成人高考数学

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数学常用公式及常用结论

1。元素与集合的关系

U

xAxCA,U

xCAxA

。

2.德摩根公式

();()

UUUUUU

CABCACBCABCACB.

3。包含关系

ABAABB

UU

ABCBCA

U

ACB

U

CABR

4。容斥原理

()()cardABcardAcardBcardAB

()()cardABCcardAcardBcardCcardAB

()()()()cardABcardBCcardCAcardABC。

5．集合12

{,,,}

n

aaa的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个；

非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个。

6。二次函数的解析式的三种形式

(1）一般式2()(0)fxaxbxca;

(2）顶点式2()()(0)fxaxhka;

(3)零点式12

()()()(0)fxaxxxxa。

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7。解连不等式()NfxM常有以下转化形式

()NfxM[()][()]0fxMfxN

|()|

22

MNMN

fx





()

0

()

fxN

Mfx









11

()fxNMN





.

8.方程0)(xf在),(

21

kk上有且只有一个实根,与0)()(

21

kfkf不等价，

前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程

)0(02acbxax有且只有一个实根在),(

21

kk内，等价于0)()(

21

kfkf,

或0)(

1

kf且

22

21

1

kk

a

b

k



,或0)(

2

kf且

2

21

22

k

a

b

kk



。

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在

a

b

x

2

处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1）当a〉0时,若qp

a

b

x,

2

,则



minmaxmax

()(),()(),()

2

b

fxffxfpfq

a

；

qp

a

b

x,

2

，



maxmax

()(),()fxfpfq，



minmin

()(),()fxfpfq。

（2）当a<0时，若qp

a

b

x,

2

,则



min

()min(),()fxfpfq，若qp

a

b

x,

2

,

则

max

()max(),()fxfpfq,



min

()min(),()fxfpfq。

10.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0fmfn，则方程0)(xf在区间(,)mn内至少有一个实根.

设qpxxxf

2

)(，则

（1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或

240

2

pq

p

m















；

(2）方程0)(xf在区间(,)mn内有根的充要条件为()()0fmfn或

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2

()0

()0

40

2

fm

fn

pq

p

mn



























或()0

()0

fm

afn











或()0

()0

fn

afm











;

(3）方程0)(xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0fm或

240

2

pq

p

m















.

11。定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

（1)在给定区间),(的子区间L(形如,，,，,不同）

上含参数的二次不等式(,)0fxt（t为参数）恒成立的充要条件是

min

(,)0()fxtxL。

(2）在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt(t

为参数）恒成立的充要条件是(,)0()

man

fxtxL.

(3）0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是

0

0

0

a

b

c

















或

2

0

40

a

bac











。

12。真值表

ｐｑ非

ｐ

ｐ或

ｑ

ｐ且

ｑ

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13。常见结论的否定形式

原结论反设原结论反设词

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词

是不是至少有

一个

一个也没

有

都是不都

是

至多有

一个

至少有两

个

大于不大

于

至少有

n个

至多有

（1n）个

小于不小

于

至多有

n个

至少有

(1n)个

对所有

x，

成立

存在

某x,

不成

立

p或qp且q

对任何

x，

不成立

存在

某x,

成立

p且qp或q

14。四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题

若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ

互互

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互为为互

否否

逆逆

否否

否命题逆否命题

若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

15。充要条件

（1)充分条件：若pq,则p是q充分条件.

(2）必要条件:若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件:若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。

16.函数的单调性

(1)设

2121

,,xxbaxx那么



1212

()()()0xxfxfxbaxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在



上是增函数;



1212

()()()0xxfxfxbaxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在



上是减函数.

(2）设函数)(xfy在某个区间内可导,如果0)(



xf,则)(xf为增函数;

如果0)(



xf,则)(xf为减函数。

17。如果函数)(xf和)(xg都是减函数，则在公共定义域内，和函

数)()(xgxf也是减函数；如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义

域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数。

18．奇偶函数的图象特征

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奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过

来，如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；

如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数．

19。若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf;若函数)(axfy是

偶函数，则)()(axfaxf。

20.对于函数)(xfy（Rx）,)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对

称轴是函数

2

ba

x



；两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直

线

2

ba

x



对称。

21.若)()(axfxf，则函数)(xfy的图象关于点)0,

2

(

a对称；若

)()(axfxf，则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.

22．多项式函数1

10

()nn

nn

Pxaxaxa



的奇偶性

多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项）的系数全为

零.

多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为

零.

23.函数()yfx的图象的对称性

（1）函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax

(2)()faxfx。

（2)函数()yfx的图象关于直线

2

ab

x



对称()()famxfbmx

()()fabmxfmx。

24.两个函数图象的对称性

（1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x（即y轴）对称.

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(2）函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线

2

ab

x

m



对称.

（3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数

baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，

得到曲线0),(byaxf的图象。

26．互为反函数的两个函数的关系

abfbaf)()(1。

27。若函数)(bkxfy存在反函数,则其反函数为])([

1

1bxf

k

y，并

不是)([1bkxfy，而函数)([1bkxfy是])([

1

bxf

k

y的反函数。

28。几个常见的函数方程

(1)正比例函数()fxcx，()()(),(1)fxyfxfyfc。

(2）指数函数()xfxa,()()(),(1)0fxyfxfyfa.

（3）对数函数()log

a

fxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa.

（4）幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf。

（5)余弦函数()cosfxx，正弦函数()singxx,()()()()()fxyfxfygxgy，

0

()

(0)1,lim1

x

gx

f

x

.

29。几个函数方程的周期(约定a〉0)

(1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；

（2）0)()(axfxf,

或)0)((

)(

1

)(xf

xf

axf，

或1

()

()

fxa

fx



(()0)fx，

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或

2

1

()()(),(()0,1)

2

fxfxfxafx，则)(xf的周期T=2a;

(3))0)((

)(

1

1)(



xf

axf

xf，则)(xf的周期T=3a;

（4）

)()(1

)()(

)(

21

21

21xfxf

xfxf

xxf





且

1212

()1(()()1,0||2)fafxfxxxa，则)(xf的

周期T=4a；

(5）()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa

()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa，则)(xf的周期T=5a；

（6))()()(axfxfaxf，则)(xf的周期T=6a。

30.分数指数幂

（1）1m

n

n

m

a

a

（0,,amnN,且1n)。

（2)1m

n

m

n

a

a

（0,,amnN，且1n）。

31．根式的性质

（1)()n

naa。

(2）当n为奇数时，n

naa；

当n为偶数时，,0

||

,0

n

n

aa

aa

aa













.

32．有理指数幂的运算性质

（1）(0,,)rsrsaaaarsQ.

（2）()(0,,)rsrsaaarsQ.

（3）()(0,0,)rrrabababrQ。

注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上

述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。

33。指数式与对数式的互化式

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logb

a

NbaN(0,1,0)aaN.

34.对数的换底公式

log

log

log

m

a

m

N

N

a

(

0a

,且

1a

，

0m

,且

1m

，

0N

）。

推论loglogm

n

a

a

n

bb

m

（

0a

,且

1a

，

,0mn

,且

1m

，

1n

，

0N

)。

35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1,M＞0，N＞0，则

（1）log()loglog

aaa

MNMN；

（2）logloglog

aaa

M

MN

N

；

（3）loglog()n

aa

MnMnR。

36.设函数)0)((log)(2acbxaxxf

m,记acb42.若)(xf的定义域为R,

则0a,且0;若)(xf的值域为R，则0a,且0。对于0a的情形,

需要单独检验。

37.对数换底不等式及其推广

若0a

，

0b

，

0x

，1

x

a



,则函数log()

ax

ybx

（1)当ab

时,在1

(0,)

a

和1

(,)

a



上log()

ax

ybx为增函数.

,（2)当ab

时，在1

(0,)

a

和1

(,)

a



上log()

ax

ybx为减函数.

推论:设1nm

，

0p

,

0a

，且

1a

，则

（1）log()log

mpm

npn



。

(2)2logloglog

2aaa

mn

mn



。

38。平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的

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总产值y，有(1)xyNp。

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

1

1

,1

,2n

nn

sn

a

ssn















（数列{}

n

a的前n项的和为

12nn

saaa）.

40。等差数列的通项公式

*

11

(1)()

n

aanddnadnN；

其前n项和公式为

1

()

2

n

n

naa

s





1

(1)

2

nn

nad





2

1

1

()

22

d

nadn。

41。等比数列的通项公式

1*

1

1

()nn

n

a

aaqqnN

q

;

其前n项的和公式为

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

aq

q

s

q

naq





















或1

1

,1

1

,1

n

n

aaq

q

q

s

naq





















。

42。等比差数列

n

a:

11

,(0)

nn

aqadabq



的通项公式为

1

(1),1

()

,1

1

nn

n

bndq

a

bqdbqd

q

q























；

其前n项和公式为

(1),(1)

1

(),(1)

111

n

n

nbnndq

s

dqd

bnq

qqq





















。

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43.分期付款（按揭贷款）

每次还款(1)

(1)1

n

n

abb

x

b







元(贷款a元，n次还清，每期利率为b).

44．常见三角不等式

（1）若(0,)

2

x



，则sintanxxx.

（2）若(0,)

2

x



,则1sincos2xx。

（3）|sin||cos|1xx.

45。同角三角函数的基本关系式

22sincos1，tan=





cos

sin,tan1cot。

46。正弦、余弦的诱导公式

2

1

2

(1)sin,

sin()

2

(1)s,

n

n

n

co



























2

1

2

(1)s,

s()

2

(1)sin,

n

n

co

n

co



























47.和角与差角公式

sin()sincoscossin；

cos()coscossinsin；

tantan

tan()

1tantan









.

22sin()sin()sinsin（平方正弦公式)；

22cos()cos()cossin。

sincosab=22sin()ab（辅助角所在象限由点(,)ab的象限决

定，tan

b

a

）.

48。二倍角公式

(n为偶数)

(n为奇数)

(n为偶数)

(n为奇数)

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sin2sincos。

2222cos2cossin2cos112sin。

2

2tan

tan2

1tan











.

49。三倍角公式

3sin33sin4sin4sinsin()sin()

33



.

3cos34cos3cos4coscos()cos()

33



.

3

2

3tantan

tan3tantan()tan()

13tan33













.

50。三角函数的周期公式

函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，x∈R（A,ω,为常数,

且A≠0,ω＞0）的周期2

T





；函数tan()yx，,

2

xkkZ



（A，

ω，为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T





。

51。正弦定理

2

sinsinsin

abc

R

ABC

.

52。余弦定理

2222cosabcbcA;

2222cosbcacaB;

2222coscababC。

53.面积定理

(1）111

222abc

Sahbhch(

abc

hhh、、分别表示a、b、c边上的高）。

(2）111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB。

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（3)22

1

(||||)()

2OAB

SOAOBOAOB



.

54。三角形内角和定理

在△ABC中，有()ABCCAB

222

CAB

222()CAB.

55.简单的三角方程的通解

sin(1)arcsin(,||1)kxaxkakZa.

s2arccos(,||1)coxaxkakZa。

tanarctan(,)xaxkakZaR.

特别地,有

sinsin(1)()kkkZ.

scos2()cokkZ.

tantan()kkZ.

56。最简单的三角不等式及其解集

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ.

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ。

cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ.

cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ.

tan()(arctan,),

2

xaaRxkakkZ



。

tan()(,arctan),

2

xaaRxkkakZ



.

57.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ（μa）=(λμ)a；

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（2）第一分配律：（λ+μ）a=λa+μa；

（3）第二分配律：λ（a+b）=λa+λb。

58.向量的数量积的运算律：

(1)a·b=b·a(交换律）；

（2)（a)·b=（a·b）=a·b=a·（b）；

(3）(a+b）·c=a·c+b·c.

59。平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平

面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

60．向量平行的坐标表示

设a=11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b0，则ab（b0）

1221

0xyxy.

53。a与b的数量积(或内积）

a·b=｜a||b｜cosθ．

61.a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a｜与b在a的方向上的投影｜b｜

cosθ的乘积．

62.平面向量的坐标运算

(1）设a=11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a+b=

1212

(,)xxyy。

（2）设a=11

(,)xy，b=

22

(,)xy，则a—b=

1212

(,)xxyy。

(3）设A11

(,)xy，B

22

(,)xy，则

2121

(,)ABOBOAxxyy。

（4）设a=(,),xyR，则a=(,)xy.

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(5）设a=11

(,)xy,b=

22

(,)xy,则a·b=

1212

()xxyy。

63。两向量的夹角公式

1212

2222

1122

cos

xxyy

xyxy









（a=11

(,)xy,b=

22

(,)xy).

64。平面两点间的距离公式

,AB

d=||ABABAB

22

2121

()()xxyy(A

11

(,)xy，B

22

(,)xy）.

65。向量的平行与垂直

设a=11

(,)xy，b=

22

(,)xy，且b0，则

A||bb=λa1221

0xyxy.

ab(a0）a·b=01212

0xxyy.

66。线段的定比分公式

设111

(,)Pxy,

222

(,)Pxy，(,)Pxy是线段

12

PP的分点,是实数，且

12

PPPP，则

12

12

1

1

xx

x

yy

y



































12

1

OPOP

OP













12

(1)OPtOPtOP(1

1

t







）。

67。三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为11

A(x,y)、

22

B(x,y)、

33

C(x,y)，则△ABC

的重心的坐标是123123(,)

33

xxxyyy

G

。

68.点的平移公式

''

''

xxhxxh

yykyyk

















''OPOPPP。

注：图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形'F上的对应点为

湖南环球教育

'''(,)Pxy,且'PP的坐标为(,)hk.

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点(,)Pxy按向量a=(,)hk平移后得到点'(,)Pxhyk.

(2）函数()yfx的图象C按向量a=(,)hk平移后得到图象'C，则'C的

函数解析式为()yfxhk。

(3）图象'C按向量a=(,)hk平移后得到图象C,若C的解析式()yfx,

则'C的函数解析式为()yfxhk.

(4）曲线C：(,)0fxy按向量a=(,)hk平移后得到图象'C，则'C的方

程为(,)0fxhyk.

（5）向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然为

m=(,)xy。

70。三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则

（1)O为ABC的外心222OAOBOC。

（2）O为ABC的重心0OAOBOC.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.

（5)O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

(1）,abR222abab（当且仅当a＝b时取“=”号)．

(2）,abR

2

ab

ab



(当且仅当a＝b时取“=”号）．

(3）3333(0,0,0).abcabcabc

湖南环球教育

(4）柯西不等式

22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR

（5）bababa。

72。极值定理

已知yx,都是正数，则有

（1）若积xy是定值p,则当yx时和yx有最小值p2；

（2)若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值2

4

1

s。

推广已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22

（1)若积xy是定值，则当||yx最大时,||yx最大；

当||yx最小时，||yx最小.

(2)若和||yx是定值,则当||yx最大时，||xy最小；

当||yx最小时,||xy最大。

73.一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果a与

2axbxc同号，则其解集在两根之外;如果a与2axbxc异号，则其

解集在两根之间。简言之:同号两根之外，异号两根之间。

121212

()()0()xxxxxxxxx；

121212

,()()0()xxxxxxxxxx或。

74。含有绝对值的不等式

当a〉0时，有

22xaxaaxa.

22xaxaxa或xa。

75。无理不等式

湖南环球教育

（1）()0

()()

()0

()()

fx

fxgx

gx

fxgx



















.

(2）

2

()0

()0

()()

()0

()0

()[()]

fx

fx

fxgx

gx

gx

fxgx



























或。

（3）

2

()0

()()

()0

()[()]

fx

fxgx

gx

fxgx



















。

76。指数不等式与对数不等式

（1)当1a时，

()()()()fxgxaafxgx；

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

















。

（2）当01a时，

()()()()fxgxaafxgx；

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

















77。斜率公式

21

21

yy

k

xx







（111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy).

78.直线的五种方程

（1）点斜式11

()yykxx（直线l过点

111

(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式ykxb（b为直线l在y轴上的截距）.

（3）两点式11

2121

yyxx

yyxx







（12

yy）(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy（

12

xx）).

（4)截距式1

xy

ab

（ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、）

（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).

湖南环球教育

79.两条直线的平行和垂直

(1)若111

:lykxb，

222

:lykxb

①

121212

||,llkkbb

;

②

1212

1llkk

.

（2）若1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,且A

1、A2、B1、B2都不为

零，

①111

12

222

||

ABC

ll

ABC



；

②

121212

0llAABB

；

80。夹角公式

（1）21

21

tan||

1

kk

kk









。

(111

:lykxb，

222

:lykxb,

12

1kk

）

（2）1221

1212

tan||

ABAB

AABB









。

(1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC，

1212

0AABB

)。

直线12

ll时，直线l

1与l2的夹角是

2

。

81。1

l到

2

l的角公式

(1）21

21

tan

1

kk

kk









。

(111

:lykxb,

222

:lykxb,

12

1kk

)

(2)1221

1212

tan

ABAB

AABB









.

（1111

:0lAxByC，

2222

:0lAxByC，

1212

0AABB

).

直线12

ll时，直线l

1到l2的角是

2

.

82．四种常用直线系方程

湖南环球教育

（1)定点直线系方程：经过定点000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()yykxx（除直线

0

xx），其中k是待定的系数;经过定点

000

(,)Pxy

的直线系方程为00

()()0AxxByy，其中,AB是待定的系数．

（2）共点直线系方程：经过两直线1111

:0lAxByC，

2222

:0lAxByC

的交点的直线系方程为111222

()()0AxByCAxByC(除

2

l)，其中λ是

待定的系数．

（3）平行直线系方程:直线ykxb中当斜率k一定而b变动

时，表示平行直线系方程．与直线0AxByC平行的直线系方

程是0AxBy（0)，λ是参变量．

（4）垂直直线系方程：与直线0AxByC（A≠0，B≠0）垂

直的直线系方程是0BxAy，λ是参变量．

83。点到直线的距离

00

22

||AxByC

d

AB







（点00

(,)Pxy，直线l：0AxByC）。

84。0AxByC或0所表示的平面区域

设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：

若0B，当B与AxByC同号时,表示直线l的上方的区域；当B与

AxByC异号时,表示直线l的下方的区域。简言之，同号在上，

异号在下。

若0B,当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与

AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右,

异号在左。

85。111222

()()0AxByCAxByC或0所表示的平面区域

湖南环球教育

设曲线111222

:()()0CAxByCAxByC（

1212

0AABB）,则

111222

()()0AxByCAxByC或0所表示的平面区域是：

111222

()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分；

111222

()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分。

86。圆的四种方程

（1）圆的标准方程222()()xaybr.

(2）圆的一般方程220xyDxEyF（224DEF＞0）.

（3）圆的参数方程cos

sin

xar

ybr















。

（4）圆的直径式方程1212

()()()()0xxxxyyyy（圆的直径的端点

是11

(,)Axy、

22

(,)Bxy）.

87。圆系方程

(1)过点11

(,)Axy，

22

(,)Bxy的圆系方程是

1212112112

()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx

1212

()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线AB的方

程，λ是待定的系数．

（2)过直线l:0AxByC与圆C:220xyDxEyF的交点的圆系方

程是22()0xyDxEyFAxByC，λ是待定的系数．

（3）过圆1

C：22

111

0xyDxEyF与圆

2

C：22

222

0xyDxEyF的交

点的圆系方程是2222

111222

()0xyDxEyFxyDxEyF，λ是待定的

系数．

88。点与圆的位置关系

点00

(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

湖南环球教育

若22

00

()()daxby，则

dr点P在圆外；dr点P在圆上;dr点P在圆内。

89.直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

0相离rd；

0相切rd；

0相交rd。

其中

22BA

CBbAa

d





.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2，dOO

21

条公切线外离4

21

rrd;

条公切线外切3

21

rrd；

条公切线相交2

2121

rrdrr；

条公切线内切1

21

rrd;

无公切线内含

21

0rrd。

91。圆的切线方程

（1）已知圆220xyDxEyF．

①若已知切点00

(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是

00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF



。

当00

(,)xy圆外时,00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF



表示过两个切点的

切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为00

()yykxx，再利用相切条件

湖南环球教育

求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，

必有两条切线．

（2）已知圆222xyr．

①过圆上的000

(,)Pxy点的切线方程为2

00

xxyyr;

②斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.

92.椭圆22

22

1(0)

xy

ab

ab

的参数方程是cos

sin

xa

yb















。

93。椭圆22

22

1(0)

xy

ab

ab

焦半径公式

)(

2

1c

a

xePF,)(

2

2

x

c

a

ePF。

94．椭圆的的内外部

（1）点00

(,)Pxy在椭圆22

22

1(0)

xy

ab

ab

的内部22

00

22

1

xy

ab

。

（2）点00

(,)Pxy在椭圆22

22

1(0)

xy

ab

ab

的外部22

00

22

1

xy

ab

。

95。椭圆的切线方程

（1）椭圆22

22

1(0)

xy

ab

ab

上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

。

（2）过椭圆22

22

1(0)

xy

ab

ab

外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点

弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

（3）椭圆22

22

1(0)

xy

ab

ab

与直线0AxByC相切的条件是

22222AaBbc。

96。双曲线22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的焦半径公式

2

1

|()|

a

PFex

c

，2

2

|()|

a

PFex

c

。

湖南环球教育

97。双曲线的内外部

(1）点00

(,)Pxy在双曲线22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的内部22

00

22

1

xy

ab

.

（2）点00

(,)Pxy在双曲线22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的外部22

00

22

1

xy

ab

。

98。双曲线的方程与渐近线方程的关系

（1）若双曲线方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

渐近线方程:22

22

0

xy

ab



x

a

b

y。

(2）若渐近线方程为x

a

b

y

0

b

y

a

x

双曲线可设为



2

2

2

2

b

y

a

x。

(3）若双曲线与1

2

2

2

2



b

y

a

x有公共渐近线，可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

（0，焦点在x轴上，0,焦点在y轴上)。

99.双曲线的切线方程

(1)双曲线22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

（2）过双曲线22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的

切点弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

（3)双曲线22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

与直线0AxByC相切的条件是

22222AaBbc.

100.抛物线pxy22的焦半径公式

抛物线22(0)ypxp焦半径

02

p

CFx。

过焦点弦长pxx

p

x

p

xCD

212122

。

湖南环球教育

101。抛物线pxy22上的动点可设为P),

2

(

2



y

p

y或或)2,2(2ptptPP(,)xy，

其中22ypx。

102。二次函数2

22

4

()

24

bacb

yaxbxcax

aa





(0)a的图象是抛物线：

(1）顶点坐标为24

(,)

24

bacb

aa



；(2)焦点的坐标为241

(,)

24

bacb

aa



；（3）

准线方程是241

4

acb

y

a



。

103。抛物线的内外部

(1）点00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.

点00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp。

（2）点00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp。

点00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp。

（3)点00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp。

点00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.

（4）点00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp。

点00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.

104.抛物线的切线方程

（1）抛物线pxy22上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是

00

()yypxx.

（2）过抛物线pxy22外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方

程是00

()yypxx.

（3）抛物线22(0)ypxp与直线0AxByC相切的条件是

22pBAC.

105.两个常见的曲线系方程

（1）过曲线1

(,)0fxy，

2

(,)0fxy的交点的曲线系方程是

湖南环球教育

12

(,)(,)0fxyfxy（为参数）。

（2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22

22

1

xy

akbk





,其中22max{,}kab.

当22min{,}kab时，表示椭圆;当2222min{,}max{,}abkab时，表示双曲

线。

106。直线与圆锥曲线相交的弦长公式22

1212

()()ABxxyy或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco（弦端点

A),(),,(

2211

yxByx，由方程











0)y,x(F

bkxy消去y得到02cbxax,0,为直

线AB的倾斜角，k为直线的斜率)。

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线(,)0Fxy关于点00

(,)Pxy成中心对称的曲线是

00

(2-,2)0Fxxyy。

(2）曲线(,)0Fxy关于直线0AxByC成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB







。

108。“四线"一方程

对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF,用

0

xx代2x,用

0

yy代2y,

用00

2

xyxy代xy，用0

2

xx代x,用0

2

yy代y即得方程

0000

00

0

222

xyxyxxyy

AxxBCyyDEF



,曲线的切线，切点弦，中点

弦，弦中点方程均是此方程得到。

109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

湖南环球教育

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行。

110．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

(2）转化为线线平行;

(3）转化为面面平行。

111．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

(2)转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直。

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

(1）转化为相交垂直；

(2)转化为线面垂直；

（3)转化为线与另一线的射影垂直；

(4）转化为线与形成射影的斜线垂直。

113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直;

（2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直。

湖南环球教育

114．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1)转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

115。空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

（1）加法交换律:a＋b=b＋a．

（2）加法结合律：（a＋b）＋c=a＋（b＋c)．

（3）数乘分配律：λ（a＋b）=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向

量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向

量。

117。共线向量定理

对空间任意两个向量a、b（b≠0），a∥b存在实数λ使a=λ

b．

PAB、、三点共线||APABAPtAB(1)OPtOAtOB。

||ABCDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线.

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,xy，使

paxby．

推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,xy,使

MPxMAyMB,

或对空间任一定点O，有序实数对,xy,使OPOMxMAyMB。

湖南环球教育

119。对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足

OPxOAyOBzOC(xyzk)，则当1k时,对于空间任一点O，总有

P、A、B、C四点共面;当1k时,若O平面ABC,则P、A、B、C

四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

CAB、、、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

(1)ODxyOAxOByOC（O平面ABC）。

120。空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p，存在一

个唯一的有序实数组x，y,z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，

都存在唯一的三个有序实数x，y,z，使OPxOAyOBzOC。

121。射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。作A点在

l上的射影'A，作B点在l上的射影'B，则

''||cosABAB〈a，e〉=a·e

122。向量的直角坐标运算

设a＝123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb则

(1）a＋b＝112233

(,,)ababab;

(2)a－b＝112233

(,,)ababab；

(3）λa＝123

(,,)aaa(λ∈R）；

（4）a·b＝112233

ababab；

123。设A111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则

湖南环球教育

ABOBOA=

212121

(,,)xxyyzz。

124．空间的线线平行或垂直

设

111

(,,)axyz，

222

(,,)bxyz,则

ab(0)abb

12

12

12

xx

yy

zz























；

ab0ab

121212

0xxyyzz.

125.夹角公式

设a＝123

(,,)aaa,b＝

123

(,,)bbb,则

cos〈a，b>=112233

222222

123123

ababab

aaabbb





。

推论2222222

3

()()()abababaaabbb,此即三维柯西不等式。

126.四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中，AC与BD所成的角为,则

2222|()()|

cos

2

ABCDBCDA

ACBD









.

127．异面直线所成角

cos|cos,|ab

=121212

222222

111222

||

||

||||

xxyyzz

ab

ab

xyzxyz











（其中（090）为异面直线ab,所成角，,ab分别表示异面直

线ab,的方向向量）

128。直线AB与平面所成角

sin

||||

ABm

arc

ABm





（m为平面的法向量）。

129。若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边

湖南环球教育

AC,BC与平面成的角分别是

1

、

2

,AB、为ABC的两个内角，则

22222

12

sinsin(sinsin)sinAB.

特别地,当90ACB时，有

222

12

sinsinsin。

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角，另两边AC，

BC与平面成的角分别是

1

、

2

，''AB、为ABO的两个内角，则

222'2'2

12

tantan(sinsin)tanAB。

特别地，当90AOB时，有

222

12

sinsinsin。

131.二面角l的平面角

cos

||||

mn

arc

mn





或cos

||||

mn

arc

mn





（m，n为平面,的法向量）。

132。三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与

AB所成的角为1

,AB与AC所成的角为

2

，AO与AC所成的角

为．则12

coscoscos.

133。三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所

成的角是1

，

2

,与二面角的棱所成的角是θ，则有

2222

1212

sinsinsinsin2sinsincos；

1212

||180()（当且仅当90时等号成立)。

134。空间两点间的距离公式

若A111

(,,)xyz,B

222

(,,)xyz,则

湖南环球教育

,AB

d=||ABABAB222

212121

()()()xxyyzz.

135。点Q到直线l距离

22

1

(||||)()

||

habab

a

(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量

b=PQ)。

136。异面直线间的距离

||

||

CDn

d

n



（

12

,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是

12

,ll上

任一点，d为12

,ll间的距离）.

137.点B到平面的距离

||

||

ABn

d

n



（n为平面的法向量,AB是经过面的一条斜线，A).

138。异面直线上两点距离公式

2222cosdhmnmn。

222'2cos,dhmnmnEAAF.

2222cosdhmnmn('EAAF)。

（两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段'AA的长度为h。

在直线a、b上分别取两点E、F,'AEm,AFn，EFd)。

139。三个向量和的平方公式

222

2()222abcabcabbcca

2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca

140。长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分

别为123

lll、、，夹角分别为

123

、、，则有

2222

123

llll222

123

coscoscos1222

123

sinsinsin2。

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）。

湖南环球教育

141。面积射影定理

'

cos

S

S



。

（平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成

锐二面角的为）.

142。斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l，侧面积和体积分别是S

斜棱柱侧和V

斜棱柱,它的

直截面的周长和面积分别是1

c和

1

S，则

①1

Scl

斜棱柱侧.

②1

VSl

斜棱柱。

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相

平行.

144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相

似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平

方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相

似多边形面积的比等于对应边的比的平方）;相应小棱锥与小棱

锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145。欧拉定理(欧拉公式）

2VFE（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.

（1）E=各面多边形边数和的一半。特别地,若每个面的边数为n

的多边形,则面数F与棱数E的关系：1

2

EnF;

湖南环球教育

（2）若每个顶点引出的棱数为m,则顶点数V与棱数E的关系：

1

2

EmV。

146.球的半径是R，则

其体积3

4

3

VR，

其表面积24SR．

147.球的组合体

（1)球与长方体的组合体：

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。

（2）球与正方体的组合体：

正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直

径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的

体对角线长。

（3)球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为6

12

a,外接球的半径为6

4

a.

148．柱体、锥体的体积

1

3

VSh

柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）。

1

3

VSh

锥体(S是锥体的底面积、h是锥体的高）。

149。分类计数原理(加法原理）

12n

Nmmm.

150。分步计数原理（乘法原理）

12n

Nmmm.

湖南环球教育

151。排列数公式

m

n

A=)1()1(mnnn=

！

！

)(mn

n



。（n,m∈N*,且mn)．

注：规定1!0.

152。排列恒等式

（1）1(1)mm

nn

AnmA;

（2）

1

mm

nn

n

AA

nm





；

(3）1

1

mm

nn

AnA



;

（4）1

1

nnn

nnn

nAAA



；

（5）1

1

mmm

nnn

AAmA



。

（6）1!22!33!!(1)!1nnn.

153。组合数公式

m

n

C=m

n

m

m

A

A

=

m

mnnn









21

)1()1(=

！！

！

)(mnm

n



（n∈N＊,mN，且mn)。

154.组合数的两个性质

（1)m

n

C=mn

n

C；

(2)m

n

C+1m

n

C=m

n

C

1。

注：规定10

n

C.

155.组合恒等式

（1）1

1

mm

nn

nm

CC

m





；

（2）

1

mm

nn

n

CC

nm





；

（3）1

1

mm

nn

n

CC

m





；

（4）





n

r

r

n

C

0

=n2;

湖南环球教育

(5)1

121





r

n

r

n

r

r

r

r

r

r

CCCCC。

（6）nn

n

r

nnnn

CCCCC2210。

（7)14205312n

nnnnnn

CCCCCC。

（8）1321232nn

nnnn

nnCCCC。

（9）r

nm

r

n

r

mn

r

mn

r

m

CCCCCCC



0110。

(10）n

n

n

nnnn

CCCCC

2

2222120)()()()(。

156。排列数与组合数的关系

mm

nn

AmC！.

157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位"

①某（特)元必在某位有1

1





m

n

A种；②某(特)元不在某位有1

1





m

n

m

n

AA（补

集思想）1

1

1

1





m

nn

AA(着眼位置）1

1

1

11





m

nm

m

n

AAA（着眼元素）种。

（2)紧贴与插空(即相邻与不相邻）

①定位紧贴:)(nmkk个元在固定位的排列有km

kn

k

k

AA

种.

②浮动紧贴:n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有k

k

kn

kn

AA1

1



种。注：此类问题常用捆绑法;

③插空：两组元素分别有k、h个（1hk），把它们合在一起来

作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有k

h

h

h

AA

1种.

（3)两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列,小球必分开，问有多少种排法？

当1mn时，无解；当1mn时，有n

m

n

n

n

mC

A

A

1

1



种排法.

湖南环球教育

(4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素

分别相同的排列数为n

nm

C

。

158．分配问题

（1)(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，

各得n件,其分配方法数共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mnn

mn

CCCCCN

)!(

)!(

22





.

（2）（平均分组无归属问题）将相异的m·n个物体等分为无记号

或无顺序的m堆,其分配方法数共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mn

nm

mn

m

CCCCC

N

)!(!

)!(

!

...

22



。

（3）(非平均分组有归属问题）将相异的)

12m

P(P=n+n++n个物体分

给m个人,物件必须被分完,分别得到1

n，

2

n，…，

m

n件,且

1

n,

2

n，…，

m

n这m个数彼此不相等,则其分配方法数共有

!!...!

!!

!...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

mp

mCCCNm

m





.

（4）(非完全平均分组有归属问题）将相异的)

12m

P(P=n+n++n个物

体分给m个人,物件必须被分完，分别得到1

n,

2

n，…，

m

n件,且

1

n，

2

n，…，

m

n这m个数中分别有a、b、c、…个相等,则其分配方法

数有

!...!!

!...2

1

1

cba

mCCC

Nm

m

n

n

n

np

n

p





12

!!

!!...!(!!!...)

m

pm

nnnabc

。

(5)（非平均分组无归属问题）将相异的)

12m

P(P=n+n++n个物体分为

任意的1

n，

2

n，…,

m

n件无记号的m堆，且

1

n，

2

n，…，

m

n这m个数

彼此不相等,则其分配方法数有

!!...!

!

21m

nnn

p

N。

（6)（非完全平均分组无归属问题）将相异的)

12m

P(P=n+n++n个物

体分为任意的1

n，

2

n，…，

m

n件无记号的m堆，且

1

n，

2

n，…，

m

n这

湖南环球教育

m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有

!...)!!(!!...!

!

21

cbannn

p

N

m

。

（7）（限定分组有归属问题）将相异的p（2m

pnnn

1

+++）个物体

分给甲、乙、丙,……等m个人，物体必须被分完,如果指定甲得1

n

件，乙得2

n件，丙得

3

n件，…时，则无论

1

n，

2

n,…，

m

n等m个数是

否全相异或不全相异其分配方法数恒有

!!...!

!

...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

p

CCCNm

m



。

159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111

()![(1)]

2!3!4!!

nfnn

n

。

推广：n个元素与n个位置，其中至少有m个元素错位的不同

组合总数为

1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!

(1)()!(1)()!

mmmm

ppmm

mm

fnmnCnCnCnCn

CnpCnm





1234

1224

![1(1)(1)]

pm

pm

mmmmmm

pm

nnnnnn

CCCCCC

n

AAAAAA

。

160．不定方程2n

xxxm

1

+++的解的个数

(1）方程2n

xxxm

1

+++（,nmN）的正整数解有

1

1

m

nC



个。

(2）方程2n

xxxm

1

+++（,nmN）的非负整数解有

1

1

nm

nC



个.

(3)方程2n

xxxm

1

+++（,nmN）满足条件

i

xk(kN,21in）的

非负整数解有

1

1

(2)(1)

m

n

nk

C







个。

（4）方程2n

xxxm

1

+++（,nmN)满足条件

i

xk（kN，21in）

湖南环球教育

的正整数解有

12222321(2)

11121221(1)

nmnmnknmnknmnk

nnnnnnCCCCCCC



个。

161。二项式定理nn

n

rrnr

n

n

n

n

n

n

n

nbCbaCbaCbaCaCba222110)(;

二项展开式的通项公式

rrnr

nr

baCT





1

)210(nr，，，.

162.等可能性事件的概率

()

m

PA

n

.

163。互斥事件A，B分别发生的概率的和

P（A＋B）=P（A）＋P(B）．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P（A

1

＋A

2

＋…＋A

n

）=P(A

1

）＋P（A

2

）＋…＋P(A

n

）．

165。独立事件A，B同时发生的概率

P（A·B）=P(A）·P（B)。

166。n个独立事件同时发生的概率

P（A

1

·A

2

·…·A

n

）=P(A

1

)·P（A

2

）·…·P（A

n

)．

167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

()(1).kknk

nn

PkCPP

168。离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）0(1,2,)

i

Pi;

（2）12

1PP。

169.数学期望

1122nn

ExPxPxP

170.数学期望的性质

(1）()()EabaEb.

湖南环球教育

（2)若～(,)Bnp,则Enp。

（3）若服从几何分布，且1()(,)kPkgkpqp，则1

E

p

。

171.方差

222

1122nn

DxEpxEpxEp

172。标准差

=D。

173。方差的性质

（1)

2DabaD；

(2)若～(,)Bnp，则(1)Dnpp。

（3)若服从几何分布，且1()(,)kPkgkpqp，则

2

q

D

p

。

174.方差与期望的关系

2

2DEE。

175.正态分布密度函数





2

226

1

,,

26

x

fxex









，式中的实数μ，（〉0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差。

176.标准正态分布密度函数

2

2

1

,,

26

x

fxex



.

177。对于2(,)N，取值小于x的概率



x

Fx















。



12201

xxPxxPxxxP



21

FxFx

21

xx













。

湖南环球教育

178.回归直线方程

yabx，其中





11

2

22

11

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

xxyyxynxy

b

xxxnx

aybx































。

179.相关系数



1

22

11

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy

















1

2222

11

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

xnxyny















.

｜r｜≤1，且｜r｜越接近于1，相关程度越大；｜r｜越接近于

0，相关程度越小.

180.特殊数列的极限

（1）0||1

lim11

||11

n

n

q

qq

qq



















不存在或

。

（2）1

10

1

10

0()

lim()

()

kk

kkt

tt

n

ttk

kt

ananaa

kt

bnbnbb

kt



































不存在

.

(3）

1

1

1

lim

11

n

n

aq

a

S

qq







(S无穷等比数列1

1

naq（||1q）的和)。

181。函数的极限定理

0

lim()

xx

fxa





00

lim()lim()

xxxx

fxfxa



。

182。函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g（x),h(x)在点x0的附近满足：

（1）()()()gxfxhx；

（2）

00

lim(),lim()

xxxx

gxahxa



(常数)，

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则

0

lim()

xx

fxa



.

本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.

183。几个常用极限

（1）1

lim0

nn

,lim0n

n

a



（||1a）;

(2)

0

0

lim

xx

xx



,

0

0

11

lim

xxxx

.

184。两个重要的极限

（1)

0

sin

lim1

x

x

x

；

(2）1

lim1

x

x

e

x









(e=2.718281845…）。

185。函数极限的四则运算法则

若

0

lim()

xx

fxa



，

0

lim()

xx

gxb



,则

（1)



0

lim

xx

fxgxab









；

（2）



0

lim

xx

fxgxab









；

（3)





0

lim0

xx

fx

a

b

gxb

。

186。数列极限的四则运算法则

若lim,lim

nn

nn

aabb



,则

（1）

lim

nn

n

abab



；

(2）

lim

nn

n

abab



；

（3)

lim0n

n

n

a

a

b

bb



（4）

limlimlim

nn

nnn

cacaca



（c是常数）。

187.)(xf在0

x处的导数(或变化率或微商)

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0

00

0

00

()()

()limlim

xx

xx

fxxfx

y

fxy

xx













。

188.瞬时速度

00

()()

()limlim

tt

ssttst

st

tt













。

189。瞬时加速度

00

()()

()limlim

tt

vvttvt

avt

tt









.

190.)(xf在),(ba的导数

()

dydf

fxy

dxdx





00

()()

limlim

xx

yfxxfx

xx







。

191。函数)(xfy在点0

x处的导数的几何意义

函数)(xfy在点0

x处的导数是曲线)(xfy在))(,(

00

xfxP处的切线的斜

率)(

0

xf

，相应的切线方程是))((

000

xxxfyy



.

192。几种常见函数的导数

（1)0



C（C为常数).

（2)'1()()n

n

xnxnQ。

（3）xxcos)(sin

.

（4）xxsin)(cos

。

(5）

x

x

1

)(ln

;e

a

x

x

alog

1

)(log

.

(6）xxee



)(；aaaxxln)(

.

193.导数的运算法则

（1）'''()uvuv。

(2)'''()uvuvuv.

(3)''

'

2

()(0)

uuvuv

v

vv



。

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194。复合函数的求导法则

设函数()ux在点x处有导数''()

x

ux，函数)(ufy在点x处的对应

点U处有导数''()

u

yfu,则复合函数(())yfx在点x处有导数,且

'''

xux

yyu，或写作'''(())()()

x

fxfux。

195.常用的近似计算公式（当x充小时）

(1）xx

2

1

11；x

n

xn

1

11；

（2）(1)1()xxR;x

x





1

1

1；

(3)xex1；

（4）xxl

n

)1(；

（5)xxsin（x为弧度）；

(6）xxtan（x为弧度）；

(7)xxarctan(x为弧度）

196。判别)(

0

xf是极大（小）值的方法

当函数)(xf在点0

x处连续时，

（1)如果在0

x附近的左侧0)(



xf，右侧0)(



xf,则)(

0

xf是极大值；

(2)如果在0

x附近的左侧0)(



xf，右侧0)(



xf，则)(

0

xf是极小值.

197。复数的相等

,abicdiacbd.（,,,abcdR）

198.复数zabi的模(或绝对值)

||z=||abi=22ab.

199.复数的四则运算法则

（1)()()()()abicdiacbdi；

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(2)()()()()abicdiacbdi；

（3)()()()()abicdiacbdbcadi;

(4)

2222

()()(0)

acbdbcad

abicdiicdi

cdcd







。

200。复数的乘法的运算律

对于任何123

,,zzzC，有

交换律：1221

zzzz。

结合律：123123

()()zzzzzz.

分配律:1231213

()zzzzzzz。

201。复平面上的两点间的距离公式

22

122121

||()()dzzxxyy(

111

zxyi，

222

zxyi）。

202。向量的垂直

非零复数1

zabi，

2

zcdi对应的向量分别是

1

OZ,

2

OZ,则

12

OZOZ

12

zz的实部为零2

1

z

z

为纯虚数222

1212

||||||zzzz

222

1212

||||||zzzz

1212

||||zzzz0acbd

12

ziz（λ为非零实

数）。

203。实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程20axbxc,

①若240bac，则2

1,2

4

2

bbac

x

a



；

②若240bac，则

122

b

xx

a

;

③若240bac，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且

仅有两个共轭复数根2

2

(4)

(40)

2

bbaci

xbac

a



.

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