14）10（15）64（16）216000

【解析】

（13）由已知得,∴，)3,1(mba

r

r

222222

2

2

22113)1(mmbaba

r

r

r

r

解得．2m

2°得，∴，解得．

2

2

2baba

r

r

r

r



ba

r

r



0211m2m

（14）的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令5(2)xx5

55

2

55

C(2)()2C

r

rrrrrxxx



0r

得，所以的系数是．53

2

r

4r3x4

5

2C10

（15）设等比数列的公比为，∴，解得，

n

a

)0(qq



























5

10

5

10

3

11

2

11

42

31

qaqa

qaa

aa

aa















2

1

8

1

q

a

故，∴∴当

4

2

1















n

n

a







































































4

49

2

7

2

1

)7(

2

1

4)2()3(

21

2

2

1

2

1

2

1nnnn

n

aaa

）（

时，取得最大值．43或n

n

aaa

21

6426

（16）设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造

x

y

线性规则约束为

理科数学试卷A型第11页（共5页）

*

*

1.50.5150

0.390

53600

0

0

xy

xy

xy

x

y

xN

yN





































≤

≤

≤

≥

≥

目标函数

2100900zxy

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为

(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)

在处取得最大值，

(60,100)

216000z

三、解答题

（17）解：

（I）由已知及正弦定理的，

，CABBACsin)cossincos(sincos2

即，CBACsin)sin(cos2

故，CCCsincossin2

可得，∴．

2

1

cosC

3



C

（II）由已知，，

2

33

sin

2

1

Cab

又，∴，

3



C

6ab

由已知及余弦定理得，，7cos222Cabba

故，从而，1322ba

25)(2ba

理科数学试卷A型第12页（共5页）

∴的周长为ABC△

75

（18）解：

（I）由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，∴AF⊥平面EFDC．

又AF平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC．

（II）过D作DG⊥EF，垂足为G，由(Ⅰ)知DG⊥平面

ABEF，

以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，