中考数学模拟试卷

`

试题

初中

数学

2

2019

年湖北省武汉市东湖高新区中考数学模拟试卷

一．选择题（共

10

小题，满分

30

分，每小题

3

分）

1

．我市

2018

年的最高气温为

39

℃，最低气温为零下

7

℃，则计算

2018

年温差列式正确的（）

A

．（

+39

）﹣（﹣

7

）

B

．（

+39

）

+

（

+7

）

C

．（

+39

）

+

（﹣

7

）

D

．（

+39

）﹣（

+7

）

2

．无论

a

取何值时，下列分式一定有意义的是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

3

．下列运算正确的是（）

A

．﹣

a2b+2a2b

＝

a2bB

．

2a

﹣

a

＝

2

C

．

3a2+2a2

＝

5a4D

．

2a+b

＝

2ab

4

．在一个不透明的布袋中装有

40

个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸

球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在

0.30

左右，则布袋中黄球可能有（）

A

．

12

个

B

．

14

个

C

．

18

个

D

．

28

个

5

．如（

x+a

）与（

x+3

）的乘积中不含

x

的一次项，则

a

的值为（）

A

．

3B

．﹣

3C

．

1D

．﹣

1

6

．点

M

（

1

，

2

）关于

y

轴对称点的坐标为（）

A

．（﹣

1

，

2

）

B

．（﹣

1

，﹣

2

）

C

．（

1

，﹣

2

）

D

．（

2

，﹣

1

）

7

．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正

方体的个数最多是（）

A

．

7B

．

8C

．

9D

．

10

8

．某校八年级两个班，各选派

10

名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛．各参赛选手成绩的数

据分析如下表所示，则以下判断错误的是（）

班级平均数中位数众数方差

八（

1

）班

94939412

3

八（

2

）班

9595.5938.4

A

．八（

2

）班的总分高于八（

1

）班

B

．八（

2

）班的成绩比八（

1

）班稳定

C

．八（

2

）班的成绩集中在中上游

D

．两个班的最高分在八（

2

）班

9

．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙

A

经过点

E

、

B

、

O

．

C

且点

O

为坐标原点，点

C

在

y

轴上，

点

E

在

x

轴上，

A

（﹣

3

，

2

），则

cos

∠

OBC

的值为（）

A

．

B

．

C

．

D

．

10

．如图，

AD

和

AC

分别是⊙

O

的直径和弦，且∠

CAD

＝

30

°，

OB

⊥

AD

，交

AC

于点

B

，若

OB

＝

5

，则

BC

的长是（）

A

．

5B

．

5C

．

5

﹣

10D

．

10

﹣

5

二．填空题（共

6

小题，满分

18

分，每小题

3

分）

11

．计算﹣

9

的结果是．

12

．若

m+n

＝

1

，

mn

＝

2

，则的值为．

13

．为了弘扬中华传统文化，营造书香校园文化氛围，

2017

年

12

月

11

日，兴义市新电学校举行中

华传统文化知识大赛活动该学校从三名男生和两名女生中选出两名同学担任本次活动的主持人，

则选出的恰为一男一女的概率是

14

．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，

BD

、

BE

为折痕，若∠

ABE

＝

20

°，则∠

DBC

为

4

度．

15

．如图，在菱形

ABCD

中，∠

BAD

＝

120

°，

CE

⊥

AD

，且

CE

＝

BC

，连接

BE

交对角线

AC

于点

F

，

则∠

EFC

＝°．

16

．已知二次函数

y

＝

x2

﹣

4x+k

的图象的顶点在

x

轴下方，则实数

k

的取值范围是．

三．解答题（共

8

小题，满分

72

分）

17

．解方程组：．

18

．如图，点

D

是

AB

上一点，

E

是

AC

的中点，连接

DE

并延长到

F

，使得

DE

＝

EF

，连接

CF

．

求证：

FC

∥

AB

．

19

．某校八（

1

）班同学为了解

2018

年姜堰某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，

并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题：

月均用水量

x

（

t

）频数（户）频率

0

＜

x

≤

5

60.12

5

＜

x

≤

10

120.24

10

＜

x

≤

15

m0.32

15

＜

x

≤

20

10n

20

＜

x

≤

25

40.08

25

＜

x

≤

30

20.04

5

（

1

）本次调查采用的调杳方式是（填“普査”或“抽样调查”），样本容量是；

（

2

）补全频数分布直方图：

（

3

）若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“

15

＜

x

≤

20

”的圆心角度数

是；

（

4

）若该小区有

5000

户家庭，求该小区月均用水量超过

20t

的家庭大约有多少户？

20

．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入实数

x

”到“结果是否大于

0

”称为“一次操

作”

（

1

）判断：（正确的打“√”，错误的打“×”）

①当输入

x

＝

3

后，程序操作仅进行一次就停止．

②当输入

x

为负数时，无论

x

取何负数，输出的结果总比输入数大．

（

2

）探究：是否存在正整数

x

，使程序能进行两次操作，并且输出结果小于

12

？若存在，请求

出所所有符合条件的

x

的值；若不存在，请说明理由．

21

．如图，以

AB

为直径作半圆

O

，点

C

是半圆上一点，∠

ABC

的平分线交⊙

O

于

E

，

D

为

BE

延长

线上一点，且∠

DAE

＝∠

FAE

．

（

1

）求证：

AD

为⊙

O

切线；

（

2

）若

sin

∠

BAC

＝，求

tan

∠

AFO

的值．

22

．矩形

AOBC

中，

OB

＝

8

，

OA

＝

4

．分别以

OB

，

OA

所在直线为

x

轴，

y

轴，建立如图

1

所示的平

6

面直角坐标系．

F

是

BC

边上一个动点（不与

B

，

C

重合），过点

F

的反比例函数

y

＝（

k

＞

0

）

的图象与边

AC

交于点

E

．

（

1

）当点

F

运动到边

BC

的中点时，求点

E

的坐标；

（

2

）连接

EF

、

AB

，求证：

EF

∥

AB

；

（

3

）如图

2

，将△

CEF

沿

EF

折叠，点

C

恰好落在边

OB

上的点

G

处，求此时反比例函数的解析

式．

23

．△

ABC

中，

BC

＝

12

，高

AD

＝

8

，矩形

EFGH

的一边

GH

在

BC

上，顶点

E

、

F

分别在

AB

、

AC

上，

AD

与

EF

交于点

M

．

（

1

）求证：；

（

2

）设

EF

＝

x

，

EH

＝

y

，写出

y

与

x

之间的函数表达式；

（

3

）设矩形

EFGH

的面积为

S

，求

S

与

x

之间的函数表达式，并写出

S

的最大值．

24

．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形

AOB

，

O

为坐标原点，

OA

＝

1

，

tan

∠

BAO

＝

3

，将此

三角形绕原点

O

逆时针旋转

90

°，得到△

DOC

，抛物线

y

＝

ax2+bx+c

经过点

A

、

B

、

C

．

7

（

1

）求抛物线的解析式；

（

2

）若点

P

是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为

t

，设抛物线对称轴

l

与

x

轴交于一点

E

，

连接

PE

，交

CD

于

F

，求以

C

、

E

、

F

为顶点三角形与△

COD

相似时点

P

的坐标．

8

2019

年湖北省武汉市东湖高新区中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共

10

小题，满分

30

分，每小题

3

分）

1

．【分析】根据题意列出算式即可．

【解答】解：根据题意得：（

+39

）﹣（﹣

7

），

故选：

A

．

【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2

．【分析】由分母是否恒不等于

0

，依次对各选项进行判断．

【解答】解：当

a

＝

0

时，

a2

＝

0

，故

A

、

B

中分式无意义；

当

a

＝﹣

1

时，

a+1

＝

0

，故

C

中分式无意义；

无论

a

取何值时，

a2+1

≠

0

，

故选：

D

．

【点评】解此类问题，只要判断是否存在

a

使分式中分母等于

0

即可．

3

．【分析】根据合并同类项的法则，合并时系数相加减，字母与字母的指数不变．

【解答】解：

A

、正确；

B

、

2a

﹣

a

＝

a

；

C

、

3a2+2a2

＝

5a2

；

D

、不能进一步计算．

故选：

A

．

【点评】此题考查了同类项定义中的两个“相同”：

（

1

）所含字母相同；

（

2

）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关．

还考查了合并同类项的法则，注意准确应用．

4

．【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为

0.3

，然后根据概率公式计算即可．

【解答】解：设袋子中黄球有

x

个，

根据题意，得：＝

0.30

，

解得：

x

＝

12

，

即布袋中黄球可能有

12

个，

9

故选：

A

．

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右

摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，

这个固定的近似值就是这个事件的概率．

5

．【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含

x

的一次项求出

a

的值即可．

【解答】解：原式＝

x2+

（

a+3

）

x+3a

，

由结果不含

x

的一次项，得到

a+3

＝

0

，

解得：

a

＝﹣

3

，

故选：

B

．

【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6

．【分析】根据关于

y

轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．

【解答】解：点

M

（

1

，

2

）关于

y

轴对称点的坐标为（﹣

1

，

2

）．

故选：

A

．

【点评】本题考查了关于

x

轴、

y

轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规

律：

（

1

）关于

x

轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（

2

）关于

y

轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（

3

）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

7

．【分析】易得这个几何体共有

2

层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层

小正方体的最多个数，相加即可．

【解答】解：由俯视图易得最底层有

6

个小正方体，第二层最多有

3

个小正方体，那么搭成这个

几何体的小正方体最多为

3+6

＝

9

个．

故选：

C

．

【点评】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考

查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

8

．【分析】直接利用表格中数据，结合方差的定义以及算术平均数、中位数、众数得出答案．

【解答】解：

A

、∵

95

＞

94

，∴八（

2

）班的总分高于八（

1

）班，不符合题意；

B

、∵

8.4

＜

12

，∴八（

2

）班的成绩比八（

1

）班稳定，不符合题意；

C

、∵

93

＜

94

，∴八（

2

）班的成绩集中在中上游，不符合题意；

D

、无法确定两个班的最高分在哪个班，符合题意．

10

故选：

D

．

【点评】此题主要考查了方差的定义以及算术平均数、中位数、众数，利用表格获取正确的信息

是解题关键．

9

．【分析】连接

EC

，由∠

COE

＝

90

°，根据圆周角定理可得：

EC

是⊙

A

的直径，求出

OE

和

OC

，

根据勾股定理求出

EC

，解直角三角形求出即可．

【解答】解：过

A

作

AM

⊥

x

轴于

M

，

AN

⊥

y

轴于

N

，连接

EC

，

∵∠

COE

＝

90

°，

∴

EC

是⊙

A

的直径，即

EC

过

O

，

∵

A

（﹣

3

，

2

），

∴

OM

＝

3

，

ON

＝

2

，

∵

AM

⊥

x

轴，

x

轴⊥

y

轴，

∴

AM

∥

OC

，

同理

AN

∥

OE

，

∴

N

为

OC

中点，

M

为

OE

中点，

∴

OE

＝

2AN

＝

6

，

OC

＝

2AM

＝

4

，

由勾股定理得：

EC

＝＝

2

，

∵∠

OBC

＝∠

OEC

，

∴

cos

∠

OBC

＝

cos

∠

OEC

＝＝＝，

故选：

B

．

【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌

握定理是解本题的关键．

10

．【分析】在

Rt

△

AOB

中，已知了

OB

的长和∠

A

的度数，根据直角三角形的性质可求得

OA

的

长，也就得到了直径

AD

的值，连接

CD

，同理可在

Rt

△

ACD

中求出

AC

的长，由

BC

＝

AC

﹣

AB

即可得解．

11

【解答】解：连接

CD

；

Rt

△

AOB

中，∠

A

＝

30

°，

OB

＝

5

，则

AB

＝

10

，

OA

＝

5

；

在

Rt

△

ACD

中，∠

A

＝

30

°，

AD

＝

2OA

＝

10

，

∴

AC

＝

cos30

°×

10

＝×

10

＝

15

，

∴

BC

＝

AC

﹣

AB

＝

15

﹣

10

＝

5

，

故选：

A

．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理的应用，难度不大．

二．填空题（共

6

小题，满分

18

分，每小题

3

分）

11

．【分析】直接化简二次根式，进而合并求出答案．

【解答】解：原式＝

2

﹣

9

×

＝

2

﹣

3

＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

12

．【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将

m+n

与

mn

的值代入计算即可求出值．

【解答】解：∵

m+n

＝

1

，

mn

＝

2

，

∴原式＝＝．

故答案为：

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13

．【分析】画出树状图，再根据概率公式列式进行计算即可得解．

【解答】解：画树状图如下：

12

共有

20

种机会均等的结果，其中一男一女占

12

种，

则恰好抽中一男一女的概率是＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的

结果求出

n

，再从中选出符合事件

A

或

B

的结果数目

m

，求出概率．

14

．【分析】根据翻折的性质可知，∠

ABE

＝∠

A

′

BE

，∠

DBC

＝∠

DBC

′，再根据平角的度数是

180

°，∠

ABE

＝

20

°，继而即可求出答案．

【解答】解：根据翻折的性质可知，∠

ABE

＝∠

A

′

BE

，∠

DBC

＝∠

DBC

′，

又∵∠

ABE+

∠

A

′

BE+

∠

DBC+

∠

DBC

′＝

180

°，

∴∠

ABE+

∠

DBC

＝

90

°，

又∵∠

ABE

＝

20

°，

∴∠

DBC

＝

70

°．

故答案为：

70

．

【点评】此题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，

对应的角相等，得出∠

ABE

＝∠

A

′

BE

，∠

DBC

＝∠

DBC

′是解题的关键．

15

．【分析】由菱形及菱形一个内角为

120

°，易得△

ABC

与△

ACD

为等边三角形．

CE

⊥

AD

可由

三线合一得

CE

平分∠

ACD

，即求得∠

ACE

的度数．再由

CE

＝

BC

等腰三角形把∠

E

度数求出，

用三角形内角和即能去∠

EFC

．

【解答】解：∵菱形

ABCD

中，∠

BAD

＝

120

°

∴

AB

＝

BC

＝

CD

＝

AD

，∠

BCD

＝

120

°，∠

ACB

＝∠

ACD

＝∠

BCD

＝

60

°，

∴△

ACD

是等边三角形

∵

CE

⊥

AD

∴∠

ACE

＝∠

ACD

＝

30

°

∴∠

BCE

＝∠

ACB+

∠

ACE

＝

90

°

13

∵

CE

＝

BC

∴∠

E

＝∠

CBE

＝

45

°

∴∠

EFC

＝

180

°﹣∠

E

﹣∠

ACE

＝

180

°﹣

45

°﹣

30

°＝

105

°

故答案为：

105

°

【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形及三线合一，三角形内角和．按照题目给的条件逐

步综合信息即能求出答案．

16

．【分析】先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在

x

轴的下方得出△＞

0

，求出即

可．

【解答】解：∵二次函数

y

＝

x2

﹣

4x+k

中

a

＝

1

＞

0

，图象的开口向上，

又∵二次函数

y

＝

x2

﹣

4x+k

的图象的顶点在

x

轴下方，

∴△＝（﹣

4

）

2

﹣

4

×

1

×

k

＞

0

，

解得：

k

＜

4

，

故答案为：

k

＜

4

．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系和抛物线与

x

轴的交点，能根据题意得出（﹣

4

）2

﹣

4

×

1

×

k

＞

0

是解此题的关键．

三．解答题（共

8

小题，满分

72

分）

17

．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①

+

②×

3

得：

10x

＝

50

，

解得：

x

＝

5

，

把

x

＝

5

代入②得：

y

＝

3

，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减

消元法．

18

．【分析】利用已知条件容易证明△

ADE

≌△

CFE

，得出角相等，然后利用平行线的判定可以证

明

FC

∥

AB

．

【解答】证明：∵

E

是

AC

的中点，

∴

AE

＝

CE

，

又

EF

＝

DE

，∠

AED

＝∠

FEC

，

14

在△

ADE

与△

CFE

中，

，

∴△

ADE

≌△

CFE

（

SAS

）．

∴∠

EAD

＝∠

ECF

．

∴

FC

∥

AB

．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理．通过全等得角相等，然

后得到两线平行时一种常用的方法，应注意掌握运用．

19

．【分析】（

1

）由抽样调查的定义及第

1

组的频数与频率可得答案；

（

2

）根据频数＝总数×频率可得

m

的值，据此即可补全直方图；

（

3

）先求得

n

的值，再用

360

°乘以

n

可得答案；

（

4

）用总户数乘以最后两组的频率之和可得答案．

【解答】解：（

1

）本次调查采用的调杳方式是抽样调查，样本容量为

6

÷

0.12

＝

50

，

故答案为：抽样调查，

50

；

（

2

）

m

＝

50

×

0.32

＝

16

，

补全直方图如下：

（

3

）∵

n

＝

10

÷

50

＝

0.2

，

∴月均用水量“

15

＜

x

≤

20

”的圆心角度数是

360

°×

0.2

＝

72

°，

故答案为：

72

°；

（

4

）该小区月均用水量超过

20t

的家庭大约有

5000

×（

0.08+0.04

）＝

600

（户）．

15

【点评】本题考查频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息

的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解

决问题．也考查了用样本估计总体．

20

．【分析】（

1

）直接根据运算程序进而判断得出答案；

（

2

）直接根据运算程序得出关于

x

的不等式进而求出答案．

【解答】解：（

1

）①当输入

x

＝

3

后，程序操作进行一次后得到

3

×（﹣

2

）

+5

＝﹣

1

，故不可能

就停止，故此说法错误；

故答案为：×；

②当输入

x

为负数时，无论

x

取何负数，输出的结果总比输入数大，正确；

故答案为：√；

（

2

）由题意可得：﹣

2x+5

≤

0

，且

0

＜﹣

2

（﹣

2x+5

）

+5

＜

12

，

解得：≤

x

＜，

∵

x

为正整数，

∴符合题意的

x

为：

3

，

4

．

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．

21

．【分析】（

1

）先利用角平分线定义、圆周角定理证明∠

4

＝∠

2

，再利用

AB

为直径得到∠

2+

∠

BAE

＝

90

°，则∠

4+

∠

BAE

＝

90

°，然后根据切线的判定方法得到

AD

为⊙

O

切线；

（

2

）先利用圆周角定理得到∠

ACB

＝

90

°，则

sin

∠

BAC

＝＝，设

BC

＝

3k

，

AC

＝

4k

，所以

AB

＝

5k

．连接

OE

交

OE

于点

G

，如图，利用垂径定理得

OE

⊥

AC

，所以

OE

∥

BC

，

AG

＝

CG

＝

2k

，

则

OG

＝

k

，

EG

＝

k

，再证明△

EFG

∽△

BFC

，利用相似比得到＝，于是可计算出

FG

＝

CG

＝

k

，然后根据正切的定义求解．

【解答】（

1

）证明：∵

BE

平分∠

ABC

，

∴∠

1

＝∠

2

，

∵∠

1

＝∠

3

，∠

3

＝∠

4

，

∴∠

4

＝∠

2

，

∵

AB

为直径，

∴∠

AEB

＝

90

°，

16

∵∠

2+

∠

BAE

＝

90

°

∴∠

4+

∠

BAE

＝

90

°，即∠

BAD

＝

90

°，

∴

AD

⊥

AB

，

∴

AD

为⊙

O

切线；

（

2

）解：∵

AB

为直径，

∴∠

ACB

＝

90

°，

在

Rt

△

ABC

中，∵

sin

∠

BAC

＝＝，

∴设

BC

＝

3k

，

AC

＝

4k

，则

AB

＝

5k

．

连接

OE

交

OE

于点

G

，如图，

∵∠

1

＝∠

2

，

∴＝，

∴

OE

⊥

AC

，

∴

OE

∥

BC

，

AG

＝

CG

＝

2k

，

∴

OG

＝

BC

＝

k

，

∴

EG

＝

OE

﹣

OG

＝

k

，

∵

EG

∥

CB

，

∴△

EFG

∽△

BFC

，

∴＝＝＝，

∴

FG

＝

CG

＝

k

，

在

Rt

△

OGF

中，

tan

∠

GFO

＝＝＝

3

，

即

tan

∠

AFO

＝

3

．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条

17

直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和

解直角三角形．

22

．【分析】（

1

）首先确定点

B

坐标，再根据中点的定义求出点

E

坐标即可；

（

2

）连接

AB

，分别求出∠

EFC

，∠

ABC

的正切值即可解决问题；

（

3

）先作出辅助线判断出

Rt

△

MED

∽

Rt

△

BDF

，再确定出点

E

，

F

坐标进而

EG

＝

8

﹣，

GF

＝

4

﹣，求出

BD

，最后用勾股定理建立方程求出

k

即可得出结论；

【解答】解：（

1

）∵四边形

OACB

是矩形，

OB

＝

8

，

OA

＝

4

，

∴

C

（

8

，

4

），

∵

AE

＝

EC

，

∴

E

（

4

，

4

），

∵点

E

在

y

＝上，

∴

E

（

4

，

4

）．

（

2

）连接

AB

，设点

F

（

8

，

a

），

∴

k

＝

8a

，

∴

E

（

2a

，

4

），

∴

CF

＝

4

﹣

a

，

EC

＝

8

﹣

2a

，

在

Rt

△

ECF

中，

tan

∠

EFC

＝＝＝

2

，

在

Rt

△

ACB

中，

tan

∠

ABC

＝＝

2

，

∴

tan

∠

EFC

＝

tan

∠

ABC

，

∴∠

EFC

＝∠

ABC

，

∴

EF

∥

AB

．

18

（

3

）如图，

设将△

CEF

沿

EF

折叠后，点

C

恰好落在

OB

上的

G

点处，

∴∠

EGF

＝∠

C

＝

90

°，

EC

＝

EG

，

CF

＝

GF

，

∴∠

MGE+

∠

FGB

＝

90

°，

过点

E

作

EM

⊥

OB

，

∴∠

MGE+

∠

MEG

＝

90

°，

∴∠

MEG

＝∠

FGB

，

∴

Rt

△

MEG

∽

Rt

△

BGF

，

∴＝，

∵点

E

（，

4

），

F

（

8

，），

∴

EC

＝

AC

﹣

AE

＝

8

﹣，

CF

＝

BC

﹣

BF

＝

4

﹣，

∴

EG

＝

EC

＝

8

﹣，

GF

＝

CF

＝

4

﹣，

∵

EM

＝

4

，

∴＝，

∴

GB

＝

2

，

在

Rt

△

GBF

中，

GF2

＝

GB2+BF2

，

即：（

4

﹣）

2

＝（

2

）

2+

（）2

，

∴

k

＝

12

，

∴反比例函数表达式为

y

＝．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了根据条件求反比例函数解析式及其应用，利用图

形性质表示出相关点的坐标，根据点与函数的关系找出关系式，涉及内容有锐角三角函数，三角

19

形相似的性质和判定，勾股定理的应用，注意点（

m

，

n

）在函数

y

＝的图象上，则

mn

＝

k

的利

用是解本题的关键．

23

．【分析】（

1

）先判断出

AM

是△

AEF

的高，再判断出△

AEF

∽△

ABC

，即可得出结论；

（

2

）先判断出四边形

EMDG

是矩形，得出

DM

＝

EH

，进而表示出

AM

＝

8

﹣

y

，借助（

1

）的结论

即可得出结论；

（

3

）由矩形的面积公式得出函数关系式，即可得出结论．

【解答】解：（

1

）∵四边形

EFGH

是矩形，

∴

EF

∥

BC

，

∵

AD

是△

ABC

的高，

∴

AD

⊥

BC

，

∴

AM

⊥

EF

，

∵

EF

∥

BC

，

∴△

AEF

∽△

ABC

，

∴（相似三角形的对应边上高的比等于相似比）；

（

2

）∵四边形

EFGH

是矩形，

∴∠

FEH

＝∠

EHG

＝

90

°，

∵

AD

⊥

BC

，

∴∠

HDM

＝

90

°＝∠

FEH

＝∠

EHG

，

∴四边形

EMDH

是矩形，

∴

DM

＝

EH

，

∵

EF

＝

x

，

EH

＝

y

，

AD

＝

8

，

∴

AM

＝

AD

﹣

DM

＝

AD

﹣

EH

＝

8

﹣

y

，

由（

1

）知，，

∴，

∴

y

＝

8

﹣

x

（

0

＜

x

＜

12

）；

（

3

）由（

2

）知，

y

＝

8

﹣

x

，

20

∴

S

＝

S

矩形

EFGH

＝

xy

＝

x

（

8

﹣

x

）＝﹣（

x

﹣

6

）

2+24

，

∵

a

＝﹣＜

0

，

∴当

x

＝

6

时，

S

max

＝

24

．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的面积

公式，掌握相似三角形的性质是解本题的关键．

24

．【分析】（

1

）根据正切函数，可得

OB

，根据旋转的性质，可得△

DOC

≌△

AOB

，根据待定系

数法，可得函数解析式；

（

2

）①根据相似三角形的判定，可得答案，②根据相似三角形的性质，可得

PM

与

ME

的关系，

根据解方程，可得

t

的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【解答】解：（

1

）在

Rt

△

AOB

中，

OA

＝

1

，

tan

∠

BAO

＝＝

3

，

∴

OB

＝

3OA

＝

3

∵△

DOC

是由△

AOB

绕点

O

逆时针旋转

90

°而得到的，

∴△

DOC

≌△

AOB

，

∴

OC

＝

OB

＝

3

，

OD

＝

OA

＝

1

．

∴

A

，

B

，

C

的坐标分别为（

1

，

0

），（

0

，

3

），（﹣

3

，

0

），代入解析式为

，

解得，

抛物线的解析式为

y

＝﹣

x2

﹣

2x+3

；

（

2

）∵抛物线的解析式为

y

＝﹣

x2

﹣

2x+3

，

∴对称轴为

l

＝﹣＝﹣

1

，

∴

E

点坐标为（﹣

1

，

0

），如图，

21

①当∠

CEF

＝

90

°时，△

CEF

∽△

COD

，

此时点

P

在对称轴上，即点

P

为抛物线的顶点，

P

（﹣

1

，

4

）；

②当∠

CFE

＝

90

°时，△

CFE

∽△

COD

，过点

P

作

PM

⊥

x

轴于

M

点，△

EFC

∽△

EMP

，

∴＝＝＝

∴

MP

＝

3ME

，

∵点

P

的横坐标为

t

，

∴

P

（

t

，﹣

t2

﹣

2t+3

），

∵

P

在第二象限，

∴

PM

＝﹣

t2

﹣

2t+3

，

ME

＝﹣

1

﹣

t

，

∴﹣

t2

﹣

2t+3

＝

3

（﹣

1

﹣

t

），

解得

t

1

＝﹣

2

，

t

2

＝

3

，（与

P

在二象限，横坐标小于

0

矛盾，舍去），

当

t

＝﹣

2

时，

y

＝﹣（﹣

2

）

2

﹣

2

×（﹣

2

）

+3

＝

3

∴

P

（﹣

2

，

3

），

∴当△

CEF

与△

COD

相似时，

P

点的坐标为（﹣

1

，

4

）或（﹣

2

，

3

）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（

1

）的关键是利用旋转的性质得出

OC

，

OD

的长，又

利用了待定系数法；解（

2

）的关键是利用相似三角形的性质得出

MP

＝

3ME

．

研读课标

著名特级教师于永正先生有一个习惯,总是把课程标准中各学段的教学目标复印下来,贴在备

课本的首页上,作为“教学指南”。于老师经常翻看课程标准,温故而知新。他说,当看到要“指导学生

正确地理解和运用祖国的语文,丰富语言的积累,培养语感,发展思维”这些话,就更坚定不移地在教学

中引导学生去读、背、写,而不至于偏离语文教学的大目标;当看到要“培养学生广泛的阅读兴趣,扩

大阅读面,增加阅读量,提倡少做题,多读书,好读书,读好书,读整本的书”这些话,就坚决地把“练习册”

丢在一边,努力在培养学生阅读兴趣和学习习惯上下功夫;当看到课标中关于“综合性学习”的论述,

就更积极地思考、设计这类有利于学生发展的作业……例如,于老师布置的家庭作业主要是三项—写

字、读书和作文,这些是对孩子终身都有益的作业课程标准为什么能作为“教学指南”呢

课程标准是根据《义务教育法》、《基础教育课程改革纲要(试行)》制定的。“国家课程标准是教

材编写、教学、评估和考试命题的依据,是国家管理和评价课程的基础,应体现国家对不同阶段的学生

在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的基本要求,规定各门课程的性质、目标、内

22

容、框架,提出教学建议和评价建议”。①课程标准提出的课程理念和目标对义务教育阶段的课程与

教学具有指导作用,所规定的课程目标和内容标准是每一个学生在该阶段应当达到的基本要求。在实

施过程中,应当遵照课程标准的要求,充分考虑全体学生的发展,关注个体差异,因材施教。因此,要使自

己的教学有方向、有目标、有效益就必须熟读课程标准、研究课程标准,名师如此,普通教师更是如此。

三要点

怎样研读课程标准呢?我们可以把握住以下几个要点

1.读“前言”,把握基本理念

各学科课程标准都在第一部分的“前言”中,规定了“课程性质与地位”,提出了该学科的新理念,

这是课程标准的核心。如语文课程标准在“前言”中写道“语文是最重要的交际工具,是人类文化的

重要组成部分工具性与人文性的统一,是语文课程的基本特点”。如果有人问你,为什么语文要安排那

么多的课时?你可以毫不犹豫地回答:“因为“语文是最重要的!”“前言”中还提出了四大“基本理念”,

即“全面提高学生的语文素养”,“正确把握语文教育的特点”,“积极倡导自主、合作、探究的学习

方式”,“努力建设开放而有活力的语文课程”,这是语文教学改革的方向和途径。

数学课程标准最新修改稿对“数学”做了界定,“数学是研究数量关系和空间形式的科学”,“数

学是人类文化的重要组成部分,数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”,同时“数学教

育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分,一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数

学知识与技能,另一方面要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的不可替代的作用”。并指

出义务教育阶段的数学课程“要适应学生未来生活、工作和学习的需要,使学生掌握必需的数学基础

知识与基本技能,发展学生抽象思维和推理能力,培养学生应用意识和创新意识并使学生在情感、态度

与价值观等方面都得到发展”,在教学中“要符合数学本身的特点、体现数学的精神实质;要符合学生

的认知规律和心理特征、有利于激发学生的学习兴趣;要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时,

重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题构建数学模型、寻求结果、解决问题

的过程”。前言部分从“数学是什么”数学教育做什么”和“数学课程怎么教”等方面提出了数学的

课程、课程内容、教学活动、学习评价和信息技术六个模块的教学基本理念。

2.读目标,增强目标意识

(1)确立“三维”目标。课程标准首次将“过程和方法”、“情感态度和价值观”设定为课程目标,

与“知识和能力”目标并列,即从“三个维度”来设计,并把“知识和能力、过程和方法、情感态度和

价值观”融为体、协调一致,确保学生健康和谐发展目标的实现。

(2)熟记学段目标。课程标准在总目标之后,分学段提出具体目标,便于操作,利于实施。如语文课

程标准针对五大块,即识字与写字、阅读、写作、口语交际、综合性学习提出具体目标;数学课程标准

23

把课程内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域,并从知识技能、数学思

考、问题解决和情感态度四个方面对三个学段的教学提出了具体的要求。

这些目标直接指导着教师的教学,确保了教学的效益,必须熟读熟记,像于永正那样的一流名师都

“总是把课程标准中各年段的教学目标复印下来,贴在备课本的首页上,作为‘教学指南’,经常翻看,

‘温故而知新””。这样,从学段目标—单元目标—课时目标,“三位一体”,整体考虑每一节课

3.读“实施建议”,提高操作能力

课程标准的“实施建议”部分,分别就教材编写、课程资源的开发与利用、教学和评价提出具体

建议。这些建议对于我们来说是非常宝贵的,可以说是“金玉良言”。比如教材编写建议,我们了解了

教材怎么编,才能成为更好的“课程的实施者、开发者和建设者”,才能更好地“创造性地理解和使用

教材”。比如语文课程标准提出“阅读是学生的个性化行为,不应以教师的分析来代替学生的阅读实

践”。你就会摒弃教师“一言堂”拒绝“串讲串问”,把时间腾出来让学生直面文字、加强语言文字

训练珍视学生“独特的感受、体验和理解”。比如作文教学要“为学生的自主写作提供有利条件和广

阔空间,减少对学生写作的束缚,鼓励自由表达和有创意的表达”,你就会放弃写作知识的灌输、统一

标准的桎梏,而让“学生易于动笔,乐于表达”,激发学生“展开想象和幻想”,甚至异想天开,学生的作

文也就会多一些自我、多一些创意、多一些灵气了。

数学课程标准从教学、评价和教材编写提出了具体的建议。如在教学建议中,课标明确指出:“数

学教学活动要注重课程目标的整体实现,要重视学生在学习活动中的主体地位,处理好学生主体地位

和教师主导作用的关系,注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握,引导学生积累数学活动经验、

感悟数学思想,关注学生情感态度的发展。”指出教学中应当注意的几个关系:“预设与生成的关系,面

向全体学生与关注学生个体差异的关系,合情推理与演绎推理的关系,使用现代信息技术与教学手段

多样化的关系”等等。这些教学建议聚焦实施过程的重点、难点,是行动的航标、教学的指南。

4.读“附录”,和孩子一起成长。

语文课程标准还特设“附录”,提出了背诵优秀诗文的篇目、课外阅读的书目和语法修辞知识的

要点。我们就会自然而然地去背一背这些优秀诗文,再去认真阅读这些优秀图书。和学生一起读书、

一起成长,是教师独有的福分。这种福分会转化为教师的幸福感和成就感,这种幸福感和成就感就像一

粒粒种子,播种在孩子的心田。

数学课程标准按四大领域“数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践”,在附录中收录

了内容标准及教学建议中的几十个案例,这些案例在说明中指出了案例的适用年级和学生相关知识

背景的分析,并为教学中如何设计呈现教学内容、如何设计数学活动、如何运用这些素材提出了针对

性强、操作性强的实施意见,认真解读这些案例,就能从较高的视角高瞻远瞩、瞻前顾后、整体把握小

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学阶段的数学内容磨刀不误砍柴工”。教师研读课程标准就是“磨刀”,是把力气用在刀刃上。可有

些老师并没有意识到它、没有重视它,只顾埋头使劲“砍柴”,而忽视了轻松“磨刀”。“练武不练功,

到头一场空”。教师不读课程标准,就如练武之人不练功。台湾省老师的至高荣誉奖—“师铎奖”获

得者桃园县中坜市大仑小学王家珍老师发表评论说:“尤其赞同您备课的第一步—研读课程标准。很

多教师忘了这点,终究‘事倍功半’。方向对了,教学才能有效。