cf的全称

1.5《全称量词与存在量词》

课程目标

A.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．

B.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真

假性．

C.会写全称量词命题和存在量词命题的否定。

D.使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．

学科素养

1.数学抽象：全称量词与存在量词的含义；

2.逻辑推理：全称量词命题和存在量词命题的真假；

3..直观想象：全称量词命题和存在量词命题的否定。

教学重难点

1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；

2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。

教学过程

一、新课导入

情景1：德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如

77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通

过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多

年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上

两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数．从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个

迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题．要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这

种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例．

情景2：我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这

1000名学生符合下列条件：

（1）所有学生都来自高二年级；

（2）至少有30名学生来自高二.一班；

（3）每一个学生都有固定表演路线.

结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词.

二、知识精讲

探究一全称量词命题的含义

1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)x>3

(2)2x+1是整数

(3)对所有的xR,x>3

(4)对任意一个xZ,2x+1是整数

【答案】（1）不是(2)不是(3)是（4）是

关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量x进行限定;(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变

量x进行限定.

2、归纳新知

（1）全称量词及表示:

定义：短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。

表示：用符号“”表示。

（2）全称量词命题及表示:

定义：含有全称量词的命题，叫全称量词命题。

表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:xM,p(x)。

读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。

例如:命题(1)对任意的nZ,2n+1是奇数;

(2)所有的正方形都是矩形。都是存在量词命题。

3.练习：用量词“”表达下列命题:

(1)实数都能写成小数形式;

(2)凸多边形的外角和等于2；

（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。

【解析】（1）

,xR

x能写成小数形式;

（2）x{x|x是凸n边形},x的外角和等于2;

(3)

,xR

x·(-1)=-x.

例1.判断下列全称量词命题的真假

(1)所有的素数都是奇数;

(2)xR,|x|+1≥1

(3)对每一个无理数x,x2也是无理数

【解析】（1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题;

(2)∵xR,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题;

（3）∵2是无理数,但

222是有理数，,∴全称命题(3)是假命题;

4、思考：如何判断全称量词命题的真假？

【解析】若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量

词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得P(x)不成立即可。

探究二存在量词命题的含义

1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)2x+1=3

(2)x能被2和3整除;

(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;

(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

【解析】(1)不是（2）不是（3）是（4）是

关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)

的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.

2.存在量词命题的定义

（1）存在量词及表示:

定义：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。

表示：用符号“∃”表示。

（2）存在量词命题及表示：

定义：含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.

表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x).

读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.

3.练习：下列命题是不是存在量词命题？

（1）有的平行四边形是菱形;

（2）有一个素数不是奇数

【答案】都是存在量词命题。

4.练习：设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)”

【解析】存在实数x,使x2=x成立；

至少有一个x∈R,使x2=x成立；

对有些实数x,使x2=x成立；

有一个x∈R,使x2=x成立；

对某个x∈R,使x2=x成立。

例2下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。

(1)有一个实数a，a不能取倒数；

(2)所有不等式的解集A,都是A⊆R；

(3)有的四边形不是平行四边形。

【解析】（1）存在量词命题（2）全称量词命题（3）存在量词命题

例3判断下列存在量词命题的真假

(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;

(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;

(3)有些平行四边形是菱形.

【解析】(1)由于224380，,

因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.

(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,

存在量词命题(2)是假命题。

（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。

5.思考：如何判断存在量词命题的真假

【答案】要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.

如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.

探究三全称量词命题和存在量词命题的否定

1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。

牛刀小试：说出下列命题的否定。

（1）56是7的倍数；

（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集；

【解析】（1）否定：56不是7的倍数；（2）否定：空集不是集合A={1,2,3}的真子集。

2.思考：

1)

写出下列命题的否定

所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

3),0xRx+|x|。

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

【解析】(1)存在一个矩形不是平行四边形；

(2)存在一个素数表示奇数；

(3),0xR|x|+x。

从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。

【结论】含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：全称量词命题的否定是存在量词命题。

例4写出下列全称量词命题的否定：

(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数；

（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上

2(3）p:对任意xZ，x的个位数字不等于3。

【解析】（1）否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.

（2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；

（3）否定：2

00

,xZx的个位数字等于3.

3.思考：

(1)

写出下列命题的否定

存在一个实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

2(3),230xRxx。

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

【答案】否定:

（1）所有实数的绝对值都不是正数;

（2）每一个平行四边形都不是菱形;

（3）

2,230xRxx-

从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

【结论】存在量词命题的否定是全称量词命题。

0x

例5写出下列存在量词命题的否定：

(1）p:R,x+2；

2）p:有的三角形是等边三角形；

（3）有一个偶数是素数.

【解析】

(1):该命题否定，

（2）该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形

（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数

例6写出下列命题的否定，并判断真假；

（1）任意两个等边三角形都相似；

22,10xRxx（）

【解析】（1）该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。

因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都

相似。因此这是一个假命题。

（2）该命题的否定：

2,

22

13

,1()0

24

xRxxx因为对任意

.

所以这是一个假命题。

三、达标检测

1．下列说法中，正确的个数是()

①存在一个实数x

0

，使－2x2

0

＋x

0

－4＝0；

②所有的素数都是奇数；

③至少存在一个正整数，能被5和7整除．

A．0B．1

C．2D．3

【解析】①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确．故选B.

【答案】B

2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为()

A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n

【解析】因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀

n∈N，n2≤2n”．故选C.

【答案】C

3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．

(1)有一个奇数不能被3整除；

(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；

(3)有些三角形的三个内角都为60°；

(4)每个三角形至少有两个锐角；

(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

【解】(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．

(2)是全称量词命题，否定为：∃x

0

∈Z，x2

0

与3的和等于0.

(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.

(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．

(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：

存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．

四、课堂小结

1、（1）全称量词、全称量词命题；

（2）存在量词、存在量词命题。

2、全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题。

五、作业

习题1.53，4题