existence

Ａｖａｉｌａｂｌｅ ｏｎｌｉｎｅ ａｔ、＾，ｖｖｗ．ｓｃｉｅｎＣｅｄｉｒｅＣｔ．ｃｏｍ

一

一

黪二 ＳｃｉｅｎｃｅＤｉ ｒｅｃｔ

Ａｃｔａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ Ｓｃｉｅｎｔｉａ ２０１１，３１Ｂ（６）：２１２２—２１３０

数学物理学报

ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ

ＥＸＩＳＴＥＮＣＥ ＡＮＤ ＵＮＩＱＵＥＮＥＳＳ ＯＦ ＳＯＬＵＴＩＯＮＳ

ＦｏＲ Ｎ０ＮＬＩＮＥＡＲ ＦＲＡＣＴＩｏＮＡＬ ＤＩＦＦＥＲＥＮＴＩＡＬ

ＥＱＵＡＴＩＯＮＳ ＷＩＴＨ ＮｏＮ—ＳＥＰＡＲＡＴＥＤ ＴＹＰＥ

ＩＮＴＥＧＲＡＬ Ｂ０ＵＮＤＡＲＹ Ｃ０ＮＤＩＴＩｏＮＳ

Ｄｅｄｉｃａｔｅｄ ｔｏ Ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ Ｐｅｔｅｒ Ｄ．Ｌａｘ Ｏｉｌ ｔｈｅ ｏｃｃａｓｉｏｎ ｏｆ ｈｉｓ ８５ｔｈ ｂｉｒｔｈｄａｙ

Ｂａｓｈｉｒ Ａｈｍａｄ１ Ｊｕａｎ １ Ｎｉｅｔｏ１ ２ Ａｈｍｅｄ Ａｌｓａｅｄｉ１

１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ｝Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ｝Ｋｉｎｇ Ａｂｄｕｌａｚｉｚ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，

Ｐ．０．Ｂｏｘ ８０２０３，Ｊｅｄｄａｈ ２１５８９，Ｓａｕｄｉ Ａｒａｂｉａ

２．Ｄｅｐａｒｔａｍｅｎｔｏ ｄｅ Ａｎｄｌｉｓｉｓ Ｍａｔｅｍｄｔｉｃｏ，Ｆａｃｕｌｔａｄ ｄｅ Ｍａｔｅｍｄｔｉｃａｓ，

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｄａｄ ｄｅ Ｓａｎｔｉａｇｏ ｄｅ Ｃｏｍｐｏｓｔｅｌａ，１ ５７８２，Ｓａｎｔｉａｇｏ ｄｅ Ｃｏｍｐｏｓｔｅｌａ，Ｓｐａｉｎ

Ｅ—ｍａｉｌ：ｂａｓｈｉｒ—ｑａｕ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｒｎ；ｊｕａｎｊｏ８ｅ．ｎｉｅｔｏ．ｒｏｉｇ＠ｕｓｃ．ｅｓ；ａａｌｓａｅｄｉ＠ｈｏｔｍａｉｌ．ｃｏｒｎ

Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｓｔｕｄｙ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆ－

ｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ（１＜ｑ ２）ｗｉｔｈ ｎｏｎ—ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．

Ｓｏｍｅ ｉｌｅｗ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｓｏｍｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ

ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｎｄ Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ．Ｓｏｍｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｖｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．

Ｗｅ ｅｘｔｅｎｄ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｒｅｓｕｌｔｓ ｅｖｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｅｒ ｃａｓｅ ｑ ２．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｎｏｎ－．ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉ—－

ｔｉｏｎｓ；ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’Ｓ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ；Ｌｅｒａｙ—

Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｄｅｇｒｅｅ

２０００ ＭＲ Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉ０ｎ ２６Ａ３３；３４Ａ１２；３４Ａ４０

１ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

Ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｖａｒｉｏｕｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ａｐｐｌｉｅｄ ｆｉｅｌｄｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｂｌｏｏｄ ｆｌｏｗ

ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｃｈｅｍｉｃａｌ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ｔｈｅｒｍｏｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ，ｕｎｄｅｒｇｒｏｕｎｄ ｗａｔｅｒ ｆｌｏｗ，ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ ｄｙｎａｍ—

ｉｃｓ，ｅｔｃ．Ｆｏｒ ａ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ，ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｃｅｎｔ ｐａｐｅｒｓ［２，１５］．

Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｐｒｏｖｉｄｅ ａｎ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｔｏｏｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅｍｏｒｙ ａｎｄ ｈｅｒｅｄ—

ｉｔａｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｖａｒｉｏｕｓ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ａｎｄ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．Ｔｈｅｓｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ—ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅｌｓ ｍｏｒｅ ｒｅａｌｉｓｔｉｃ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ

ｉｎｔｅｇｅｒ—ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅｌｓ．Ａｓ ａ ｍａｔｔｅｒ ｏｆ ｆａｃｔ，ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｉｓｅ ｉｎ ｍａｎｙ ｅｎｇｉ—

ｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｐｈｙｓｉｃｓ，ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ，ｂｉｏｌｏｇｙ，ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ，

Ｒｅｃｅｉｖｅｄ Ｍａｙ ４，２０１１

Ｎｏ．６ Ｂ．Ａｈｍａｄ ｅｔ ａｈ ＥＸＩＳＴＥＮＣＥ ＡＮＤ ＵＮＩＱＵＥＮＥＳＳ ＯＦ ＳＯＬＵＴＩＯＮＳ ２１２３

ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ｂｉｏｐｈｙｓｉｃｓ，ｂｌｏｏｄ ｆｌｏｗ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ，ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ，ｆｉｔｔｉｎｇ ｏｆ ｅｘ

ｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｄａｔａ，ｅｔｃ．ｆ７，２０，２１，２３１．Ｉｎ ｒｅｃｅｎｔ ｙｅａｒｓ，ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ａ ｖａｒｉｅｔｙ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｂｙ ｓｅｖ

ｅｒａ１ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ，ｆｏｒ ｉｎｓｔａｎｃｅ，ｓｅｅ『ｌ，４，５，７，８，１２，１４，１９，２５］ａｎｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｔｈｅｒｅｉｎ．Ｆｏｒ ｓｏｍｅ

ｒｅｃｅｎｔ ｗｏｒｋ ｏｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，

ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ｐａｐｅｒｓ ｆ３，６，９，１３，１６，１８，２２］ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｔｈｅｒｅｉｎ．Ｉｎ ｔｈｅ ｗｏｒｋ

ｏｎ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｎ ａｎ ｉｎｔｅｒｖａ１『０，Ｔ１，Ｔ＞０ ｏｒ １０，１ ｌ ａｒｅ ｃｏｍｍｏｎｌｙ ｕｓｅｄ：

） （。）：Ｔ

ｇ（ｓｊ ））ｄｓ． ） （ ）＝ ， ））ｄｓ

（。）＋ （。）＝ｒ

０

１ ９１（ （ｓ））ｄｓ ａ （１）＋ （１）＝１

ｇ２（ （ｓ））ｄｓ．．

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｆ ｎｏｎ－ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｔｙｐｅ．Ｔｏ ｔｈｅ ｂｅｓｔ

ｏｆ ｏｕｒ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｄｅａｌｉｎｇ ｗｉｔｈ ｎｏｎ－ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｔｙｐｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ＳＯ ｆａｒ．

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｎｅｗ ｃｌａｓｓ ｏｆ

ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｎｏｎ—ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｔｙｐｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ，ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ

。Ｄ ｘ（ｔ）＝ｆ（ｔ， （ｔ）），ｔ∈［０，Ｔ］，Ｔ＞０，１＜ｑ ２，

ｘ（Ｏ）～￣ｌＸ（Ｔ）＝ １／ｇ（ｓ，ｘ（ｓ））ｄｓ，

Ｊ０

Ｘｔ（０）一 ２ （ ）＝ ２／＾（ｓ，ｘ（ｓ））ｄｓ，

Ｏ

ｗｈｅｒｅ。Ｄｑ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ Ｃａｐｕｔｏ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ，ｆ，ｇ，ｈ：［０，Ｔ］× ａｒｅ ｇｉｖｅｎ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ １， ２， １， ２∈Ⅱ ｗｉｔｈ １≠１，Ａ２≠１．

２ Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｅｓ

Ｌｅｔ ＵＳ ｒｅｃａｌｌ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ［１ ７，２３］．

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ２．１ Ｆｏｒ ｑ＞０，ｔｈｅ Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌ］ｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｇ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

㈤＝而１／０ ｄｓ

ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｘｉｓｔｓ．

Ｄｅｆｉｎｉｔｉ０ｎ ２．２ Ｆｏｒ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ：【０，。ｏ）－．÷ ，ｔｈｅ Ｃａｐｕｔｏ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ

ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｑ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ

。Ｄ ｘ（ｔ、＝ ｒ（ｎ

ｑ） 一ｓ）ｎ－－ｑ－－ｉｘ（ｎ）（ｓ） 札一１＜ｑ＜ ＿［ｑ

ｗｈｅｒｅ［ｑ］ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｅｒ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｑ

２１２４ ＡＣＴＡ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ ＳＣＩＥＮＴＩＡ Ｖｏ１．３１ Ｓｅｒ．Ｂ

Ｌｅｍｍａ ２．３ Ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ（１．１）ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ

）＝Ｔ Ｇ ））ｄ

ｓ＋

Ｔ

ｇ（ （ｓ））ｄｓ，

ｗｈｅｒｅ ｃ（ｔ，ｓ）ｉｓ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ’Ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ａ（ｔ，８）

ｓ， ｘ（ｓ））ｄｓ

（ｔ—ｓ）ｑ一 １（ 一ｓ） 一 Ａｚ［Ａ１Ｔ＋（１－一

Ａ

．１）ｔ］—

（Ｔ－

—

ｓ）ｑ－２

一ｒ（ｇ） （ １—１）ｒ（ｑ）。 （ ２—１）（ＡＩ一１）Ｐ（ｑ一１）

入１（Ｔ—ｓ）ｑ一 ．入２ １Ｔ＋（１一入１）ｔ】（ —ｓ） 一

（ ｌ一１）ｒ（ｑ）。 （ ２—１）（Ａ１—１）Ｆ（ｑ—１）’

ｓ ｔ，

ｔ＜８

Ｐｒｏｏｆ Ｗｅ ｏｍｉｔ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ａｓ ｉｔ ｅｍｐｌｏｙｓ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ，ｆｏｒ ｉｎｓｔａｎｃｅ，ｓｅｅ［３，ｌ １］．

口

Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ Ｌｅｍｍａ ２．３，ｗｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｐｒｏｂｌｅｍ（１．１）ａｓ

ｗｈｅｒｅ Ｆ： （［０， ］， ）— ｃ（［０， 】， ）ｉｓ

（ｒｘ）（ｔ） ｔ

—

（ｔ－ ８）ｑ－１ ｆ（

ｓ，

Ｘ＝Ｆ（ｘ）

（ｓ））ｄｓ一∈１ １

＋∈ ｚ［ （ 一￡）＋ｔ］

＋∈ ［入 （Ｔ—ｔ）＋ｔ］

∈１＝

厂Ｔ ，（ｓ， （ｓ））ｄ—而厂八 Ｊｕ

筹，（ｓ ｓ））ｄｓ

＾（ｓ， （ｓ）ｄｓ－＃１∈ Ｔ

夕（ｓ， （ｓ）ｄｓ， ∈

１ ｌ

’｛ ＝硕

［０，Ｔ］

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｐｒｏｂｌｅｍ（１．１）ｈａｓ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｉｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ（２．２）ｈａｓ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ

３ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ Ｒｅｓｕｌｔｓ

（２．２）

Ｌｅｔ ｃ： （ｆ０， １， ）ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ ｏｆ ａｌｌ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ［０，Ｔ］—÷

ｅｎｄｏｗｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｏｒｍ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ １＝ｓｕｐ｛Ｉｘ（ｔ）１，ｔ∈【０， ）．

Ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｒｔｈｃｏｍｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ：

（Ａ１）Ｖｔ∈【０， ］， ，Ｙ∈Ｒ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｉ（ｉ＝１，２，３）ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

（ｉ）ｌｆ（ｔ， ）一，（ ， ）ｌ ＬＩ［Ｘ—ｙｌ，

（ｉｉ）ｌ９（ｔ，ｚ）一９（ｔ， ）５ Ｌ２１ｘ一 ｌ，

（ｉｉｉ）１ｈ（ｔ，ｚ）一ｈ（ｔ， ）ｌ Ｌ３１ｘ一 ｌ；

（Ａ２）７ｌ＝—ＬＩ—Ｔ—ｑ（—Ｉ＋—Ｉ—（Ｉ Ａ １］＋干Ｉ可｛ｚ—Ａ２（Ｉ＋—Ａ—１）Ｉｑ）＋ ３ｌ∈２ ２（１＋ １）ｌ 。＋Ｌ２ｌ １∈１ＩＴ＜１

（Ａ３）ｖ（ｔ， ）∈【Ｏ，Ｔ］× ，ｌｅｔ

，（ｔ，５）１ ｐｌ（ ）＋ｃ１１ｚ１肌，１９（ｔ，ｘ）ｌ ｐ２（ｔ）＋ｃ２１ｘｌ ｐ２，Ｉｈ（ｔ，ｚ）ｌ ｐ３（ｔ）＋ｃ３１ １ 。

Ｎｏ．６ Ｂ．Ａｈｍａｄ ｅｔ ａｌ：ＥＸＩＳＴＥＮＣＥ ＡＮＤ ＵＮＩＱＵＥＮＥＳＳ ＯＦ ＳＯＬＵＴＩＯＮＳ ２１２５

ｗｈｅｒｅ ０＜ｐｌ，Ｐ２，Ｐ３＜ｌ，ａｎｄ Ｃｌ，Ｃ２，Ｃ３ ａｒｅ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，

ｌｌ＝ ｓｕｐ １ｐｉ（ｔ）ｌ，ｉ＝１，２，３

ｔ６［ｏ Ｔ】

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．１ Ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ（ＡＩ）ａｎｄ

ｈａｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．

Ｐｒｏｏｆ Ｌｅｔ ＵＳ ｓｅｔ

ｓｕｐ Ｉ

ｔ∈【Ｏ，Ｔ】

ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｂｒ

ｆ（ｔ，０）

（Ａ２）ｈｏｌｄ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ（１，１）

Ｍ１，ｓｕｐ １ｇ（ｔ，０）ｌ＝Ｍ２，ｓｕｐ ｌｈ（ｔ，０）ｌ＝Ｍ３

ｔ∈【ｏ，Ｔ］ｔ６［０，Ｔ】

｛ ∈ｃ：Ｉｌｘｌｌ ｒ），ｗｈｅｒｅ ｒ≥ ，ｗｉｔｈ

ＭＩＴ。（１＋ｌ∈ｌ １１＋１￣２Ａ２（１＋Ａ１）ｌｑ）

ｒ（ｑ＋１１ ＋尬ｆ ２（１＋Ａ１）ｒＴ。＋ ｆ １∈１ＩＴ

ａｎｄ １ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ（Ａ２）．Ｎｏｗ ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ＦＢｒ ｃ Ｂｒ，ｗｈｅｒｅ Ｆ：ｃ—｝ｃ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ（２．５）．Ｆｏｒ ∈Ｂｒ，ｗｅ ｈａｖｅ

（Ｆｘ）（ｔ）１ ｛ ，（ｓ， （ｓ））１ｄｓ＋ｌ∈ ，／ｏ 三 Ｉｆ（ｓ， （ｓ）） ｄｓ

＋ｆｅＡ２［Ａ１Ｔ＋（１一Ａ１）ｔ］

＋『∈２ ２［ＡｉＴ＋（１一Ａ１）ｔ】

／ｏＴ

ｅ ｆ，（ｓ， （ ｒ（口一１） 川

（ｓ，ｚ（ｓ））Ｉｄｓ＋Ｉ ∈ Ｉ Ｔ Ｉｇ（ｓ， （ｓ））Ｉｄｓ）

（ｓ＿ ，（ｓ）０） ｓ）０）１）ｄｓ

ｆＴ

＋ｌ∈１ １ｌ／

０ ｉ ；＇－昙； 二（Ｉ，（ｓ， （ｓ））一，（ｓ，。）Ｉ＋Ｉｆ（ｓ，。）１）ｄｓ

ｚ［ＡＩＴ＋（１－Ａ１ ｌ ｓ１ｑ一２

ｒ（ｑ一１） （Ｉ／（８， （ｓ））一．厂（ｓ，０）Ｉ＋１．厂（ｓ，Ｏ）１）ｄｓ

＋ｌ∈２ ２［ＡＩＴ＋（１一 １）ｔ］ｌ／（１＾（ｓ， （ｓ））一 （ｓ，０）ｌ＋１ｈ（ｓ，Ｏ）１）ｄ８

ｔ，０ Ｊ］Ｚｌ￣ ，／ｏＴ。。ｓ＞ ＋ １ （Ｉ＿９（ｓ， （ｓ））一９（ｓ，０）Ｉ＋Ｊ夕（ｓ，０）Ｊ）ｄ

＋尬）［ ｑ－ｉｄａ＋ ｃ ｄｓ

＋ｌ ［ ＋（１一 ） ］ｌ Ｔ

—

（Ｔ 而－８）ｑ－２ｄｓ］

＋（Ｌａｒ＋ ） ［Ａ１Ｔ ｑ－（１一 圳 ＋（ ＋Ｍ２）Ｉ Ｉ ）

（， ｌ＿±＿Ｉ ＿＿车 ＋Ｌ。ｌ （１＋ ）ＩＴ。＋ 。ｌ ∈ ｌ 、）ｒ ～＼、 ｒ（ｑ＋１） ～

． 。 ’ 一 。／／

＋ ＋ （１＋Ａ１）ＩＴ。＋ ＩＴＦ 。 ｆ

ｑ＋１１ 。‘ ’ 。

＝７１ｒ＋ ｒ

２１２６ ＡＣＴＡ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ ＳＣＩＥＮＴＩＡ Ｖｏ１

．３１ Ｓｅｒ．Ｂ

Ｎｏｗ，ｆｏｒ ，Ｙ∈ ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔ∈【０，丁］，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ

ｌｌ（ｒｘ）（ｔ）一（ｒｙ）（ｔ）ｌｌ

（ｓ． ，（ｓ ｓ）］ｆｊｄｓ

＋ｌ∈ Ａ ｌ Ｔ 三｛ ； ｌｌ，（ｓ， （ｓ））一，（８， （ｓ））＿Ｉｄ

＋ｌ∈２Ａ２ １ ＋（１一Ａ１）ｔ］

． ＋ｆ ＋（１一 ｆ Ｔ

ｆ（ｓ， （ｓ））一ｆ（ｓ， （ｓ））ｌＩｄｓ

ｈ（８，ｚ（ｓ））一ｈ（ｓ， （ｓ））ｆｄｓ

＋Ｉ ∈ ｌ ｌ９（ｓ， （ｓ））一ｇ（ｓ， （ｓ））ｌｄｓ）

Ｊ Ｊｘ一

＜

ｓｕ ｐ ｑ－ｌｄ８＋ ｄｓ

＋Ｉ｛２￣ｋ２［Ａ１Ｔ＋（１一 １）叫 ｄｓ］

＋Ｌ３［￣２＃２［ＡＩＴ＋（１一Ａ１）ｔ］ＩＴ＋Ｌ２ Ｊ ｌ∈１ｌ

（ ＋ｌ １ １Ｉ＋ｌ￣２Ａ２（１＋Ａ１）ｌｑ）

７ｌｌｌｚ—Ｙ

）

＋ ３ｆ ２（１＋ １）｛Ｔ２＋Ｌ２（ １ Ｉ 、ｌ（１ 一

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ７１ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎｌｙ ｏｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ

．Ａｓ ３＇１＜１ ｆＡ，１

ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ厂ｉｓ ａ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ

．Ｔｈｕｓ，ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｍａｐｐｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ（Ｂａｎａｃｈ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ

ｔｈｅｏｒｅｍ），ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｐｒｏｂｌｅｍ（１．１）ｈａｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ． 『］

Ｎｏｗ，ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ（１．１）ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’ｓ ｆｉｘｅｄ Ｄｏｉｎｔ

ｔｈｅｏｒｅｍ［２４］．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．２（Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’ｓ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ）Ｌｅｔ Ｍ ｂｅ ａ ｃｌｏｓｅｄ ｃｏｎｖｅｘ ａｎｄ

ｎｏｎｅｍｐｔｙ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ａ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅ

．Ｌｅｔ Ａ，Ｂ ｂｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ（ｉ）４ ＋Ｂ ∈Ｍ

ｗｈｅｎｅｖｅｒ ，Ｙ∈Ｍ；（ｉｉ）Ａ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ ａｎｄ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ；（ｉｉｉ）Ｂ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｒａｅｔｉｏｎ ｍ印Ｐｉｎｇ．Ｔｈｅｎ

ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ∈Ｍ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ＝Ａｚ＋Ｂｚ

． Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．３ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ（Ａ１）ａｎｄ（Ａ３）ｈｏｉｄ ｗｉｔｈ

Ｌ

１

Ｔｑ（

．．

Ｉ￣Ｉ

—．

Ａ

．．．

１ ｌ＋

．．．．．

１［２

—．

Ａ

．．．

ｚ（

．

１

．．．

＋

Ａ

— ．

１

．．

）

．

１ｑ

——

）

ｒ（ｑ十１１ ＋Ｌ３１（２＃２（１＋Ａ１）ＩＴ ＋Ｌ２ｌ １ １ＩＴ＜１

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ（１．１）ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ［０，ＴＩ．

Ｐｒｏｏｆ Ｌｅｔ ＵＳ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ＝ｘ∈ ：ｆ ｒｘｆｆ Ｆ｝，ｗｈｅｒｅ

ｍ￣｛ＳＨｐｌ ，ｓｌｉｐ２ ，ｓｌｉｐ３ ，（６ＣｌＶ１） ，（６ｃ２ｖ２） ，（６ｃ３ｖ３） ）

／２１

Ｔｑ（１＋１１１Ａｌ１＋］ｓｃ２Ａ２（１＋Ａ１）Ｊｑ）

Ｆ（ｑ＋１１ ｒｅ（１ｉＴ，／／３＝【∈２ ２（１＋Ａ１）ＩＴ。

（３．

（３．

Ｔｏ ｗｒｉｔｅ厂ａｓ ａ ｓｕｍ ｏｆ ａ ｃｏｍｐａｃｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｖｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

，ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｆ１ ａｎｄ Ｆ２ Ｏｉｌ Ｂ ａｓ

（ ，（ｓ ｓ））ｄｓ，

ＮＯ．６ Ｂ．Ａｈｍａｄ ｅｔ ａｌ：ＥＸＩＳＴＥＮＣＥ ＡＮＤ ＵＮＩＱＵＥＮＥＳＳ ＯＦ ＳＯＬＵＴＩＯＮＳ ２１２７

（厂。 ）（ ）＝一∈ 三 ，（ｓ

， （ｓ））ｄｓ

＋ 。［ ＋（ 一 ） 】 Ｔ！ ）＿ ‘厂（ｓ， （ｓ））ｄｓ

＋∈ ［ ＋（１一 ） 】 Ｔ九（ｓ， （ｓ）ｄｓ－Ｐｌ∈ Ｔ

ｇ（ｓ， （ｓ）ｄｓ

Ｆｏｒ Ｘ，Ｙ∈ ，ｂｙ（３．２）ａｎｄ（３．３），ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ

厂 ＋Ｆ ｌＪ Ｌ ！ 老 鱼

＋Ｊ ２（１＋￣Ｉ）ＩＴ （１ｉｐ３ｌＩ＋ｃ３（ ） 。）＋Ｊ １ １ ＪＴ（ＩＩＰ２１ Ｊ＋ｃ２（ ） 。）

＜

——

＜

Ｔｈｕｓ，Ｆｉｘ＋Ｆ２ｙ∈ ．Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ（３．１）

ｆ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ厂１ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ．

ｔｈａｔ厂２ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｍａｐｐｉｎｇ．Ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ

Ａｌｓｏ，Ｆ ｌ ｉｓ ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ ｂｏｕｎｄｅｄ ｏｎ Ｂ亨ａｓ

Ｆｌｘｌｌ ｆＩｐｌｌ ｌＴｑ

ｒ（ｑ＋１）

Ｎｏｗ ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ厂１．Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ（Ａ１），ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

ａｎｄ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ ｗｅ ｈａｖｅ

（ｒ￣ｚ）（ｔ１）一（ ｌ ）（ ２）

ｓｕｐ Ｉｆ（ｔ， ）Ｊ＝ｆ

（ｔ，ｘ）∈［ｏ，Ｔ］×口－

＝ｌＩ而１ 。。 ＿ｓ）ａ Ｉｆ（ｓ， ））ｄｓ＋

而，－Ｉ２（ｔ２－ｔ１）

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ａｎｄ ｔｅｎｄｓ ｔｏ ｚｅｒｏ ａｓ ｔ２＿ｔ１．Ｔｈｕｓ， ｌ ｉｓ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｃｏｍｐａｃｔ ｏｎ

Ｂｒ．Ｈｅｎｃｅ，ｂｙ ｔｈｅ Ａｒｚｅｌｇ－Ａｓｅｏｌｉ Ｔｈｅｏｒｅｍ，Ｆ １ ｉｓ ｃｏｍｐａｃｔ ｏｎ Ｂｒ．Ｔｈｕｓ ａｌｌ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ ｏｆ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．２ ａｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ．Ｓｏ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．２ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ

ｐｒｏｂｌｅｍ（１．１）ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ［０， ． 口

Ｒｅｍａｒｋ ３．４ Ａｎ ａｎａｌｏｇｕｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．３ ｗｉｔｈ Ｐｌ，Ｐ２，Ｐ３＞１ ｉｎ（ ３）ｃａｎ ｂｅ

ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｓｉｍｉｌａｒ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ．

Ｏｕｒ ｎｅｘｔ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌｅｒａｙ－Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．５ Ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ，Ｖｉ（ｉ＝１，２，３）ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

Ｉｆ（ｔ， ）Ｉ 且Ｔｑ ｌ Ｉ＋１］１，Ｉｇ（ｔ， ）ｌ 等Ｉ Ｉ＋ ，ｌｈ（ｔ， ）Ｉ 监Ｔ２ ｌＸｌ＋／／３ ｆｏｒ ａｌｌ ｔ∈［０， ］，Ｘ∈ ａｎｄ

。＜（ ＋ 。Ｉ＆ｐ２（１＋ ）Ｊ＋ ２ Ｊ ∈ Ｊ１＜１

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ（１．１）ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ

铅

＋

ｐ

＋

＋

以

＋ 一６

＋

一６

＋

ｍ『一６

＋

一６

Ｓ

ｄ

、ｌ，

、ｌ，

Ｓ

／

Ｓ

，，

，Ｊ

～

ｑ

、，，

Ｓ

一

２

，

２

２１２８ ＡＣＴＡ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ ＳＣＩＥＮＴＩＡ Ｖ０１＿３１ Ｓｅｒ．Ｂ

Ｐｒｏｏｆ Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍ

ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｘ∈碾ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ（２．２）．Ｄｅｆｉｎｅ

（２．２），ｗｅ ｊｕｓｔ ｎｅｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａｔ

ａ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｂａｌ１ Ｂｕ ｗｉｔｈ ｒａｄｉｕｓ Ｒ＞０ ａｓ

ＢＲ＝｛ ∈ ［０， ］：

ｔ

ｍ∈［０ａ

，

ｘ

］

Ｉ茁（亡）｝＜Ｒ）

ｗｈｅｒｅ Ｒ ｗｉｌｌ ｂｅ ｆｉｘｅｄ ｌａｔｅｒ．Ｔｈｅｎ，ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｆ：ＢＲ ｃ［０，Ｔ］ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

Ｌｅｔ ＵＳ ｓｅｔ

ｚ≠ ＦＸ， Ｖ ｚ∈ＯＢＲ ａｎｄ Ｖ ∈［０，１】

日（ ，Ｘ）＝ＡＦｘ， ∈ｃ（ｘ）Ａ∈［０，１］

（３．４）

Ｔｈｅｎ，ｂｙ Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｃｏｌｉ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｈｘ（ｘ）＝ —Ｈ（Ａ， ）：ｚ—ＡＦｘ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ．Ｉｆ

（３．４）ｉｓ ｔｒｕｅ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｄｅｇｒｅｅｓ ａｒｅ ｗｅｌｌ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ ｂｙ ｔｈｅ ｈｏｍｏｔｏｐｙ

ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｄｅｇｒｅｅ，ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ

ｄｅｇ（ｈ￣，ＢＲ，０）＝ｄｅｇ（Ｉ～ 厂，ＢＲ，０）＝ｄｅｇ（ｈｌ，ＢＲ，０）

＝ｄｅｇ（ｈ０，ＢＲ，０）＝ｄｅｇ（Ｉ，ＢＲ，０）＝１≠０，０∈Ｂ

ｗｈｅｒｅ Ｉ ｄｅｎｏｔｅｓ．ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ．Ｂｙ ｔｈｅ ｎｏｎｚｅｒｏ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｄｅｇｒｅｅ，ｈｌ（ｔ）＝

Ｘ—ＡＦｘ：０ ｆｏｒ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ∈ＢＲ．Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｐｒｏｖｅ（３．４），ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｚ＝ＡＦｘ ｆｏｒ ｓｏｍｅ

∈［０，１］ａｎｄ ｆｏｒ ａｌｌ ｔ∈［０，Ｔ］ＳＯ ｔｈａｔ

！ ｛＿ Ｉｆ（ｓ，ｚ（ｓ））｝ｄｓ＋１∈ ）、 ，／ｏＴ 三 Ｉｆ（ｓ， （ｓ））ｌｄｓ

＋ｌ∈ｚ ｚ［ＡＩＴ＋（１～ ）≠ｌ，／０ ； Ｉｆ（ｓ， （ｓ））『ｄｓ

＋Ｊ∈２ ２ １ ＋（１一Ａ１）ｔ］ｆ／ｌ （ｓ，ｘ（ｓ））ｔｄｓ＋Ｊ １∈１ｌ／ｆ９（ｓ，ｘ（ｓ））ｌｄｓ Ｐ』 』

，ｎ ，ｎ （ ）

＋ｌ 。 。Ｊｌ ＋（１一 ）ｔ，／ｏＴ ｄｓ＋

ｆ —

ｌ∈１入

ｓ１ｑ一２

ｒ（ｑ一１１

／０Ｔ

ｄｓ］

ｓ１ｑ～

ｒ（ｑ） ｄｓ

＋（ ＋ ） ｚ［Ａ１Ｔ＋（１－／￣１ （ ＋ ）

（，兰 鱼 ＋ ＂２ｔｌｆ １， ０（１＋，Ａ、． ）＋ Ｉ ∈ １ｊ ＼ｌ一十 ｌ广０ｆ Ｉ ｌ十 １ ｌｌ十 ０ Ｊ，＾１广１ ｌ Ｉｌ：，：一＼、 ｒ（ｇ＋１） ’ 、 。 。’。 。／『 一

＋（

ｗｈｉｃｈ，ｏｎ ｔａｋｉｎｇ ｎｏｒｍ（ｓｕｐ

ｔＥ［０，Ｔ】

ｗｈｅｒｅ

ｐｌ：

＋ ｌ ｚ （１＋ ）Ｉ ２＋ ｊ ∈ ｛ 、

（ ）Ｉ＝ＩＩｘｌ１）ａｎｄ ｓｏｌｖｉｎｇ ｆｏｒ ｌＩｘｌｌ，ｙｉｅｌｄｓ

ＩＩ

１（１＋ｌ∈１Ａ１ ｌ＋ｌ￣２Ａ２（１＋Ａ１）ｌｑ）

Ｐ（ｑ＋１１ ＋／；３１￣２／Ａ２（１＋ １）｝ ＋ ２Ｉ／ＡＩ￣Ｉ

ＮＯ．６ Ｂ．Ａｈｍａｄ ｅｔ ａｌ：ＥＸＩＳＴＥＮＣＥ ＡＮＤ ＵＮＩＱＵＥＮＥＳＳ ＯＦ ＳＯＬＵＴＩＯＮＳ ２１２９

牿 ＋ 。 １ ）ＩＴ １ ＩＴｒ（ ｑ＋１１ 一。０ 、 ’ ｌ

ＣＤ３／ ２ｘ（ｔ）＝（

ｔ

１

２）ｆｔ ａｎ－ｌｘ＂ｔ［０１ １］１

Ｈｅｒｅ，ｑ＝３／２，Ａ１＝一１／２，Ａ２＝－４／５， １ ９（ ， ）＝鼎， （￡， ）＝ ，ａｎｄ １／３， ２＝１／５，ｆ（ｔ， ） 而 ｔａｎ

，（ ， ）一，（ｔ，ｙ）ｌ Ｉｘ－Ｙｌ，１９（ ， ）一ｇ（ ， ）ｌ 丢Ｉｘ－Ｙ Ｌ，Ｉｈ（ ， ）一ｈ（ｔ，ｙ）ｌ 去ｌ 一

Ｃｌｅａｒｌｙ，Ｌ１

１＝

１

，

Ｌ２＝ １

，

Ｌ３＝ １

．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ

１（１＋Ｉ∈１ ｌｌ＋ｌ￣２Ａ２（１＋Ａ１）ｌｑ）

ｒ（ｑ＋１１ ＋ ２ ２（１＋Ａ１）１＋ ２Ｉ Ｉ＝丽１４＋ ５＜１

Ｔｈｕｓ，ｂｙ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．１，ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ（３．５）ｈａｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ

Ｅｘａｍｐｌｅ ３．７ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ￣ｌｌｏｗｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ

Ｈｅｒｅ，ｑ＝３／２， １

ＣＤ３／２

辛

ｘ（ｔ）

㈩

＝

１ ｓｉｎ（２７ｒ ｘ）￣Ｉｘ［ ｊ

，＋ ＝ １ （丽１ ＋

ｆ（ｔ，ｘ）ｌ＝Ｉ ｓｉｎ（２ ＋可Ｉｘｌ

ｌｇ（ｔ， ）

ｈ（ｔ， ）

ｌｚ ¨Ｉ

１ ）＋

互１ 十互Ｉ

Ｓｏ １＝／％２＝１／２， ３＝１／４，／２１＝／２２：１，／２３＝１／２ ａｎｄ

三Ｉ

＋

＋

—一

（坐 ｚ Ｉ Ｉ）＝ ２８＋而１３

口

（３．５）

（３．６）

Ｔｈｕｓ，ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．５ ａｐｐｌｉｅｓ ｔｏ ｐｒｏｂｌｅｍ（３．６）．

Ｒｅｍａｒｋ ３．８ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ａｎ ａｎｔｉ—ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒ—

ｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ∈（１，２］ｆｏｌｌｏｗ ａｓ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ １：一ｌ＝ ２， １＝０＝ ２

ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ（ｓｅｅ［１０］）．Ｆｏｒ ｑ＝２，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｎｅｗ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ａ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｂｏｕｎｄ．

ａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｎｏｎ－ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｔｙｐｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．

引

２１３０ ＡＣＴＡ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡ ＳＣＩＥＮＴＩＡ Ｖｏ１．３１ Ｓｅｒ．Ｂ

Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ

『１１ Ａｇａｒｗａｌ Ｒ Ｐ，Ｂｅｎｃｈｏｈｒａ Ｍ，Ｈａｍａｎｉ Ｓ．Ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａ１ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．

Ｇｅｏｒｇｉａｎ Ｍａｔｈ Ｊ．２００９．１６：４０１１４１ｌ

［２］Ａｈｍａｄ Ｂ，Ａｌｓａｅｄｉ Ａ，Ａｌｇｈａｍｄｉ Ｂ．Ａｎａｌｙｔｉｃ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅｄ Ｄｕｆｆｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ ＲｅａｌⅥ，ｏｒｉｄ Ａｐｐｌ，２００８．９：１７２７—１７４０

【３］Ａｈｍａｄ ｂ，Ｎｉｅｔｏ Ｊ Ｊ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒｏｄｉｆｅｒ—

ｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｂｏｕｎｄ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌ，２００９，Ａｒｔ ＩＤ ７０８５７６

ｆ４１ Ａｈｍａｄ Ｂ，Ｎｉｅｔｏ Ｊ Ｊ．Ｅｘｉｓｔｅｎｅｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ

ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｂｓｔｒ Ａｐｐｌ Ａｎａｌ，２００９，Ａｒｔ ＩＤ ４９４７２０

ｆ５１ Ａｈｍａｄ Ｂ，Ｎｉｅｔｏ Ｊ Ｊ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ａ ｃｏｕｐｌｅｄ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａ１ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ—ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｃｏｍｐｕｔ Ｍａｔｈ Ａｐｐｌ，２００９，５８：１８３８－１８４３

『６Ｉ Ａｈｍａｄ Ｂ，Ｓｉｖａｓｕｎｄａｒａｍ Ｓ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ

ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ Ｈｙｂｒｉｄ Ｓｙｓｔ．２０１０．４：１３４－１４１

【７］Ａｈｍａｄ Ｂ，Ｓｉｖａｓｕｎｄａｒａｍ Ｓ．Ｏｎ ｆｏｕｒ—ｐｏｉｎｔ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｎｔｅｇｒｏ—ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ．２０１０．２１７：４８０－４８７

ｆ８１ Ａｈｍａｄ Ｂ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｉｒｒｅｇｕｌａｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｌｅｔｔ，２０１０，２３：３９０－３９４

１９ｆ Ａｈｍａｄ Ｂ，Ｎｔｏｕｙａｓ Ｓ Ｋ，Ａｌｓａｅｄｉ Ａ．Ｎｅｗ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ—ｐｏｉｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ Ａｄｖ Ｄｉ ｒ Ｅｑｕ．２Ｏ１１．Ａｒｔ ＩＤ １０７３８４

［１０１ Ａｈｍａｄ Ｂ，Ｎｉｅｔｏ Ｊ Ｊ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａｎｔｉ—ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｖｉａ Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｏｐｏｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，２０１０，３５：２９５—３０４

『１ ｌ ｌ Ａｈｍａｄ Ｂ．Ｎｅｗ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ

ｎｏｎ—ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ａｃｔａ Ｖｉｅｔｎａｍｉｃａ，２０１１，３６（３）：ｔｏ ａｐｐｅａｒ

【１２］Ｂａｉ Ｚ．Ｏｎ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，２０１０，７２：

９１６－９２４

ｆｌ３ ７ Ｂｅｎｃｈｏｈｒａ Ｍ，ＧｒａｅｆＪ Ｒ，Ｈａｍａｎｉ Ｓ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａ１

ｄｉｆｒｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｐｐｌ Ａｎａ１．２００８．８７：８５１ ８６３

【１４】Ｂｅｎｃｈｏｈｒａ Ｍ，Ｈａｍａｎｉ Ｓ，Ｎｔｏｕｙａｓ Ｓ Ｋ．Ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ｏｒｄｅｒ ａｎｄ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，２００９，７１：２３９１ ２３９６

【１５］Ｂｏｕｃｈｅｒｉｆ Ａ．Ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌ，

２００９，７０：３６４—３７１

ｆ１６１ Ｈａｍａｎｉ Ｓ，Ｂｅｎｃｈｏｈｒａ Ｍ，Ｇｒａｅｆ Ｊ Ｒ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｊ Ｄｉｆｆｅｒ Ｅｑｕ，２０１０，２０１０ｆ２０１：１－１６

［１７］Ｋｉｌｂａｓ Ａ Ａ，Ｓｒｉｖａｓｔａｖａ Ｈ Ｍ，Ｔｒｕｊｉｌｌｏ Ｊ Ｊ．Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．

Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｓｔｕｄｉｅｓ，２０４．Ａｍｓｔｅｒｄａｍ：Ｅｌｓｅｖｉｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｂ Ｖ，２００６

【１８】Ｌｉｕ Ｘ，Ｊｉａ Ｍ，ｗｌｕ Ｂ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｅ Ｊ Ｑｕａｌ Ｔｈｅｏｒｙ Ｄｉｆ Ｅｑｕ，２００９，６９：１－１０

ｆ １９１ Ｎｉｅｔｏ Ｊ Ｊ．Ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｉｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ Ｍｉｔｔａｇ－Ｌｅｍｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｌｅｔｔ．２０１０．２３：１２４８－１２５１

｛２０］Ｐｏｄｌｕｂｎｙ Ｉ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｓａｎ Ｄｉｅｇｏ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ．１９９９

［２１】Ｓａｂａｔｉｅｒ Ｊ，Ａｇｒａｗａｌ Ｏ Ｐ，Ｍａｃｈａｄｏ Ｊ Ａ Ｔ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ：Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ

ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｐｈｙｓｉｅｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００７

［２２】Ｓａｌｅｍ Ｈ Ａ Ｈ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ Ｐｅｔｔｉｓ

ｉｎｔｅｇｒａ１．Ａｃｔａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ Ｓｃｉｅｎｔｉａ ２０１１，３１Ｂ（２１：６６１—６７２

Ｉ２３】Ｓａｍｋｏ Ｓ Ｇ，Ｋｉｌｂａｓ Ａ Ａ，Ｍａｒｉｃｈｅｖ Ｏ Ｉ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ａｎｄ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ，Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．

Ｙｖｅｒｄｏｎ：Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ Ｂｒｅａｃｈ，１９９３

【２４】Ｓｍａｒｔ Ｄ Ｒ．Ｆｉｘｅｄ Ｐｏｉｎｔ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９８０

Ｉ２５１ Ｚｈａｎｇ Ｓ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ．Ａｃｔａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ

Ｓｃｉｅｎｔｉａ，２００６，２６Ｂ（２）：２２０－２２８