一元一次方程的解法

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一元一次方程的应用（一）

1、掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思想；2、进一步经历用方程解决

实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般方法。

2运用一元一次方程解决简单的实际问题是重点；寻找等量关系是难点。

一、目标导入

前面我们通过简单的实际问题研究了一元一次方程的解法，今天我们就来运用

一元一次方程解决简单的实际问题。

二、例题

例1有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某

三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？

分析：从符号与绝对值两方面观察，这列数有什么规律？

符号正负相间；后者的绝对值是前者绝对值的3倍。即后一个数是前一个数的

-3倍。

如果设其中一个数为x，那么后面与它相邻的两个数你能用x表示出来吗？

后面两数分别是-3x，9x。

问题中的相等关系是什么？

三个相邻数的和=-1701。

由此可得方程x-3x+9x=-1701

解之，得x=-243。

所以这三个数是-243，729，-218。

注意：本题中有三个未知量，由它们之间的关系，我们可以用一个字母来表示，

从而列出一元一次方程。这一点要注意学习。

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例2根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。

方式一方式二

月租费

30元/

月

0元

本地的通话

费

0.30元

/分

0.4元/

分

（1）一个月内在本地通话200分和350分，按方式一需交费多少元？按方式二

呢？

（2）对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗？

分析：（1）按方式一在本地通话200分钟需要交费多少元？350分钟呢？

通话200分钟需要交费：30+200×0.3=90元;

通话350分钟需要交费：30+350×0.3=135元.

按方式二在本地通话200分钟需要交费多少元？350分钟呢？

通话200分钟需要交费：200×0.4=80元;

通话350分钟需要交费：350×0.4=140元.

(2)设累计通话t分钟,那么按方式一要收费多少元?按方式二收费多少元?

按方式一要收费(30+0.3t)元;按方式二要收费0.4t元.

问题中的等量关系是什么?

方式一的收费=方式二的收费.

由此可列方程30+0.3t=0.4t

解之,得t=300

所以,当一个月内通话300分钟时,两种计费方式的收费一样多.

引申:你知道怎样选择计费方式更省钱吗?

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当t=400时,30+0.3t=30+0.3×400=150元;

0.4t=0.4×400=160元.

当时间大于300分钟时,方式一更省钱.

三、一元一次方程解实际问题的基本过程

将实际问题转化为数学问题即建立数学模型，通过解决数学问题来解决实际问

题。

四、课堂练习

学校办了储蓄所，开学时，李英存了200元，王建存了140元，以后李英每月

存20元，王建每月存35元，经过几个月，李英、王建的存款数相等？

五、小结

本节课我们研究了通过列一元一次方程，把实际问题抽象成数学问题即建立数

学模型，再通过解一元一次方程即解决数学问题来解决实际问题的具体方法，这是

解决实际问题的一般思想方法。

解一元一次方程－去括号（1）

1、掌握含有括号的一元一次方程的解法；2、经历运用方程解决实际问题的过

程，进一步体会方程模型的作用。

2含有括号的一元一次方程的解法是重点；括号前面是负号时去括号是难点。

一、导入新课

前面我们已经学会了运用移项、合并同类项来解一元一次方程，但当问题中的

数量关系较复杂时，列出的方程也会较复杂，解方程的步骤也相应更多些，如下面

的问题。

二、探索去括号解一元一次方程

问题某加工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000

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度，全年用电150万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？

分析：问题中的等量关系是什么？

上半年用电度数+下半年用电度数=1500000。

设去年上半年平均用电x度，那么下半年每月平均用电多少度？上半年共用电多

少度？下半年共用电多少度？

下半年每月平均用电（x－2000）度；上半年共用电6x度；下半年共用电6（x

－2000）度。

由此可得方程：

6x+6（x－2000）=1500000

这个方程中含有括号，怎样才能转化为我们熟悉的形式呢？

去括号。

去括号，得6x+6x－12000=1500000

解得x=13500

所以这个工厂去年上半年每月平均用电13500度。

思考：你还有其它的解法吗？

设去年下半年平均用电x度，则

6x+6（x+2000）=1500000

解之，得x=11500

所以去年上半年每月平均用电11500+2000=13500度。

三、例题

例1解方程：3x－7(x－1)=3－2(x+3)

解：去括号，得

3x－7x+7=3－2x－6

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合并，得－4x+7=－2x－3

移项，得－4x+2x=－3－7

－2x=－10

∴x=5

注意：括号外面是负号时，去括号后，括号内的每一项的积都要变号。

四、课堂练习

1、初一某班同学准备组织去东湖划船，如果减少一条船，每条船正好坐9名同

学，如果增加一条船，每条船正好坐6名同学，问这个班共有多少名同学？

五、小结

1、含有括号的一元一次方程的解法。

当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号。

2、解一元一次方程的步骤：

①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1。

3、例题解法一是求什么设什么，叫直接设元法，方程的解就是问题的答案；解

法二不是求什么设什么，叫间接设元法，方程的解并不是问题的答案，需要根据问

题中的数量关系求出最后的答案

解一元一次方程——去括号（2）

1、进一步掌握列一元一次方程解应用题；2、通过分析“顺逆水”和“配套”问题，

进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用。

2分析题意、找等量关系和列方程是重点；找出能够表示问题全部含义的相等关系是

难点。

一、复习导入

上节课我们学习了解含有括号的一元一次方程，现在我们来解两道题：

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（1）2(x+3)=2.5(x-3)；（2）2×1200x=2000（22-x）

怎样运用这样的方程来解决实际问题呢？今天我们就来讨论一下。

二、例题

例1一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆

流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。

分析：顺流行驶的速度、逆流行驶的速度、水流的速度、静水中的速度之间有

什么关系？

顺流的速度＝静水中的速度＋水流的速度；

逆流的速度＝静水中的速度－水流的速度。

问题中的相等关系是什么？

顺水行驶的路程＝逆水行驶的路程。

设船在静水中的平均速度为x千米／时，那么顺流的速度是什么？逆流的速度

是什么？

顺流的速度是（x＋３）千米／时逆流的速度是（x－３）千米／时。

由些可得方程

２（x＋３）＝2.5（x－３）

由前面的解答，知x＝27

所以船在静水中的速度是２７千米／时。

注意：要牢牢记住顺流的速度＝静水中的速度＋水流的速度；逆流的速度＝静

水中的速度－水流的速度。

例２某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺

母2000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名

工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

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分析：当问题中的量比较多，关系比较复杂时，我们可以把量分成两类列表，

从而使条件条理化，如下表所示：

请设未知数，填上表。

问题中的等量关系是什么？

螺母的数量＝２×螺钉的数量。

由此，可列方程

2×1200x=2000（22-x）

由前面的解答可知x＝10

22-x＝22-10＝12

所以应分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。

注意：列表法是列方程解应用题的一种行之有效的方法，有注意学习。

三、课堂练习

在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又是增派20人

去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人分别有多

少人？

四、课堂小结

通过前面的学习讨论，我们进一步体会到列方程解

决实际问题的关键是正确地建立方程中的相等关系；

同时知道所列方程的解不一定就是问题的答案，必须

检验之后才能确定，这是一个要注意的问题。

解一元一次方程——去分母(1)

1、掌握含有分母的一元一次方程的解法；2、归纳解一

元一次方程的步骤，体会转化的思想方法。

生产人

数

平均产

量

螺

钉

x1200

螺

母

22－x2000

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2解含有分母的一元一次方程是重点；去分母时适当地添括号是难点。

一、问题导入

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸莎草文书，其中有如下一道着

名的末知数的问题：

一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是

33。

设这个数为x，可得方程

2/3x+1/2x+1/7x+x=33

当时埃及人如果把问题写成这种形式，它一定是“最早”的方程。

这种方程与我们前面学习的方程有什么不同？

有些系数是分数。

今天我们就来学习这种含有分数系数方程的解法。

二、含有分母的一元一次方程的解法和步骤

1、探索方法

请你用自己的方法试着解上答上面的方程。

学生自主解方程,教师收集不同的解法,比较直接合并同类项和先去分母解法的

难易。

显然，通过先去母把方程转化为我们熟悉的形式来解比较简单。

现在我们来看一个例子。

例1解方程：

怎样去分母？去分母的依据是什么？

方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数；依据是等式的性质2。

下面去分母的结果正确吗？如果不正确，请说明理由。

5

32

10

23

2

132xxx

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①15x＋1－20=3x－2－2x+3;

②5×(3x＋1)－2=3x－2－(2x+3);

③5×(3x＋1)－20=3x－2－(2x+3)。

①不正确，原因是去括号后，分子没有加括号；②不正确，原因是漏乘了“－2”

这一项；③是正确的。

学生写出解答过程，结果是x=7/16。

注意：去分母时，方程两边的每一项都要乘，不能漏项；去分母后，分子要加

上括号。

2、归纳步骤

请大家总结一下，解一元一次方程有哪些步骤？

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

这些步骤的依据是等式的性质和乘法分配律。

注意：上述步骤不是一陈不变的，要根据方程的特点，灵活处理，如有时可以

先合并同类项再移项。

三、例题

解方程：

3

12

2

133xxx

解：去分母，得18x+3(x－1)=18－2(2x－1)

去括号，得18x+3x－3=18－4x+2

合并同类项，得21x－3=20－4x

移项，得21x+4x=20+3

合并同类项，得25x=23

系数化为1得x=23/25

补充题：

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（3）

6

12

4

11xx；（4）y－

5

2

2

12yy.

五、小结

1、解一元一次方程主要是化归思想，通过去分，去括号，合并同类项，系数化

为1，一步一步化为最简形式x=a.

2、解一元一次方程的步骤：

①这些步骤的主要依据是等式的性质和运算律；

②这些步骤不是一成不变的，要灵活掌握。

3、去分母时要注意的问题：

①没有分母的项不要漏乘；

②去掉分数线，同时要把分子加上括号。

解一元一次方程—去分母（2）

1、进一步掌握利用一元一次方程解决实际问题；2、经历分析“工程问题”中数量

关系过程，培养分析问题和解决问题的能力。

2工程问题中的工作量、工作效率、工作时间的关系是重点，把全部工作量看作1是

难点。

一、复习导入

在小学里我们学习过工程问题，知道这类问题中有工作量、工作时间和工作效

率这三种量。那么工作量、工作时间和工作效率之间有怎样的关系呢？

工作量=工作时间×工作效率

如果一件工作甲独做a小时完成，那么甲独做1小时可完成多少工作量？

二、例题

例1整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现在计划由一部分人先做4小

时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，

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具体应先安排多少人工作？

分析：一个人的工作效率是多少？1/40。

问题中的等量关系是什么？

增加工人前完成的工作量+增加工人后完成的工作量=1

设先安排x人工作，则x人4小时完成的工作量是多少？4x/40。

增加2人和“他们”（即x人）一起工作8小时完成的工作量是多少？8（x+2）

/40。

由此可得方程4x/40+8（x+2）/40=1

学生解方程，得x=2。

答：应先安排2名工人工作4小时。

例2水池有一个进水管，6小时可注满空池，池底有一个出水管，8小时可放完

满池的水，如果同时打开进水管和出水管，那么多少小时可以把空池注满？

分析：问题中的等量关系是什么？

注入的水量－放出的水量=1

设x小时可以把空池注满，那么注入的水量是多少？放出的水量是多少？1/6x；

1/8x。

由此可得方程1/6x－1/8x=1

解得x=24。

答：24小时可以把空池注满。

三、练习

1．列方程求解：

（1）已知6x的值与

7

1

互为倒数，求

x

；

（2）

x

等于什么数时，1

3

3



x

等于1

7

52



x

的值？

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（3）

x

取何值时，

2

35x

和)53(5

2

1

xx互为相反数？

2．已知2

02

1

attvS，如果

8

1

,4,13atS，求

0

v．

3蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿．现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有270条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍少5．问

蜘蛛、蜻蜓各有多少只？

4.小王在超市中买了单价是2.8元的某品牌鲜奶若干袋，过了一段时间再去超市，发鲜奶正

进行让利销售，每袋让利0.3元，于是他比上次多买了2袋，只比上次多花了2元,上次买

了多少袋这样的鲜奶？

5.设,

6

34

,

3

13x

n

x

m







若03nm，求x的值.

6某地下管道由甲队单独铺设需要3天完成，乙队单独铺设要5天完成，甲队铺设了

1/5的工作量后，为了加快进度，乙队加入，从另一端铺设，问管道铺好，乙队做了

多少天？

四、小结

工程问题中要善于把握什么是总工作量，总工作量可以看成“1”；工程问题中的

等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。