2014高考试题

2014理科数学

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的一项。

1。已知集合A=｛x｜2230xx},B={x|－2≤x＜2＝，则AB=

A。［—2，—1］B.［-1,2）C。[—1,1]D.［1，2）

2。

3

2

(1)

(1)

i

i





=

A。1i

B。1i

C.1i

D.1i

3.设函数()fx，()gx的定义域都为R，且()fx时奇函数，()gx是偶函数，则下列结论正确的是

A。()fx()gx是偶函数B。|()fx｜()gx是奇函数

C。()fx|()gx｜是奇函数D。｜()fx()gx|是奇函数

4。已知F是双曲线C:223(0)xmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为

A.3

B.3C。3m

D。3m

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的

概率

A.

1

8

B。

3

8

C。

5

8

D.

7

8

6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角

x

的始边为

射线OA,终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将

点M到直线OP的距离表示为

x

的函数()fx，则y=()fx在［0，



］

上的图像大致为

7。执行下图的程序框图,若输入的,,abk分别为1，2，3，则输出的M=

A.

20

3

B.

16

5

C。

7

2

D。

15

8

8。设(0,)

2



,(0,)

2



，且

1sin

tan

cos









，则

A。3

2





B.2

2





C。3

2





D。2

2





9。不等式组

1

24

xy

xy











的解集记为D。有下面四个命题：

1

p:(,),22xyDxy，

2

p：(,),22xyDxy，

3

P：(,),23xyDxy,

4

p：(,),21xyDxy。

其中真命题是

A.

2

p，

3

P

B.

1

p,

4

pC。

1

p,

2

p

D。

1

p,

3

P

10。已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，

若

4FPFQ

，则||QF=

A。

7

2

B.

5

2

C。3D。2

11.已知函数()fx=3231axx，若()fx存在唯一的零点

0

x,且

0

x＞0，则

a

的取值范围为

A.(2，+∞）B。(-∞，—2)C.（1，+∞）D。（—∞，-1）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图,

则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A。62

B。42C。6D。4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13）题—第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。第（22)

题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题:本大题共四小题，每小题5分.

13.8()()xyxy的展开式中22xy的系数为.（用数字填写答案)

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去

过B城市；乙说：我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一个城市。由此可判断乙去过的城市

为.

15.已知A，B，C是圆O上的三点，若

1

()

2

AOABAC，则AB与AC的夹角为。

16。已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边,a=2，且

(2)(sinsin)()sinbABcbC,则ABC面积的最大值为。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分）已知数列｛

n

a｝的前n项和为

n

S，

1

a=1，0

n

a,

1

1

nnn

aaS



，其中为

常数.

(Ⅰ）证明：

2nn

aa



；

(Ⅱ)是否存在，使得{

n

a}为等差数列?并说明理由。

18.（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测

量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作

代表）；

(Ⅱ）由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似

为样本平均数x,2近似为样本方差2s。

（i)利用该正态分布,求(187.8212.2)PZ；

（ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间

（187.8，212。2）的产品件数,利用(i)的结果,求EX.

附：

150

≈12。2.

若Z～2(,)N，则()PZ=0.6826，(22)PZ=0。9544。

19。（本小题满分12分）如图三棱锥

111

ABCABC中，侧面

11

BBCC为菱形，

1

ABBC.

（Ⅰ）证明：

1

ACAB；

(Ⅱ）若

1

ACAB，

o

1

60CBB

,AB=Bc，求二面角

111

AABC的余弦值.

20。(本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的离心率为

3

2

，F是

椭圆的焦点,直线AF的斜率为

23

3

，O为坐标原点.

（Ⅰ）求E的方程；

(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于,PQ两点,当OPQ的面积最大时，求l的方程。

21。（本小题满分12分）设函数

1

(0ln

x

x

be

fxaex

x



，曲线()yfx在点（1，(1)f处的切线为

(1)2yex.(Ⅰ）求,ab;(Ⅱ）证明:()1fx.

请考生从第（22）、(23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，

则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22。（本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，四边形ABCD

是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，

且CB=CE

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，

证明:△ADE为等边三角形。

23。（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C：

22

1

49

xy

，直线l：

2

22

xt

yt











（

t

为参数）。

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线,交l于点A，求||PA的最大值与最小值.

24.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲若0,0ab,且

11

ab

ab

.

（Ⅰ）求33ab的最小值；

（Ⅱ）是否存在,ab，使得236ab?并说明理由.

参考答案

一、选择题

1-5ADCAD6—10CDCBB11.C12。B

二、填空题

13.—2014。A15。

2



16.3

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

解：

(Ⅰ）由题设，

1121

1,1

nnnnnn

aaSaaS





两式相减得

121

()

nnnn

aaaa



，而

1

0

n

a



，

2nn

aa





(Ⅱ）

1211

11aaSa,而

1

1a，解得

2

1a,又{}

n

a

令

213

2aaa，解得4。此时

1232

1,3,5,4

nn

aaaaa





{}

n

a是首项为1，公差为2的等差数列。即存在4，使得{}

n

a为等差数列。

18.(本小题满分12分）

解：

(Ⅰ）1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200x

（Ⅱ）

19。（本小题满分12分)

20。(本小题满分12分）

21.（本小题满分12分)

22.（本小题满分10分）

（1）证明:由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以,DCBE

又CBCE,CBEE

所以DE

23。（本小题满分10分）

24。(本小题满分10分）