2012年高考数学试题

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

一、选择题

（1）、复数

13

1

i

i





=

A.2B.2C.12D.12iiii

【考点】复数的计算

【难度】容易

【答案】

C

【解析】

13(13)(1)24

12

1(1)(1)2

iiii

i

iii







.

【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其

中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结

讲解。

（2）、已知集合A＝{1.3.

m

}，B＝{1，m},AUB＝A,则m=

A.0或3B.0或3C.1或3D.1或3

【考点】集合

【难度】容易

【答案】B

【解析】

(1,3,),(1,)

30,1()3

ABABAAmBm

mAmmmmmm



或舍去

Q

.

【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第

一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提

高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。

（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为

A.

2

16

x

+

2

12

y

=1B.

2

12

x

+

2

8

y

=1

C.

2

8

x

+

2

4

y

=1D.

2

12

x

+

2

4

y

=1

【考点】椭圆的基本方程

【难度】容易

【答案】C

【解析】椭圆的一条准线为

x=

﹣

4,

∴2a=4c

且焦点在

x

轴上，

∵2c4

∴

c

2

，

a

22∴椭圆的方程为

22

=1

84

xy



【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。在高二数学（理）强化提高班，

第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。在高考精品班数学（文）

强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。

（4）已知正四棱柱ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，AB=2，CC

1

=22E为CC

1

的中点，则直线AC

1

与平面BED

的距离为

A.2B.3C.2D.1

【考点】立体几何

【难度】容易

【答案】C

【解析】因为底面的边长为

2

，高为22且连接

AC,BD,

得到了交点为

O,

连接

EO,EO

∥

AC,

则点

1

C

到平面

BDE

的距离等于

C

到平面

BDE

的距离，过

C

作

CH

⊥

OE,

则：

CH

即为所求在三角形

OCE

中，利用等面积

法，可得

CH=2.

【点评】本题考查立体几何中直线与平面间距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《立

体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解，其中第

11讲中的例4与此题几乎一致。

（5）已知等差数列

{}

n

a

的前n项和为

n

S

，

55

5,15aS

，则数列

1

1

}

nnaa

{的前100项和为

A.

100

101

B.

99

101

C.

99

100

D.

101

100

【考点】数列

【难度】中等

【答案】

A

【解析】因为已知等差数列

{na

}

中，

5

a

=5

，51

5

()5

15

2

aa

S





∴

1

a

=1

∴

d=1

1

1111

=

(1)(1)n

nn

an

aannnn





∴∴

100

111111100

=(1-)(-)...()1

2231

S∴.

【点评】本题考查数列的前n项和求解方法。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有

详细讲解，其中第04讲中，例6属于完全相同类型的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数

列相关知识的总结讲解。

（6）△ABC中，AB边的高为CD，若

=,=,.0,CBaCAbab

uurruurrrr

1,2ab

rr

则AD

uuur

=

11223344

A.B.C.D.

33335555

abababab

rrrrrrrr

【考点】向量

【难度】容易

【答案】

D

【解析】因为a

r

b

r

=0

∴∠

ACB=90

°∴

AB=5,CD=

25

5

∴

BD=

5

5

,AD=

45

5

∴

AD:BD=4:1

144444

555555

CDCACBADCDCACACBba

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrr

∴

【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章《平面向量》有详细

讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对向量相关知

识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=

3

3

，则cos2α=

A.

5

3

B.

5

9

C.

5

9

D.

5

3

【考点】三角函数

【难度】容易

【答案】A

【解析】∵

sin



+cos



=

3

3

.

两边平方，得到

1+sin2=

1

3

sin2=

2

3



∴



是第二象限角，因此

sin



＞

0

，

cos



＜

0

∴

-sin



+cos



=2

15

(sincos)

3



cos2



=(--sin



+cos



)(sin



+cos



)=

5

3

.

【点评】本题考查三角函数的计算及二倍角公式，注意各个象限内三角函数值的符号。在高一数学强化提

高班上学期课程讲座2，第六章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三

角函数相关知识的总结讲解。

（8）已知F

1

、F

2

为双曲线C：222xy－的左、右焦点，点P在C上，|PF

1

|=|2PF

2

|，则cos∠F

1

PF

2

=

A.

1

4

B.

3

5

C.

3

4

D.

4

5

【考点】双曲线及解三角形

【难度】中等

【答案】

C

【解析】由题意可知，

a=2=b

∴

c=2

设

1

PF=2X,

2

PF=X

∴

1

PF-

2

PF=22x∴

1

PF=42，

2

PF=22，

12

FF=4

利用余弦定理则

cos

∠

12

FPF

=

222(42)2243

=

4

22242





（）

.

【点评】本题考查在双曲线中利用余弦定理求解三角形问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第

三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，其中第06讲中例4有相同类型题目的讲解。在高考精品班数学（理）

强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。

（9）已知x=lnπ，y=log

5

2，

1

2z=e，则

A.x＜y＜zB.z＜x＜yC.z＜y＜xD.y＜z＜x

【考点】对数函数

【难度】中等

【答案】D

【解析】∵

ln



＞

1

∴

2

5

5

2

1

log

log



∴2

5

log

＞

2

，

∴

z=

1

2

1

e

e

∴e＜

2

∴

y

＜

z

＜

x.

【点评】本题考查对数函数的相关性质，即单调性。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第四章《初

等函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对指数函数、对数函数相关知识的总结讲

解，其中第02讲中有相同类型题目的讲解。

(10)已知函数33yxxc－的图像与x恰有两个公共点，则c＝

A.﹣2或2B.﹣9或3C.﹣1或1D.﹣3或1

【考点】导数的应用

【难度】中等

【答案】A

【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，说明函数的极大值或极小值为零即可。

【点评】本题考查利用导数判断函数单调性，进而判断函数与坐标轴交点。在高二数学（理）强化提高班

上学期，第一章《导数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对导数相关知识的总结讲

解，同时还包含很多导数与数列、与圆锥曲线相结合的题目。

（11）将字母,,,,,aabbcc排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排

列方法共有

A.12种B.18种C.24种D.36种

【考点】排列

【难度】中等

【答案】A

【解析】本题考查排列组合的运用，利用分布计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的

数为2种，接着填写第二行第一列的数，有2种，所以一共有3×2×2=12种。

【点评】本题考查排列的定义及计算方法。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第九章《排列、组合、

二项式》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、排列、组合相关知识的总结讲解，

同时包含概率与立体几何相结合的综合题目。

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝

7

3

.动点P从E出发沿直线

向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的

边碰撞的次数为

A.16B.14C.12D.10

【考点】轨迹问题

【难度】较难

【答案】B

【解析】结合已知中的点E，F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用

平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可。

【点评】本题考查在空间几何体中点的轨迹问题。在高二数学（理）强化提高班上学期，第七章《空间向

量与立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中均有对轨迹问题相关知

识的总结讲解，同时还包含很多轨迹问题的总结性题目。

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后

贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作

．．．．．

答无效

．．．

。

3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

（13）若x，y满足约束条件

-10,

-30,

3-30,

xy

xy

xy

















则31zx的最小值为_________.

【考点】线性规划

【难度】容易

【答案】－1

【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（0,1）时最小为－1。

【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第五章《不等式》有详细讲

解，其中第06讲，是线性规划的专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班

中有对线性规划相关知识的总结讲解。

（14）当函数

sin3cos(02)yxxx ＜

取得最大值时，x=___________.

【考点】三角函数

【难度】容易

【答案】

5

6



【解析】因为sin3cos2sin()

3

yxxx



－

5

[0,2][]

33,3

5

,

326

xx

xx











－－，

当－，即

Q

函数值最大为2.

【点评】本题考查三角函数变换。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第五章《三角函数》有详细讲

解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。

（15）若

1

()nx

x

的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中

2

1

x

的系数为_________.

【考点】二项式定理

【难度】中等

【答案】56

【解析】268

1

,8()

nn

CCnx

x

Q 展开式的通项公式为：

8-2

18

5

8

,8225

56

rr

r

TCxrr

C







令－－，得到＝

即为所求.

【点评】本题考二项式定理的公式。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第九章《排列、组合、二项

式定理》有详细讲解，其中第03讲，例2，属于完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中

有对二项式定理、排列、组合相关知识的总结讲解。

（16）三菱柱ABC-A

1

B

1

C

1

中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA

1

=∠CAA

1

=50°，则异面直线AB

1

与BC

1

所

成角的余弦值为____________.

【考点】异面直线之间的夹角

【难度】较难

【答案】

338

38

【解析】首先根据已知条件，做

AH

垂直于底面交

BC

的高线于

H,

然后可得到侧棱与底为

3

3

，设出侧棱长

为

a,

然后利用建立空间直角坐标系，表示异面直线所成的角，以

H

为原点，建立坐标系，这样可以得到

A

（

3

,0,0

3

a

）

11

36336

(,,),(,,0),(,,)

33362623

aaaaaaaa

BBC

，结合向量的夹角公式可以得到余弦值。

【点评】本题考查异面直线之间夹角的计算方法。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第五章《空间

中的夹角和距离》有详细讲解，其中例4有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对

立体几何相关知识的总结讲解，包括空间中的垂直、平行、夹角典型例题的讲解。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（注意：在试卷上

．．．．．．．

作答无效

．．．．

）

（17）（本小题满分10分）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(A－C)＋cosB=1，a=2c，求c.

【考点】解三角形综合题

【难度】容易

【点评】本题考查解三角形及三角函数综合题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第一章《解三角

形应用问题》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一

点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.

【考点】立体几何综合题

【难度】中等

【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期

课程讲座2，第四章《立体几何》，高二数学（理）强化提高班上学期，第七章《空间向量与立体几何》有

详细讲解，有完全相似的题目剖析。在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相

关知识的总结讲解。

（19）.（本小题满分12分）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，

依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率

为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.

【考点】概率计算综合题

【难度】中等

【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中

第04讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有

对概率相关知识的总结讲解。

（20）（本小题满分12分）

设函数()cosfxaxx，x∈[0，π].

（Ⅰ）讨论()fx的单调性；

（Ⅱ）设()1sinfxx，求a的取值范围.

【考点】函数性质及导数综合

【难度】中等

【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质及函数与不等式的综合问题。在高二数学（理）强化提高

班下学期，第一章《导数》有详细讲解，在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第五章《不等式》有不

等式详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数及不等式综合知识的总结讲解。

（21）.（本小题满分12分）

已知抛物线2:(1)Cyx与圆222

1

:(1)()

2

Myxyr

(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切

线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

【考点】抛物线

【难度】中等

【点评】本题考查抛物线、直线的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线

与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线

相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对抛物线的专题讲解。

（22）（本小题满分12分）

函数2()23fxxx，定义数列

{}

n

x

如下：

11

2,

n

xx





是过两点P（4,5）、

(,())

nnn

Qxfx

的直线

n

PQ

与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）证明：

1

23;

nn

xx





；

（Ⅱ）求数列

{}

n

x

的通项公式.

【考点】数列与函数综合题

【难度】较难

【点评】本题考查函数与数列的结合，及数列综合知识。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第八章

《数列》，高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第二章《数列》有详细讲解，在高考精品班数学（理）

强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解，有相同类型的重点分析。

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