求函数值域

求函数值域的十种方法

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2

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求函数值域的十种方法

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一、直接法（观察法）：

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二、配方法

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三、反函数法

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四、分离变量法

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五、换元法

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六、判别式法

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七、函数的单调性法

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八、利用有界性

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九、图像法（数型结合法）

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十：不等式法

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十一、多种方法综合运用

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求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例

1

．求函数1yx的值域。

【解析】∵0x，∴11x，∴函数1yx的值域为

[1,)

。

【练习】

1

．求下列函数的值域：

①

32(11)yxx

；②xxf42)(；

③

1



x

x

y

；○4112xy，

2,1,0,1x

。

【参考答案】①

[1,5]

；②

[2,)

；③

(,1)(1,)

；○4

{1,0,3}

。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。

3

例

2

．求函数242yxx（

[1,1]x

）的值域。

【解析】2242(2)6yxxx。

∵11x，∴321x，∴21(2)9x，∴23(2)65x，∴

35y

。

∴函数242yxx（

[1,1]x

）的值域为

[3,5]

。

例

3

．求函数)4,0(422xxxy的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得

4,0)(xf

，从而得出：0,2y





。

说明：在求解值域

(

最值

)

时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题

为：

0)(xf

。

例

4

．若

,42yx0,0yx

，试求

yxlglg

的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点

(,)Pxy

在直线

42yx

上滑动时函数

xyyxlglglg

的最

大值。利用两点

(4,0)

，

(0,2)

确定一条直线，作出图象易得：

2(0,4),(0,2),lglglglg[(42)]lg[2(1)2]xyxyxyyyy而，

y=1

时，

yxlglg

取最

大值

2lg

。

【练习】

2

．求下列函数的最大值、最小值与值域：

①

142xxy

；②

]4,3[,142xxxy

；③

]1,0[,142xxxy

；

④

]5,0[,142xxxy

；○5

x

xx

y

422

，

]4,

4

1

[x

；○6223yxx。

【参考答案】①

[3,)

；②

[2,1]

；③

[2,1]

；④

[3,6]

；○5

73

[6,]

4

；○6

[0,2]

三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的

值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数

(

即有理分式一次型

)

，也可用于其它易反解出自变量的函

数类型。

4

例

5

．求函数

1

2





x

x

y

的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出

x

，从而便于求出反函数。

1

2





x

x

y

反解得

y

y

x





2

，故函数的值域为

(,2)(2,)

。

【练习】

1

．求函数

23

32

x

y

x







的值域。

2

．求函数

axb

y

cxd







，

0,

d

cx

c









的值域。

【参考答案】

1

．

22

(,)(,)

33



；

(,)(,)

aa

cc



。

四．分离变量法：

适用类型

1

：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数

法。

例

6

：求函数

1

25

x

y

x







的值域。

解：∵

177

(25)

11

222

2525225

x

x

y

xxx









，

∵

7

2

0

25x





，∴

1

2

y

，∴函数

1

25

x

y

x







的值域为

1

{|}

2

yy

。

适用类型

2

：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为

)(xfky

(为k常

数

)

的形式。

例

7

：求函数

12

2







xx

xx

y的值域。

分析与解：观察分子、分母中均含有xx2项，可利用分离变量法；则有

22

22

11

11

xxxx

y

xxxx





2

1

1

13

()

24

x





。

不妨令：

)0)((

)(

1

)(,

4

3

)

2

1

()(2xf

xf

xgxxf

从而









,

4

3

)(xf

。

注意：在本题中若出现应排除

0)(xf

，因为

)(xf

作为分母

.

所以

4

()0,

3

gx















故

1,

3

1







y

。

5

另解：观察知道本题中分子较为简单，可令

2

22

11

1

xx

t

xxxx







，求出

t

的值域，进而可得到

y

的值域。

【练习】

1

．求函数

1

322

2

2







xx

xx

y

的值域。

【参考答案】1

．

10

(2,]

3

五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方

法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根

式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例

8

：求函数212yxx的值域。

解：令12tx（0t），则

21

2

t

x



，∴22

15

1()

24

yttt

。

∵当

1

2

t

，即

3

8

x

时，

max

5

4

y

，无最小值。∴函数212yxx的值域为

5

(,]

4



。

例

9

：求函数221(1)yxx的值域。

解：因21(1)0x

，即2(1)1x

。

故可令

1cos,[0,]x

，∴

1cossincos11cosy2

1)

4

sin(2



。

∵







4

5

4

0,0，

2

sin()1

24



，02sin()112

4





故所求函数的值域为

]21,0[。

例

10.

求函数

3

4221

xx

y

xx







的值域。

解：原函数可变形为：

2

22

121

211

xx

y

xx







可令xtg，则有

2

2

22

21

sin2,cos

11

xx

xx









11

sin2cos2sin4

24

y

6

当

28

k

时，

max

1

4

y

当

28

k

时，

min

1

4

y

而此时

tan

有意义。

故所求函数的值域为















4

1

,

4

1

例

11.

求函数(sin1)(cos1)yxx，,

122

x











的值域。

解：(sin1)(cos1)yxx

sincossincos1xxxx

令sincosxxt，则2

1

sincos(1)

2

xxt

22

11

(1)1(1)

22

yttt

由sincos2sin()

4

txxx





且,

122

x











可得：

2

2

2

t

∴当

2t

时，

max

3

2

2

y，当

2

2

t时，

32

42

y

故所求函数的值域为

323

,2

422









。

例

12.

求函数245yxx的值域。

解：由250x

，可得||5x

故可令5cos,[0,]x

5cos45sin10sin()4

4

y





7

∵0

5

444





当

4



时，

max

410y

当时，

min

45y

故所求函数的值域为：[45,410]

六、判别式法：把函数转化成关于

x

的二次方程

(,)0Fxy

；通过方程有实数根，判别式

0，从而求得原函数的值域，形如

2

111

2

222

axbxc

y

axbxc







（

1

a

、

2

a不同时为零）的函数的值域，常用此

方法求解。

例

13

：求函数

2

2

3

1

xx

y

xx







的值域。

解：由

2

2

3

1

xx

y

xx







变形得2(1)(1)30yxyxy，

当

1y

时，此方程无解；

当

1y

时，∵xR，∴2(1)4(1)(3)0yyy，

解得

11

1

3

y

，又

1y

，∴

11

1

3

y

∴函数

2

2

3

1

xx

y

xx







的值域为

11

{|1}

3

yy

七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数

的值域。

例

14

：求函数12yxx的值域。

解：∵当

x

增大时，12x随

x

的增大而减少，12x随

x

的增大而增大，

∴函数12yxx在定义域

1

(,]

2



上是增函数。

∴

111

12

222

y，

8

∴函数12yxx的值域为

1

(,]

2



。

例

15.

求函数11yxx的值域。

解：原函数可化为：

1x1x

2

y





令

1xy,1xy

21



，显然

21

y,y

在

],1[

上为无上界的增函数

所以

1

yy

，

2

y

在

],1[

上也为无上界的增函数

所以当

x=1

时，

21

yyy

有最小值

2

，原函数有最大值2

2

2



显然0y，故原函数的值域为

]2,0(

适用类型

2

：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）

例

16

：求函数

)4(log2

2

1

xxy

的值域。

分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可

令：2()4(()0)txxxtx配方得：2()(2)4()0,4)txxtx所以（由复合函数的单调性（同增

异减）知：

),2[y

。

八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用

]1,1[cos],1,1[sinxx

等。

例

17

：求函数

cos

sin3

x

y

x





的值域。

解：由原函数式可得：sincos3yxxy，可化为：

21sin()3yxxy

即

2

3

sin()

1

y

xx

y





∵xR

∴sin()[1,1]xx

即

2

3

11

1

y

y





解得：

22

44

y

9

故函数的值域为

22

,

44









注：该题还可以使用数形结合法。

coscos0

sin3sin3

xx

y

xx







，利用直线的斜率解题。

例

18

：求函数

12

12

x

x

y







的值域。

解：由

12

12

x

x

y







解得

1

2

1

x

y

y







，

∵20x，∴

1

0

1

y

y







，∴

11y

∴函数

12

12

x

x

y







的值域为

(1,1)y

。

九、图像法（数型结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距

离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例

19

：求函数

|3||5|yxx

的值域。

解：∵

22

|3||5|8

22

x

yxx

x

















(3)

(35)

(5)

x

x

x







，

∴

|3||5|yxx

的图像如图所示，

由图像知：函数

|3||5|yxx

的值域为

[8,)

例

20.

求函数22(2)(8)yxx的值域。

解：原函数可化简得：|2||8|yxx

上式可以看成数轴上点

P

（

x

）到定点

A

（

2

），(8)B间的距离之和。

由上图可知，当点

P

在线段

AB

上时，|2||8|||10yxxAB

当点

P

在线段

AB

的延长线或反向延长线上时，|2||8|||10yxxAB

8

5-3

o

y

x

10

故所求函数的值域为：[10,]

例

21.

求函数2261345yxxxx的值域。

解：原函数可变形为：

2222(3)(02)(2)(01)yxx

上式可看成

x

轴上的点(,0)Px到两定点(3,2),(2,1)AB的距离之和，

由图可知当点

P

为线段与

x

轴的交点时，22

min

||(32)(21)43yAB，

故所求函数的值域为[43,]

例

22.

求函数2261345yxxxx的值域。

解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(01)yxx

上式可看成定点

A

（

3

，

2

）到点

P

（

x

，

0

）的距离与定点

)1,2(B

到点

)0,x(P

的距离之差。

即：||||yAPBP

由图可知：（

1

）当点

P

在

x

轴上且不是直线

AB

与

x

轴的交点时，如点

'P

，则构成

'ABP

，根据三

角形两边之差小于第三边，有22||'||'||||(32)(21)26APBPAB

即：2626y

（

2

）当点

P

恰好为直线

AB

与

x

轴的交点时，有||||||||26APBPAB

综上所述，可知函数的值域为：(26,26]

例

23

、：求函数

x

x

y

cos2

sin3







的值域

.

11

分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式

12

12

xx

yy

k







，将

原函数视为定点

(2

，

3)

到动点

)sin,(cosxx

的斜率，又知动点

)sin,(cosxx

满足单位圆的方程，从而问题

就转化为求点（

2

，

3

）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相

切时取得，从而解得：

]

3

326

,

3

326

[



y

点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。

例

24

．求函数xxy11的值域。

分析与解答：令xu1，xv1，则

0,0vu

，222vu，

yvu

，

原问题转化为：当直线

yvu

与圆222vu在直角坐标系

uov

的第一象限有公共点时，求直线

的截距的取值范围。

由图

1

知：当

yvu

经过点)2,0(时，2

min

y；

当直线与圆相切时，2222

max

OCODy。

所以：值域为22y

2

2

O

V

U

A

B

C

D

E

十：不等式法：利用基本不等式32,3abababcabc

(,,)abcR，求函数的最

值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添

项和两边平方等技巧。

12

例

25.

求函数22

11

(sin)(cos)4

sincos

yxx

xx

的值域。

解：原函数变形为：

22

22

22

22

22

11

(sincos)

sincos

1c

3tancot

32tancot

5

yxx

xx

cesxx

xx

xx











当且仅当tancotxx

即当

4

xk



时()kz，等号成立

故原函数的值域为：[5,)

例

26.

求函数2sinsin2yxx的值域。

解：4sinsincosyxxx

24sincosxx

42

222

2223

16sincos

8sinsin(22sin)

8[(sinsin22sin)/3]

64

27

yxx

xxx

xxx









当且仅当22sin22sinxx

，即当2

2

sin

3

x时，等号成立。

由2

64

27

y可得：

8383

99

y

故原函数的值域为：

8383

,

99









十一、多种方法综合运用：

例

27.

求函数

2

3

x

y

x







的值域。

解：令2(0)txt，则231xt

13

（

1

）当0t时，2

11

1

12

t

y

t

t

t







，当且仅当

t=1

，即1x时取等号，所以

1

0

2

y

（

2

）当

t=0

时，

y=0

。

综上所述，函数的值域为：

1

0,

2







注：先换元，后用不等式法

例

28.

求函数

234

24

12

12

xxxx

y

xx







的值域。

解：

243

2424

12

1212

xxxx

y

xxxx







2

2

22

1

11

xx

xx













令tan

2

x



，则

2

2

2

2

1

cos

1

x

x















2

1

sin

12

x

x





22

11

cossinsinsin1

22

y

2117

sin

416











∴当

1

sin

4

时，

max

17

16

y

当sin1时，

min

2y

此时tan

2



都存在，故函数的值域为

17

2,

16









注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一

般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。