成人高考数学公式

第一章节公式

1、数列极限的四则运算法则

如果,lim,limByAx

n

n

n

n





那么

BAyxyx

n

n

n

n

nn

n





limlim)(limBAyxyx

n

n

n

n

nn

n





limlim)(lim

BAyxyx

n

n

n

n

nn

n

.(lim).(lim).(lim



）)0(

lim

lim

lim







B

B

A

y

x

y

x

n

n

n

n

n

n

n

推广：上面法则可以推广到有限

．．

多个数列的情况。例如，若

n

a，

n

b，

n

c有极限，则：

n

n

n

n

n

n

nnn

n

cbacba



limlimlim)(lim

特别地，如果C是常数，那么CAaCaC

n

nn

n

n





).(lim

2、函数极限的四算运则

如果,)(lim,)(limBxgAxf那么

BAxgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)(lim

BAxgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)(lim

)0)(lim(

)(lim

)(lim

)(

)(

limxgB

B

A

xg

xf

xg

xf

推论设)(lim),(lim),......(lim),(lim),(lim

321

xfxfxfxfxf

n

都存在，k为常数，n为正整数，则有：

)(lim....)(lim)(lim)](....)()([lim

2111

xfxfxfxfxfxf

nn



)(lim)]([limxfkxkfnnxfxf)](lim[)]([lim

3、无穷小量的比较：

.0lim,0lim,,且穷小是同一过程中的两个无设

);(,,0lim)1(





o记作高阶的无穷小是比就说如果

;),0(lim)2(同阶的无穷小是与就说如果





CC

;~;,1lim3





记作是等价的无穷小量与则称如果）特殊地（

.),0,0(lim)4(阶的无穷小的是就说如果kkCC

k









.,lim)5(低阶的无穷小量是比则称如果







,0时较：当常用等级无穷小量的比x

.

2

1

~cos1,~1,~)1ln(,~arctan,~tan,~arcsin,~sin2xxxexxxxxxxxxxx

e

n

exe

xx

x

n

nx

x

xx

x



)

1

1(lim)1(lim.)

1

1(lim.1

sin

lim

1

000

对数列有重要极限

第二章节公式

1.导数的定义：

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是

lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx

＝lim

Δx→0

Δf

Δx

，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)

＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx

.

2．导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx

＝f′(x0)．

3．导函数(导数)

当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即

f′(x)＝y′＝lim

Δx→0

f(x＋Δx)－f(x)

Δx

.

4．几种常见函数的导数

(1)c′＝0(c为常数)，(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Z)，(3)(ax)′＝axlna(a＞0,a1),(ex)′＝ex

(4)(lnx)′＝

1

x

，(logax)′＝

1

x

logae=

axln

1

(a＞0,a1)

(5)(sinx)′＝cosx，(6)(cosx)′＝－sinx

(7)

x

x

2cos

1

)'(tan,(8)

x

x

2sin

1

)'(cot

(9))11(

1

1

)'(arcsin

2





x

x

x,(10))11(

1

1

)'(arccos

2





x

x

x

(11)

21

1

)'(arctan

x

x



,(12)

21

1

)'cot(

x

xarc





5．函数的和、差、积、商的导数

(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′











u

v

′＝

u′v－uv′

v2

，(ku)′＝cu′(k为常数)．

(uvw)′＝u′vw＋uv′w+uvw′

微分公式：

（1）为常数）cocd()(为任意实数））（adxaxxdaa()(21

),1,0(

ln

1

)(log)3(aadx

ax

dx

a

dx

x

xd

1

)(ln

)1,0(ln)(4aaadxaadxx）（dxeedxx)(

xdxxdcos)(sin)5(xdxxdsin)(cos)6(

(7)dx

x

xd

2cos

1

)(tan,(8)dx

x

xd

2sin

1

)(cot

(9)dx

x

x

21

1

)'(arcsin



,(10)dx

x

x

21

1

)'(arccos





(11)dx

x

xd

21

1

)(arctan



,(12)dx

x

xarcd

21

1

)cot(





6．微分的四算运则

d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝vdu＋udv

)0()(

2





v

v

udvvdu

v

u

dd(ku)＝kdu(k为常数)．

洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。

）或

‘





(

)(''

)(''

lim

)('

)(

lim

)(

)(

limA

xg

xf

xg

xf

xg

xf

axaxax

7.导数的应用：

)('xf=0的点为函数)(xf的驻点，求极值；

(1)

0

xx时，0)('xf

;

时

0

xx

,

0)'(xf

,

为极大值点的极大值，为则

00

)()(xxfxf

;

(2)

0

xx时，0)('xf

;

时

0

xx

,

0)'(xf

,

为极小值点的极大值，为则

00

)()(xxfxf

;

(3)

不是极值点。不是极值，么的两端的符号相同，那在如果

000

)()('xxfxxf

;

)(''xf=0的点为函数)(xf的拐点，求凹凸区间；

为凸的（下凹）取值范围内，曲线的)(0)(''xfyxxf

为凹的（上凹）取值范围内，曲线的)(0)(''xfyxxf

第三章知识点概况

不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作

dxxf)(

，并称



为积分符号，函数

)(xf

为被

积函数，

dxxf)(

为被积表达式，x为积分变量。

CxFdxxf)()(因此

不定积分的性质：

dxxfdxxfdxfdxxf)()()(]')()[1(或

CxFxdFCxFdxxF)()()()(')2(或

dxxdxxdxxfdxxxxf)(....)()()](....)()([)3(

)0()()()4(kkdxxfkdxxkf为常数且

基本积分公式：

Cdx0)1(

)1(

1

1

)2(1



aCx

a

dxxa

aCxdx

x

ln

1

)3(

)1,0(

ln

1

)4(aaCa

a

dxax

xCedxexx)5(Cxxdxcossin)6(Cxxdxsincos)7(

Cxdx

x

tan

cos

1

)8(

2

Cxdx

x

cot

sin

1

)9(

2

Cxdx

x

arcsin

-1

1

)10(

2

Cxdx

x





arctan

1

1

)11(

2

换元积分（凑微分）法：

1.凑微分。对不定积分dxxg)(，将被积表达式g(x)dx凑成dxxxdxxg)(')]([)(

2.作变量代换。令

duufdxxxfdxxgdxxxdduxu)()(')]([)()(')(),(变换带量凑微分代入上式得：则

3.

用公式积分，，并用

)(xu

换式中的uCxFCuFduuf)]([)()(回代公式

常用的凑微分公式主要有：

)()(

1

)(1baxdbaxf

a

dxbaxf）（)()(

1

)(21baxdbaxf

ka

dxxbaxfkkkk）（

)()(2

1

)(3xdxfdx

x

xf）（)

1

()

1

(

1

)

1

(4

2x

d

x

fdx

xx

f）（

)()()(5xxxxedefdxeef）（)(ln)(ln

1

)(ln6xdxfdx

x

xf）（

)(sin)(sincos)(sin7xdxfxdxxf）（)(cos)(cossin)(cos8xdxfxdxxf）（

)(tan)(tan

cos

1

)(tan9

2

xdxfdx

x

xf）（)(cot)(cot

sin

1

)(cot10

2

xdxfdx

x

xf）（

)(arcsin)(arcsin

1

1

)(arcsin11

2

xdxfdx

x

xf



）（

)(arccos)(arccos

1

1

)(arccos12

2

xdxfdx

x

xf



）（

)(arctan)(arctan

1

1

)(arctan13

2

xdxfdx

x

xf



）（

)0)()()((ln

)(

)('

14xxddx

x

x







）（

分部积分法：udvuvvduvduuvudvudvvduuvxudvvduuvd或移项得积分得两边对)(适用于分

部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法

dxedvxPudxxPeaxax),()(1设）（axdxdvxPuaxdxxPsin),(sin)(2设）（

axdxdvxPuaxdxxPcos),(cos)(3设）（dxxPdvxuxdxxP)(,lnln)(4设）（

dxxPdvxuxdxxP)(,arcsinarcsin)(5设）（dxxPdvxuxdxxP)(,arctanarctan)(6设）（

为任意选取，其中为任意选取，其中）（vubxdxevubxdxeaxax,cos,sin7

上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常数。

一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之

和或两个分式之和，再求出不定积分。

定积分:此式子是个常数△

）（△

i

n

i

i

b

a

xf

n

dxxf)(lim)(

1

0















(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的字母无关，即应有

b

a

b

a

dttfdxxf)()(

（2）在定积分的定义中，我们假定a

b

b

a

dxxfdxxf)(-)(

如果a=b,则规定：

0)(a

a

dxxf

（3）对于定义在],[aa上的连续奇（偶）函数)(xf，有

0)(

dxxfa

a

)(xf为奇函数



aa

a

dxxfdxxf

0

)(2)()(xf为偶函数

定积分的性质：为常数））（kdxxkfdxxkf

b

a

()()(1b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([2）（

的内外点）为）（bacdxxfdxxfdxxf

b

c

c

a

b

a

,()()()(3

（单调性）则上总有）如果在区间（b

a

b

a

dxxgdxxfxgxfba)()(),()(],[4abdxb

a

15）（

)()()(],[)(6abMdxxfabmbaxfmMb

a

则有上的最大值和最小值，在区间分别是和）设（

))(()(

],[],[)(7

abfdxxf

babaxf

b

a





使得下式成立：

，上至少存在一点上连续，则在在闭区间函数）积分中值定理：如果（

定积分的计算：

一、变上限函数

设函数

xf

在区间

ba,

上连续，并且设x为

ba,

上的任一点，于是，

xf

在区间

ba,

上的定积分为

dxxfx

a

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

dttfx

a

如果上限x在区

ba,

间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在

ba,

上

定义了一个以x为自变量的函数

x

，我们把

x

称为函数

xf

在区间

ba,

上变上限函数

记为

bxadttfxx

a



推理：x

a

xfdttfx)(]')([)('

)(')]([)('])([]')([)(')(

)(

xaxafxbxbfdttfxxb

xa



定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度

0tvtv

作直线运动，那么在时间区间

ba,

上所经过的路程s为

dttvsb

a

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数

ts

，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

即

asbsdttvb

a



由导数的物理意义可知：

tvts'

即

ts

是

tv

一个原函数，因此，为了求出定积分

dttvb

a

，应先求出被积函数

tv

的原函数

ts

，再求

ts

在区间

ba,

上的增量

bsas

即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分

dxxfb

a

的一般方法：

设函数

xf

在闭区间

ba,

上连续，

xF

是

xf

的一个原函数，即

xfxF'

，则

aFbFdxxfb

a



这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成

)()()()(aFbFxFdxxfb

a

b

a



牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数

值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

定积分的换元公式：

b

a

dtttfdxxf





)(')([)(计算要领是：

)('

],[)(,)(

t

txbaxttx





有连续导数

上在且变到严格单调地从时，变到从，要求当作代换

定积分的分部积分法：

b

a

b

a

b

a

dxvuuvdxuv''

5.4.2定积分求平面图形的面积

1.直角坐标系下面积的计算

(1)由曲线)(xfy和直线0,,ybxax所

围成曲边梯形的面积

的求法前面已经介绍，此处不再叙述.

(2)求由两条曲线)(),(xgyxfy，))()((xgxf及直线

bxax,所围成平面的面积A（如图5.8所示）.

下面用微元法求面积A.

①取

x

为积分变量，],[bax.

②在区间],[ba上任取一小区间],[dxxx，该区间上小曲边梯形的面积dA可以用高)()(xgxf，底边为dx的小矩

形的面积近似代替，从而得面积元素

图5-11

)(xfy

)(xgy

y

aodxxxbx

图5.8

dxxgxfdA)]()([.

③写出积分表达式，即

b

a

dxxgxfA)]()([.

⑶求由两条曲线)(),(yxyx，))()((yy及直线dycy,所围成平

面图形（如图5.9）的面积.

这里取y为积分变量，],[dcy，

用类似(2)的方法可以推出：

d

c

dyyyA)]()([.

第四章知识点多元函数微分学

§4.1偏导数与全微分

一.主要内容：

㈠.多元函数的概念

1.二元函数的定义：

Dyxyxfz),(),(

)(fD定义域：

2.二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）

Z=ax+by+c表示一个平面；

222

yxRz

表示球心在原点、半径为R的上半个球面；

22

yxz

，表示开口向上的圆锥面；

22

yxz

，表示开口向上的旋转剖物面。

㈡.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：设z=f(x,y)满足条件：

的某个领域内有定义。在点)

0

,

0

(.1yx

可除外）（点)

0

,

0

(yx

Ayxf

yy

xx







),(

0

0

lim2、

。极限存在，且等于在则称Ayxyxfz)

0

,

0

(),(

2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件：

的某个领域内有定义。在点)

0

,

0

(1yx



)(yxo)(yxx

y

d

y+dy

y

c

)

0

,

0

(),(

0

0

lim2yxfyxf

yy

xx









处连续。在则称)

0

,

0

(),(yxyxfz

㈢.偏导数：

改变量。保持不变时，得到一个而（△在处取得改变量△

当自变量的某个邻域内有定义，在点设函数定义

0

),0

0

)

0

,

0

(),,(:

yyxx

xyxyxfz





x

yxfyxxf

x

yx

x

fx











)

0

,

0

()

0

,

0

(

0

lim)

0

,

0

(的偏导数：对

y

yxfyyxf

y

yx

y

fy











)

0

,

0

()

0

,

0

(

0

lim)

0

,

0

(的偏导数：对

的偏导数。处对在分别为函数yxyxyxfyx

y

fyx

x

f,)

0

,

0

(),()

0

,

0

(),

0

,

0

(



处的偏导数记为：内任意点在),(),(yxDyxfz

x

z

x

z

x

yxf

yx

x

f



















),(

),(

y

z

y

z

y

yxf

yx

y

f



















),(

),(

㈣.全微分：

1.定义：z=f(x,y)

),(),(yxfyyxxfz若

)(oyBxA

,

2

)(

2

)(yxoyxBA△△较高阶的无穷小量（）是比（无关，、与、其中，

则称

处的全微分是函数),(yxfzyBxA

yBxAyxdfdz),(:则

),(yxfz是

在点(x,y)处的全微分。

3.全微分与偏导数的关系

.),(),(),,(Dyxyx

y

fyx

x

f



连续，定理：若

处可微且在点则：),(),(yxyxfz

dyyx

y

fdxyx

x

fdz),(),(









㈤.复全函数的偏导数：

1.

),(),,(),,(yxvvyxuuvufz设：

),(),,(yxvyxufz

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z





























则：

y

v

v

z

y

u

u

z

y

z





























2.

)(),(),,(xvvxuuvufy设

)](),([xvxufy

㈥.隐含数的偏导数：

1.

0),,(,0),,(





z

FyxfzzyxF且设

z

F

y

F

y

z

z

F

x

F

x

z





















,则

2.

0),(,0),(





y

FxfyyxF且设

y

F

x

F

dx

dy





则

㈦.二阶偏导数：

)(

2

2

"),(

x

z

xx

z

xx

zyx

xx

f



















)(

2

2

"),(

y

z

yy

z

yy

zyx

yy

f



















dx

dv

v

y

dx

du

u

y

dx

dy















)(

2

"),(

x

z

yyx

z

xy

zyx

xy

f



















)(

2

"),(

y

z

xxy

z

yx

zyx

yx

f



















的连续函数时，为和结论：当yxyx

yx

fyx

xy

f,),(),(



),(),(yx

yx

fyx

xy

f







则：

（八）隐函数的导数和偏导数

的导数对，可以求出所确定的）对于方程xyxfyyxF

yx

x

F

y

yxF

y

)(0,(

),('

'

),('



),,(

),,(

..............

),,(

),,(

zyx

z

F

zyx

y

F

y

z

zyx

y

F

zyx

x

F

x

z





















(九).二元函数的无条件极值

1.二元函数极值定义：

某一个邻域内有定义，在设)

0

,

0

(),(yxyxz

)

0

,

0

(),(),

0

,

0

(),(yxzyxzyxzyxz或若

,)(),()

0

,

0

(值或极小的一个极大是则称yxzyxz

值点。或极小的一个极大是称)(),()

0

,

0

(yxzyx

☆极大值和极小值统称为极值，

极大值点和极小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：

)

0

,

0

()

0

,

0

(),(yxyxyxfz有极值，且在在点若

两个一阶偏导数存在，则：

0)

0

,

0

(0)

0

,

0

(







yx

y

fyx

x

f

，的点使)

0

,

0

(0)

0

,

0

()

0

,

0

(1yxyx

y

fyx

x

f









的驻点。称为)

,

(yxfz

的必要条件，定理的结论是极值存在



2

而非充分条件。

例：

1

22

xyz



















0

0

0

0

02

02

y

x

y

y

z

x

x

z

解出驻点

1)0,0(z

11

2

),0(0,0yyzyx时，当

11

2

)0,(0,0xxzyx时，当

∴驻点不一定是极值点。

3.极值的充分条件：

的某个领域内在设：函数)

0

,

0

(),(yxyxfy

为驻点，有二阶偏导数，且)

0

,

0

(yx

)

0

,

0

()

0

,

0

(

2

)

0

,

0

(yx

yy

fyx

xx

fyx

xy

fp











若：

















为极小值。时，

为极大值。时，

且当：

)

0

,

0

(0)

0

,

0

(

)

0

,

0

(0)

0

,

0

(

0

yxfyx

xx

f

yxfyx

xx

f

p

不是极值。当：)

0

,

0

(,0yxfp

不能确定。当：,0p

求二元极值的方法：

出驻点。一阶偏导数等于零，解求一阶偏导数，令两个



1

。判断驻点是否是极值点根据极值的充分条件，求出,2p



极值。若驻点是极值点，求出



3

二倍角公式：(含万能公式)

①







21

2

cossin22sin

tg

tg





②







2

2

2222

1

1

sin211cos2sincos2cos

tg

tg







③







21

2

2

tg

tg

tg



④

2

2cos1

1

sin

2

2

2

















tg

tg

⑤

2

2cos1

cos2









第五章排列与组合

（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。

排列：从n个不同元素里，任取

)1(nm

个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素

的一个排列，计算公式：

1!0,!

)!(

!

)]1()......[2)(1(



n

n

n

P

mn

n

mnnnn

m

n

P规定

组合：从n个不同元素里，任取

)1(nm

个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总

数记为

）或（

n

n

m

n

C

，计算公式：

1

0

)!(!

!

!

)]1()......[2)(1(











n

C

mnm

n

m

mnnnn

m

n

C规定

1

1

),

2

(











m

n

C

m

n

C

m

n

C

n

m

mn

n

C

m

n

C＞组合的性质：

m

m

P

m

n

P

m

n

C

m

m

P

m

n

C

m

n

P•或

第六章概率论

符号概率论集合论

样本空间全集

不可能事件空集

基本事件集合的元素

A事件子集

A的对立事件A的余集

事件A发生导致

事件B发生

A是B的子集

A=BA与B两事件相等集合A与B相等

事件A与事件B

至少有一个发生

A与B的并集

事件A与事件B同时发生A与B的交集

A-B事件A发生而事件B不发生A与B的差集

事件A与事件B互不相容A与B没有相同元素

由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表

示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个

子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。

各事件的关系运算如图示：

9.完备事件组

n个事件，如果满足下列条件：

（1）；

（2），

则称其为完备事件组。

显然任何一个事件A与其对立事件构成完备事件组。

10.事件运算的运算规则：

（1）交换律

（2）结合律

（3）分配律

（4）对偶律

率的古典定义

定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A发生的概率为

。概率的基本性质与运算法则

性质1.0≤P(A)≤1

特别地，P(Φ)=0，P(Ω)=1

性质2.若，则P(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.（加法公式）．对任意事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件A，B互不相容（互斥），则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任一事件A,有

推论3.对任意事件A，B，C，有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

条件概率、乘法公式、事件的独立性

条件概率

定义1：设有事件A，B，且P(B)>0,称

类似地，如果P(A)>0，则事件B对事件A的条件概率为

概率的乘法公式

乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有

事件的独立性

一般地说,P(A︱B)≠P(A)，即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A︱B)≠P(A)，则说明事件B的发生

在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。

定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型

在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则在

n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

一维随机变量及其概率分布

（一）随机变量

1.随机变量

定义：设Ω为样本空间，如果对每一个可能结果，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则称X为定义

在Ω上的随机变量，简记作。

2.离散型随机变量

定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称X为离散型随机变量。

（二）分布函数与概率分布

1.分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数。

分布函数F(x)有以下性质：

（2）F(x)是x的不减函数，即对任意

（4）F(x)是右连续的，即

（5）对任意实数a＜b,有P{a＜X≤b}=F(b)-F(a)

2.离散型随机变量的概率分布

则称上式为离散型随机变量X的概率分布（或概率函数或分布列）。

离散型随机变量X的概率分布也可以用下列列表形式来表示：

3.分布函数与概率分布之间的关系

若X为离散型随机变量，则。

随机变量的数字特征

1.数学期望

（1）数学期望的概念

定义：设X为离散型随机变量，其概率函数为

若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，简称期望或均值，记作EX，即

（2）数学期望的性质

①若C为常数，则E(C)=C

②若a为常数，则E(aX)=aE(X)

③若b为常数，则E(X+b)=E(X)+b

④若X,Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)

2.方差

（1）方差的概念

定义：设X为随机变量，如果存在，则称为X的方差，记作DX，即

方差的算术平方根称为均方差或标准差，

对于离散型随机变量X，如果X的概率函数为，

则X的方差为

（2）方差的性质

①若C为常数，则D(C)=0

②若a为常数，则

③若b为常数，则D(X+b)=D(X)

④