求值域的方法

求函数值域（最值）的方法大全

函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点,对于如

何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高

考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，

求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文

旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义

域.

常见函数的值域：

一次函数0ykxbk的值域为R.

二次函数20yaxbxca，当0a时的值域为

24

,

4

acb

a













，当0a时的值域

为

24

,

4

acb

a













.，

反比例函数0

k

yk

x



的值域为0yRy.

指数函数01xyaaa且的值域为0yy

.

对数函数log01

a

yxaa且的值域为R.

正，余弦函数的值域为1,1，正，余切函数的值域为R.

二、求函数值域（最值）的常用方法

1.直接观察法

适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数

例1、求函数y=

2

1

1x

的值域

解：2

2

1

11,01

1

x

x





显然函数的值域是：0,1

例2、求函数y=2－x的值域。

解：

x≥0－x≤02－x≤2

故函数的值域是：[-∞，2]

2、配方法

适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如20yaxbxca或

20Fxafxbfxca





类的函数的值域问题，均可用配方法求解.

例3、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：

当x=1时，y

min

=4

当x=-1，时

max

y=8

故函数的值域是：[4，8]

例4、求函数的值域：265yxx

解：设2650xx，则原函数可化为：y.又因为

2

265344xxx，所以

04

，故，0,2，所以，

265yxx的值域为0,2.

3、判别式法

适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为

0)()()(2yCxyBxyA的形式，再利用判别式加以判断。

例5、求函数的值域

2

2

22

1

xx

y

xx







解：210xx恒成立，函数的定义域为R.

由

2

2

22

1

xx

y

xx







得22120yxyxy。

①当20y即2y时，300,0xxR；

②当20y即2y时，xR时，方程22120yxyxy恒有实根.

221420yy15y且2y.

原函数的值域为1,5.

例6、求函数y=x+)2(xx的值域。

解：两边平方整理得：22x

-2（y+1）x+y2=0（1）

xR，△=4（y+1）2-8y≥0

解得：1-

2

≤y≤1+

2

但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x的方程：22x-2（y+1）x+y2=0在实数集R有实根，而不能确保

其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实

际范围大，故不能确定此函数的值域为[

2

1

，

2

3

]。可以采取如下方法进一步确定原函数的

值域。

0≤x≤2，y=x+)2(xx≥0，

y

min

=0，y=1+

2

代入方程（1），解得：

1

x=

2

22224

[0，2]，即当

1

x=

2

22224

时，原函数的值域为：[0，1+

2

]。

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定

义域，将扩大的部分剔除。

4、反函数法

适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出

自变量的函数类型。

例7、求函数

1

2





x

x

y

的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反

函数。

1

2





x

x

y

反解得

y

y

x





2

即

x

x

y





2

知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。

故函数的值域为：

),2()2,(y

。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

适用类型：一般用于三角函数型，即利用

]1,1[cos],1,1[sinxx

等。

例8、求函数y=

1

1





x

x

e

e

的值域。

解：由原函数式可得：xe=

1

1





y

y

xe＞0，

1

1





y

y

＞0

解得：-1＜y＜1。

故所求函数的值域为(-1,1).

例9、求函数y=

3sin

cos

x

x

的值域。

解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y

可化为：

12y

sinx（x+β）=3y

即sinx（x+β）=

1

3

2y

y

∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤

1

3

2y

y

≤1

解得：-

4

2

≤y≤

4

2

故函数的值域为[-

4

2

，

4

2

]。

6、函数单调性法

适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）

例10、求函数

)4(log2

2

1

xxy

的值域。

分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而

成，故可令：)0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0)(4)2()(2（所以xfxxf由复合

函数的单调性（同增异减）知：

),2[y

。

例11、求函数y=25xlog

3

1x（2≤x≤10）的值域

解：令y

1

=25x，

2

y=log

3

1x，则y

1

，

2

y在[2，10]上都是增函数。

所以y=y

1

+

2

y在[2，10]上是增函数。

当x=2时，y

min

=32+log

3

12

=

8

1

，

当x=10时，

max

y=52+log

3

9=33。

故所求函数的值域为：[

8

1

，33]。

例12、求函数y=

1x

-

1x

的值域。

解：原函数可化为：y=

11

2

xx

令y

1

=

1x

，

2

y=1x，显然y

1

，

2

y在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y

1

+

2

y

在[1，+∞）上也为无上界的增函数。

所以当x=1时，y=y

1

+

2

y有最小值2，原函数有最大值

2

2

=2。

显然y＞0，故原函数的值域为(0,

2

]。

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数

公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。

例13、求函数y=x+1x的值域。

解：令x-1=t，（t≥0）则x=2t+1

∵y=2t+t+1=2)

2

1

(t

+

4

3

，又t≥0，由二次函数的性质可知

当t=0时，y

min

=1，当t→0时，y→+∞。

故函数的值域为[1，+∞）。

例14、求函数y=x+2+2)1(1x

的值域

解：因1-2)1(x≥0，即2)1(x≤1

故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。

∴y=cosβ+1+B2cos1=sinβ+cosβ+1=2sin（β+∏/4）+1

∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/4

∴-

2

2

≤sin（β+∏/4）≤1

∴0≤

2

sin（β+∏/4）+1≤1+

2

。

故所求函数的值域为[0，1+

2

]。

例15、求函数y=

1224

3





xx

xx

的值域

解：原函数可变形为：y=-

2

1



21

2

x

x





2

2

1

1

x

x





可令x=tgβ，则有

21

2

x

x



=sin2β，

2

2

1

1

x

x





=cos2β

∴y=-

2

1

sin2βcos2β=-

4

1

sin4β

当β=k∏/2-∏/8时，

max

y=

4

1

。

当β=k∏/2+∏/8时，y

min

=-

4

1

而此时tgβ有意义。

故所求函数的值域为[-

4

1

，

4

1

]。

例16、求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。

解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1

令sinx+cosx=t，则sinxcosx=

2

1

（2t-1）

y=

2

1

（2t-1）+t+1=

2

1

2)1(t

由t=sinx+cosx=

2

sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2]

可得：

2

2

≤t≤

2

∴当t=2时，

max

y=

2

3

+2，当t=

2

2

时，y=

4

3

+

2

2

故所求函数的值域为[

4

3

+

2

2

，

2

3

+2]。

例17、求函数y=x+4+25x的值域

解：由5-x≥0，可得∣x∣≤5

故可令x=5cosβ，β∈[0，∏]

y=5cosβ+4+5sinβ=10sin（β+∏/4）+4

∵0≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4

当β=∏/4时，

max

y=4+10，当β=∏时，y

min

=4-

5

。

故所求函数的值域为：[4-

5

，4+

10

]。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类

题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.

例18、求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：[10，+∞）

例19、求函数y=1362xx+542xx的值域

解：原函数可变形为：y=)20()3(22x+)10()2(22x

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

y

min

=∣AB∣=)12()23(22

=43，

故所求函数的值域为[43，+∞）。

例20、求函数y=1362xx-542xx的值域

解：将函数变形为：y=)20()3(22x-)10()2(22x

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距

离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，

根据三角形两边之差小于第三边，

有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22=26

即：-

26

＜y＜

26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=

26

。

综上所述，可知函数的值域为：（-

26

，-

26

]。注：由例17，18

可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，

则要使两点A，B在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；

例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。

例21、求函数

x

x

y

cos2

sin3







的值域.

分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式

12

12

xx

yy

k







,将原函数视为定点(2,3)到动点

)sin,(cosxx

的斜率,又知动点

)sin,(cosxx

满足

单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易

得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:]

3

326

,

3

326

[



y

9、不等式法

适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：abbaabba2,222）

其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要

用到拆项、添项和两边平方等技巧。

xB

例22、求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域

解：原函数变形为：

y=（

xsin2+xcos2）+1/

xsin2+1/xcos2

=1+

xcsc2+

xc2=3+xtg2+xctg2

≥322

3xxtgctg+2=5

当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k∈z），等号成立。

故原函数的值域为：[5，+∞）。

例23、求函数y=2sinxsin2x的值域

解：y=2sinxsinxcosx=4xsin2cosx

y2

=16xsin4xcos2

=8xsin2xsin2（2-2xsin2）

≤8（xsin2+xsin2+2-xsin2）

=8[（xsin2+xsin2+2-xsin2）/3]

3

=

27

64

当且当xsin2=2-2xsin2，即当xsin2=时，等号成立。

由y2≤

27

64

，可得：-

9

38

≤y≤

9

38

故原函数的值域为：[-

9

38

，

9

38

）。

例24、当0x时，求函数

2

4

8)(

x

xxf

的最值，并指出

)(xf

取最值时

x

的值。

分析与解：因为

22

4

44

4

8)(

x

xx

x

xxf

可利用不等式33abccba即：

3

2

4

443)(

x

xxxf••

所以

12)(xf

当且仅当

2

4

4

x

x

即1x时取”=”当1x时

)(xf

取得

最小值12。

例25、双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的离心率为

1

e

，双曲线1

2

2

2

2



a

x

b

y

的离心率为

2

e

，则

21

ee

的最

小值是（）。

A

22

B4C2D

2

分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：

b

ba

a

ba

ee

2222

21









，我们知道

xyyx2所以

ab

ba

ee

22

21

2



（当且仅当

b

ba

a

ba2222





时取“=”）而

abba222故22

21

ee（当且仅当ba时取“=”）22)(

min21

ee所以。

10、导数法

设函数fx在,ab上连续，在,ab上可导，则fx在,ab上的最大值和最小值为

fx在,ab内的各极值与fa，fb中的最大值与最小值。

要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都

用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。

例26、求函数32362fxxxx,1,1x的最大值和最小值。

解:2'366fxxx,令'0fx,方程无解.

2'366fxxx23130x函数fx在1,1x上是增函数.

故当1x时,

min

112fxf，当1x时,

max

12fxf

例27、求函数

22

1

)(

2



xx

xf

的最值.

解析:函数

)(xf

是定义在一个开区间，上的可导函数,

令0

)22(

22

)('

2









xx

x

xf

得

)(xf

的唯一驻点

1x

即为最点.

1x时，

0)('xf

，函数递增,

1x

时，

0)('xf

，函数递减,

故)(xf有最大值1)1(f.

【说明】本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.

1

1)1(

1

)(

2







x

xf,等号成立条件是1x.

注：最值寻根的导数判定

若定义在一个开区间上的函数

)(xfy

有导函数

)()(xgxf



存在，那么

)(xf

是否有最

值的问题可转化为

)(xf

的导函数

)(xg

是否有最根的问题来研究：

（1）若导函数

)(xg

无根，即

0)(xg

，则

)(xf

无最值；

（2）若导函数

)(xg

有唯一的根

0

x，即0)('

0

xf，则

)(xf

有最值)(

0

xf.此时，导函数

)(xf



的根

0

x即是函数

)(xf

最根

0

x.

（3）若导函数

)(xg

有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.

11、多种方法综合运用

例28、求函数y=

3

2





x

x

的值域

解：令t=2x（t≥0），则x+3=2t+1

（1）当t＞0时，y=

12t

t

=

tt/1

1



≤

2

1

，当且仅当t=1，即x=-1时取等号

所以0＜y≤

2

1

。

（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0，

2

1

]。

注：先换元，后用不等式法。

例29、求函数y=

xx

xxxx

42

432

21

21





的值域。

解：y=

xx

xx

42

42

21

21





+

xx

xx

42

3

21



=)

1

1

(

2

22

x

x





+

x

x

21

令x=tg

2



，则)

1

1

(

2

22

x

x





=cos2，

x

x

21

=

2

1

sin，

∴y=cos2+

2

1

sin=-sin2+

2

1

sin+1

=-)

4

1

(sin

2

+

16

17

∴当sin=

4

1

时，

max

y=

16

17

。当sin=-1时，y

min

=-2。

此时tg

2



都存在，故函数的值域为：［－2，

16

17

］。

注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方

法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

学生巩固练习

1函数y=x2+

x

1

(x≤－

2

1

)的值域是()

A(－∞,－

4

7

]B［－

4

7

,+∞)C［

2

233

,+∞)D(－∞,－32

2

3

］

2函数y=x+x21的值域是()

A(－∞,1]B(－∞,－1]CRD［1,+∞)

3一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400

千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(

20

V

)2千米，那么这批物资全部运到B市，最

快需要_________小时(不计货车的车身长)

4设x

1

、x

2

为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x

1

2+x

2

2有最小值

_________

5某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成

本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－

2

1

x2(万

元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位百台)

(1)把利润表示为年产量的函数；

(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？

(3)年产量多少时，企业才不亏本？

6已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］

(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围

7某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个

工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品

每台所需工时和每台产值如下表

家电名称空调器彩电冰箱

工时

产值(千元)432

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以

千元为单位)

8在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆

锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S

1

，△ABC的内切圆面积为S

2

，记

AB

CABC

=x

(1)求函数f(x)=

2

1

S

S

的解析式并求f(x)的定义域

(2)求函数f(x)的最小值

参考答案

1解析∵m

1

=x2在(－∞,－

2

1

）上是减函数，m

2

=

x

1

在(－∞,－

2

1

）上是减函数，

∴y=x2+

x

1

在x∈(－∞,－

2

1

)上为减函数,

∴y=x2+

x

1

(x≤－

2

1

)的值域为［－

4

7

，+∞)

答案B

2解析令x21=t(t≥0),则x=

2

12t

∵y=

2

12t

+t=－

2

1

(t－1)2+1≤1

∴值域为(－∞,1

]

答案A

3解析t=

V

400

+16×(

20

V

)2/V=

V

400

+

400

16V

≥216=8

答案8

4解析由韦达定理知x

1

+x

2

=m,x

1

x

2

=

4

2m

,

∴x

1

2+x

2

2=(x

1

+x

2

)2－2x

1

x

2

=m2－

2

2m

=(m－

4

1

)2－

16

17

,

又x

1

,x

2

为实根，∴Δ≥0∴m≤－1或m≥2，

y=(m－

4

1

)2－

16

17

在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数，又抛物线y

开口向上且以m=

4

1

为对称轴故m=1时，

y

min

=

2

1

答案－1

2

1

5解(1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本

C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以

y=



































)1(25.012

)50(5.0

2

1

75.4

)5)(25.05.0()5

2

1

55(

)50)(25.05.0(

2

1

5

2

2

2

xx

xxx

xx

xxxx

(2）在0≤x≤5时，y=－

2

1

x2+475x－05,当x=－

a

b

2

=475(百台）时，y

max

=10

78125(万元），当x>5(百台）时，y＜12－025×5=1075(万元），

所以当生产475台时，利润最大

(3）要使企业不亏本，即要求

























025.012

5

05.075.4

2

1

50

2x

x

xx

x

或

解得5≥x≥475－5625.21≈01(百台）或5＜x＜48(百台）时，即企业年产量在

10台到4800台之间时，企业不亏本

6解(1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充

要条件是





























1

3

5

11

,

0)1(4)1(

01

22

2

aa

aa

aa

a

或

或

即，

∴a＜－1或a>

3

5

又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意

故a≤－1或a>为

3

5

所求

(2）依题意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域

为R，故有











0

012a

,解得1＜a≤

3

5

,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时

不合题意，∴1≤a≤

3

5

为所求

7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得

x+y+z=360①

120

4

1

3

1

2

1

zyx

②

x>0,y>0,z≥60③

假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S

的最大值，由①②消去z,得

y=360－3x④

将④代入①得x+(360－3x)+z=360,∴z=2x⑤

∵z≥60,∴x≥30⑥

再将④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2·2x,即S=－x+1080

由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为

S=－30+1080=1050(千元）

得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60

∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为

1050千元

8解(1）如图所示设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=

c

ab

,

∴S

1

=πah+πbh=

,)

2

(),(2

2

cba

Sba

c

ab





,

∴f(x)=

2

2

1

)(

)(4

cbac

baab

S

S





①

a

b

C

B

c

A

又

































)1(

2

2

2

222

x

c

ab

cxba

cba

x

c

ba

代入①消c，得f(x)=

1

)(22





x

xx

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜

2



),则

x=

c

ba

=sinA+cosA=2sin(A+

4



)∴1＜x≤2

(2)f(x)=]

1

2

)1[(2

1

)(22









x

x

x

xx

+6,

设t=x－1,则t∈(0,2－1),y=2(t+

t

2

)+6

在(0，2－1]上是减函数，

∴当x=(2－1)+1=2时，f(x)的最小值为62+8