公式

因子个数：

设，其中为正质因子，，则

(1)之正因子个数

(2)之因子个数

(3)之正因子总和=

(4)之正因子乘积

找因子：

(1)2之倍数末位为偶数

(2)4之倍数末两位为4之倍数

(3)8之倍数末三位为8之倍数

(4)5之倍数末位为0或5

(5)3之倍数数字之和为3之倍数

(6)9之倍数数字之和为9之倍数

(7)11之倍数(奇位数字和)

－

(偶位数字和)恰为11的倍数

(8)7(13)之倍数

末位起向左每三位为一区间(第奇数个区间之和)—(第偶数个区间之和)为7(13)

之倍数

质数检验：

设，，若没有小于等于的正质因子，则为质数。

尤拉公式：

设，表质因子，

(1)不大于而与互质者：

个

(2)不大于，为的倍数但不为倍数者有个

(3)不大于，为的倍数但不为的倍数者有个

因倍数及公因子，公倍数性质：

(1)，若，则为之公因子

(2)且，则

(3)，，则必有二整数，使

(4)，若

辗转相除法原理：

若，，若，，，则

整数解：

(1)型化为

(2)为整数)有整数解

(3)若已知有一解，则

有理数、实数：

(1)有理数：凡是能写成形如(都是整数，且)的数叫有理

数。

(2)，，若

(3)整数之离散性：设，若，则(不等整数之距

离至少为1)

(4)实数之稠密性：设，若，则存在，使

(5)证无理数之另一方法：证为一方程式之根，但

没有有根，或有理根不可能为。

复数：

(1)若，，则Z之实部之虚部，

又，

(2)为实数：

且为纯虚数

(3)若，，，则且

(4)设，则

(5)为实系数，为实数，则

等差与等比公式：

(1)级数成等差，若首项，公差，

则；

(2)级数成等比，若首项，等比，

则；

若，

(3)调和级数：倒数成等差，故可用等差公式。

杂级数公式：

(1)连积之和

(依此类推)

(2)

无穷等比数列及级数之敛散

若，则

(a)无穷等比级数

(b)无穷杂级数

无穷循环小数，无穷几何级数：

(1)循环小数化为无穷等比级数求之

(2)化为数字9之级数

(3)(其他类似)

(4)无穷几何级数求法要领：先求首项及公比

距离公式：

(1)A()，A()，

则

(2)中到三顶点等距支点为外心

(3)

则

在时，产生最小值。

分点公式：

，，

(a)若A-P-B

则或

(b)若A-B-P(或P-A-B)，

则P或

(c)△ABC中，A，B，C，重心为G，

则Ｇ=

斜率：m

（１），

若，则：

若，则无斜率（不加以定义）

（２）直线Ｌ之斜率ｍ，则

１．ｍ＞０，，则右上升；

ｍ＜０，则右下降﹔

ｍ＝０，为水平线

２．越大，则越接近铅直﹔越小，则越接近水平。

（３）之斜率分别为

（４）Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线

直线方程式：

(1)点斜式：A()，且斜率m之直线为

(2)斜截式：斜率m，截距b之直线为

(3)两点式：过A()，B()且

则：

(4)截距式：，，且之直线为

(5)，，

则过交点之直线可设为

(6)过又在P点之象限与两轴围成最小面积之直线为，

而最小面积

对称点及对称方程式：

对称轴(点)

A(xo,yo)之对称

点坐标

图形f(x,y)=0之对

称图形

(0,0)A’(-xo,-yo)F(-x,-y)=0

(a,b)A’(2a-xo,2b-yo)F(2a-x,2b-y)=0

X轴A’(xo,-yo)F(x,-y)=0

Y轴A’(-xo,yo)F(-x,y)=0

X=hA’(2h-xo,yo)F(2h-x,y)=0

Y=kA’(xo,2k-yo)F(x,2k-y)=0

X+Y-k=0A’(k-yo,k-xo)F(k-y,k-x)=0

X-Y-k=0A’(yo+k,xo+k)F(y+k,x-k)=0

(注):x+y-k=0;x+y-k=0

由此可帮助记忆最后二个公式

菱形与正方形之图形：

若，，则之图形为一菱形(a=b则为正方形)，

而其围成面积为，当然之图形亦为菱形，

只不过中心为(h,k)而已，故其面积仍为2ab。

三角型面积：

则a△ABC=||

一元二次方程式

设a,b,cR，a0对于ax2+bx+c=0中

(1)x=

(2)二相异实根，相等实根，共轭虚根。

(注):若a,b,cQ，且为有理数之平方根为相异有理根

(3)根之正负:设实系数二次方程式ax2+bx+c=0的两根为

1.皆为正根(a)0(b)(c)>0

2.皆为负根(a)(b)(c)>0

3.为同号(皆正或负)且>0

4.为异号(一正根一负根)<0

5.为纯虚数b=0且>0

根与系数关系

(1)若,为ax2+bx+c=0(a

≠

0)之两根

(2)

二次函数:

之图形抛物线

(1)图形坐标：

(2)对称轴

(3)

(4)

最小二乘方定理

，则当，

比较

，

，，

时，有最小值

由二次图形求不等式之解集

(：

时，

1、或

2、

时，

1、

2、或

恒正恒负条件

，

，

，

多项式之基本性质

(1)若一多项式，则一切系数之和

1、一切奇式项之系数和

2、一切偶式项之系数和

(2)多项式之相等

1、同次向对应系数相等

2、任何值a代换x恒有

3、不超过次，只要有n+1以上之值带入相等，则。

(其逆为真)

除法应用

(1)求之近似值：

化

再以代入，适当略去后面部分可得所求。

(2)除法求值：

若为之一根，为一多项式，求时，

可用除法求出，使，则

余式定理跟因式定理

(1)余式定理：

除以之余式为

(2)因式定理：

又，且

求余式之假设法

(1)

(2)

而mx+n为除以之余式

(3)除以g(x)之余式=除以之余式

(4)除之余式

(5)

则除以之余式为

牛顿定理(一次因式之检验)

(1)，，

，若有之因式，则，

(2)若为之因式，则

最高因式与最低公倍式

(1)利用析因式法

(先分解以知式，在观察共同因式)

(2)利用辗转相除法

(到整除时之最后除式为最高公因式)

(3)利用和差法:

，

(4)为常数)

n次方程式:

(1)代数基本定理:每一n次程序，只要，至少有一个复数根。

(2)k重根算k个，则n次方程式有n个。

(3)实系数方程式之虚根成共轭对出现。

又理系数方程式若有根式之根，亦成共轭对出现。

(4)为实系数，则

中间值定理与勘根定理

(1)设为一连续函数(多项式函数必为连续)，

若a>b且，则必有一根介于a与b之间。

(2)若a

1、间有奇数个根。

2、间无实数根或有偶数个实根

(3)利用勘根定理可勘查无理根位置，以求无理根之近似值。

(用二分逼近法或十分逼近法)

(A)指数率：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(B)根数率：

(1)

；

a<0，b<0

(2)

；

a>0，b<0

(3)

(C)对数定义及性质：

(1)设b>0，a>0，，则(定义)

(2)；(定义之推论)

(3)运算：

(1)

(2)(但A>0，B>0)

(3)(但A>0，B>0)

(4)(换底公式)

(5)(连锁原理)

(6)；

(7)(倒数关系)

(8)

(D)指数函数及对数函数图形：

(1)及之图形如下：

(1)a>1(增函数)(2)0

(2)设a>b>1

(1)x>0时，的图形恒在图形的上方

(2)x<0时，的图形恒在图形的下方

（Ｅ）指数与对数方程式：

(1)指数方程式：

(a)。

(b)两方取对数解之。

(c)指数常数化为系数。

(d)必要时适当化改为之方程式先解之。

(2)对数方程式：

(a)先列出有意有之基本之限制

(真数，底数，底数)

(b)可化为同底时：

(c)不可化为同底时

利用换底公式求之。

(d)求得之解代入之有意义限制，除不合者。

(e)必要时令，为之方程式解之。

(F)指数不等式与对数不等式：

(1)指数不等式：

(1)底数相同时：

(a)ａ＞０则

(b)０＜ａ＜１则

(2)底数不同，两方取对数

(3)必要时，令，常数指数化为系数，转成t之不等式。

(2)对数不等式：

(1)先注意对数有意义之限制

(2)底数相同时：

(a)若ａ＞１欲解

(b)若０＜ａ＜１欲解

(3)底数不同时=>换底

(4)下列可当公式用(当然也可以直接讨论)

(G)常用对数：

(1)以10为底之对数，称常用对数，常省略其底，即

(2)科学记号表示法：若ａ＞０，则存在，使，且

(3)设ａ＞０且，，，称

n为loga之首数，logb称为loga之尾数

(4)logx之首数，=[logx]，logx之尾数=logx-[logx]

(5)若且logb之首数为m，则b之整数部分为m+1位；

若０＜ｂ＜１且logb之首数为m，则b在小数点后最初有个0。

(6)首数=>判断位数：尾数了解用到之数字(有效之数字)。

例如：log345000之首数为5；尾数

之首数为–2；尾数!

(7)A为n位数

(8)LogA之首数为nlogA=n+b，。

(9)LogA与logB之尾数相同=>logA-logB为整数

例如：logx之首数为1且与之尾数相同，求x可利用此原理

(10)log2=，log3=，log5=1-log2=，log7=

(H)加强及注意：

(1)

(2)，

则

(3)a，b均正，

或x=y=z=0

(4)，比较2x，3y，5z之大小时

x，y，z为正；

x=y=z=0

x，y，z为负。

(5)判断A+B为几位数，可先求A之位数及首位数字；

B之位数及位数字然后判断A+B位数。

(6)或型，

则两方取，可化简成之代数式，在令解之。

(7)由

(A)角之度量：

(1)弧度：弧长等于半径所对圆心角称一弧度，简称一弪.

(2)弧长s，半径r，所对圆心角

(3)一周角=

1弪=

(4)如右图：

扇形面积

弓形面积=（扇形面积）—（三角形面积）

(表圆心角之度量)

(5)常用角度之换算表：

(A)角之度量：

(1)

(2)位于标准位置之角终边上之一点P(x，y)(x≠0，y≠0)，则

(1)三角函数直在各象限之正负：

第一象限第二象限第三象限第四象限

++--

+--+

D度

R0

+-+-

(2)函数值之增减(在第一象限):

为增函数

为减函数

(E)基本不等性质:

(1)

、

(2)若，则

若，则、

(3)；

(F)基本恒等式:

(1)倒数关系：

；

(2)平方关系:

(3)商数关系:

(4)次要恒等式:

1、

2、

(G)化任意之三角函数为锐角三角形函

数值：

任一角之三角函数值，通常由某一锐角

之三角函数数值求出，其求法如下：

(1)负角之三角函数：

但

1、n为偶数时：

例：、、

2、n为奇数时：

例：、

(2)空栏符号乃要吾人填“+”号或“-”，其取正或负需视为正锐角时，

在第几象限，对左边原三角函数该选正或负。

（Ｈ）三角形ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓ之一些

关系：

（１）中，分别以，Ａ，Ｂ，Ｃ代表﹔

ａ，ｂ，ｃ依序表之对边长；，

ｒ表内切圆半径，Ｒ表外接圆半径，

依次表之内部之傍切圆半径

（２）ＢＤ＝ＢＦ＝ｓ－ｂ，ＡＥ＝ＡＦ＝ｓ－ａ，ＣＤ＝ＣＥ＝ｓ－ｃ，

内切圆半径ｒ，则

Δ

（面积）＝，而

（３）ＡＥ＝ＡＦ＝ｓ；ＢＤ＝ＢＥ＝ｓ－ｃ；ＣＤ＝ＣＦ＝ｓ－ｂ

△（面积）＝

（看图推出）

（Ｉ）三角形之面积公

式：

之面积

（Ｊ）边形关系之重要定理：

（1）正弦定律：

（注）：求外接圆半径Ｒ，可由正弦定律求之。

（2）余弦定理：

１．

２．

３．

（３）：投影定律：

（Ｋ）解三角形：

（1）由已知之编辑角，求未知之边与角，叫解三角形。

（2）Ｓ.Ａ.Ｓ之解法：第三边用余弦定律求出

在利用正弦定律求出另两角。

（3）Ｓ.Ｓ.Ｓ之解法：利用余弦定律求出各角

（4）Ａ.Ａ.Ａ之解法：利用三角度量和＝求出第三角形，

利用正弦定律求其他边长。

（5）Ｓ.Ｓ.Ａ之解法：

例如：已知a，b及一角由a与b之大小

与之大小，可知

是否可能为直角、钝角，

再由，求出(可能无解

或一组解或二解)

（Ｌ）测量：

测量问题：

（1）方法：从已知条件作三角形之关系图形，

利用解三角形求出所要之边长或角度。

（2）题型：

1、单方向求高度（观测者向目标移动或仰视、俯视）

利用直角

Δ

解之

2、多方面求高度

作立体图形，转成地面之三角形解之。

3、航行方位问题

由平面之方向作成平面之三角形解之

(A)和角公式：

(1)主要：

(1)

(2)

(3)

(4)

(2)推广:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(3)正余切和角公式之一次化

(1)

(2)

(a)

(b)

(c)

(d)

(B)倍角公式

(1)

(1)(由推之)

(2)

(3)

(2)

(3)

(1)

(2)

(4)辅助公式:

(1)

(2)

(3)

(C)半角公式

(1)(±号随在第几象限而定)

(±号随在第几象限而定)

(2)设

则

(3)

(D)和差与积互化

(1)

(2)

(3)时，则

(1)

(2)

(3)

(4)

(E)常见求极值:

(1)

(其中

)

(其中

)

(2)

(可利用

(1)合并)

(3)

可令

(4)

(F)三角形边角关系之补充公式：

(1)正切定律：

(2)

；

；

(3)分角线：

设为之一分线且

求证：

(4)中线：

设为之中线，则

(5)高：三边长比

(G)复数之绝对值：

(1)设，

则，且不为负

(2)设，

则

(3)设，

则；

(4)，

则

(5)

(6)

则

表之距离

(H)复数绝对值之几何意义：

(1)设且在复数平面

上

所对之点为，

则

(2)分点公式：

在复数平面上，设，

则

(3)在复数平面上，对轴之对称

点

，

对轴对称点为

，对原点之

对称点

(I)复数之极式：

(1)设，之幅度

为，

则

(注)：由轴正向到之有角为幅

角，其中叫主幅角

，以表示

(2)隶美弗定理：

设，

则

(注)：亦可推出

(3)若，

则；

(J)复数平方根：

(1)任一复数，除0外，恰有二

个平方根

，此二平方根之和为0。

(2)平方根速算法：设

，

则

(由

b

之正负决定

x

,

y

之同号或异号)

(3)，之二

根为

之任一

平方根。

(不要用根式表示)

(K)复数方根：

(1)设，满足为已知复数)之Z叫次方根，通常有

个解。

(2)若，

而为其个方根

则，=0,1,2,……,

(3)上面之

洽分布在一圆上(圆心为原点，半径)，

且将此圆等分(即连接可得一正边形)

(4)若，且，则

(a)为之虚根，而之解集合。

(b)

(c)

(d)

，若已知有一根为，

则此方程式之解集为

(5)

立方根之性质

(L)加强及补充：

(1)

理由：

(2)

(3)

(4)

(A)向量定义：

(1)有向线段及向量：

若A、B是相异的两点，线段赋与游A到B的方向后，

就称为是由A到B的有向线段，记为，简称为向量

(2)有向线段之始点、终点、长：

向量的A叫始点，B叫终点，A，B两点的距离

(或之长)叫之长，以表示。

(3)零向量：

A=B时，称为零向量，可用或表示。

(4)若O为原点，A之坐标为(a,b)，

则可用(a,b)表示，即=(a,b)

(5)若A则可用

表示

【注意】：(终点)-(起点)

(6)，则之长=

，而a叫之x分量，b叫之分量。

(7)

(B)方向角：

(1)与x轴用向所夹之角之

方向角，其中

(2)方向角：

(3)，方向角为θ，

则

C）向量加法：

(1)：

设是任意两个向量，点X使向量

，

则称向量为向量与向量的和，记做

(2)若，则

(3)对任意向量，我们定义

(4)，则

(注)：

（D）系数积：

(1)

1.r＞0与同方向且长

度为原来r倍

2.r＜0与反方向且长

度为原来r倍

3.r＝0＝0

(2)向量系数积之坐标表示：

设，则

(3)向量系数积之基本性质：

1.

2.

(为向量)

3.

(E)分点公式：

(1)Ａ－Ｐ－Ｂ且，O为任意一点，

则

(2)Ａ－Ｂ－Ｐ(或Ｐ－Ａ－Ｂ)且，O为任意

一点，

则

面积比：

若ｌ，ｍ，ｎ且

则

(注)：若ｌ，ｍ，ｎ同号，则在ABC内部，若ｌ，ｍ，

ｎ不同号，

则P在

△

ABC外部。

(G)共线：

(1)A，B，C为三点。

(2)设A，B，C为三点，O为任一点，x、yR且，

则A，B，C共线x+y=1

内积：

(I)平行与垂直(a≠0、b≠0)

(1)

(2)

(3)

则

而

(J)投影与投影量：

(1)在单位向量之正射影

(其中之夹角)

(2)同向之单位向量

(3)在之正射影

(4)在之正射影亦称在之分向量

或在之投影，而称

为在之分量(投影量)

(5)在(之诸平行向量)之投影(分向

量)均相等。

（Ｋ）科西－史瓦滋不等式：

（１）设任二向量，则

（２）若

则

且等式成立

（３）

(L)三角形之五心：

(M)面

积：

(1)令O、A、B不共线，

则

(2)若

则

(3)

则面积=

（N）二向量线性组合之终点图

形：

(1)表一直线。

（可由满足之二组求出两点，连接之）

(2)

则S之面积，

其他不同之、限制，由作图后求之。

(O)直线之参数

式：

（1）点向式：设直线Ｌ过且与向量＝（a，b）平行

L之方程式

（2）点向式之推论：

，则Ｌ有一垂直向量（法向量）

为，

有一平行向量

又垂直Ｌ之直线之参数式可为

过又平行Ｌ之直线之参数式可为

（3）两点是：，则

之参数式可为

(Q)点到距

离：

(1)P点到L线之距离

=P到(P到L之投影点Q)之距离

(R为L之垂直向量之交角)

(2)，则P到L之距离d

则

(理由)：令为L上某一点

，

为与之交角，则

(R)交角平分

线：

（1）同侧与反侧

1、若在L：之同侧

2、

若在L：之反侧

（2）：、：

则之交角平分线为

即

（注）：表通过同号侧之交角平分线。

表通过异号侧之

交角平分线。

（3）

1、

：、：

则两线交角平分线为(两条)

2、已知二条线之斜率为、，交角平分线之斜率为

则

（Ｓ）投影点与对称点：

（1）对称点公式：

设表一直线Ｌ，，

Ａ在Ｌ之投影点的坐标为

Ａ在Ｌ之对称点的坐标为

（注）：本公式之证明利用投影点带入Ｌ，求t

（2）最小值求法。

1、异侧型：若Ａ、Ｂ在Ｌ异侧，则之最小值＝

2、同侧型：若Ａ、Ｂ在Ｌ同侧，则＝

∴最小值＝

（3）之最大值求法：

1、若Ａ、Ｂ在Ｌ之同侧，则之最大值＝

2、若Ａ、Ｂ在Ｌ异侧，则之最大值＝

（4）之最小值求法：

1、若Ａ、Ｂ在Ｌ之同侧，最小值＝

2、若A、B在Ｌ之异侧，最小值＝

3、利用参数式验Ｌ上取一动点再求

化为ｔ之二次式，配方求ｔ求Ｐ。

Ａ．垂直性质：

(1)直线与平面之垂直

设平面Ｅ与直线Ｌ相交于Ａ点，若平面

Ｅ上有两条通过Ａ的相异直线与Ｌ垂直

，则平面Ｅ与直线Ｌ垂直。

(2)二平面垂直之性质

1.若直线L与平面E垂直，则空间

中包

含直线L的每个平面都与平面E垂直。

2.二平面与垂直，则在上

垂直

于交线的，任一垂线必垂直另一平面。

(3)三垂线定理：设直线与平面Ｅ垂直于Ｂ点

，在平面上，直线与直线Ｌ垂直于Ｃ点，

则直线也与直线Ｌ垂直于Ｃ点。

(Ｂ)空间之距离公式及方向余弦：

(1)，则

(2)其方向余弦为，

则

(C)空间向量：

(1)内积，为与之夹角

(2)设

则

(3)若，且夹角，

则

(4)在之正射影

(D)面积与体积：

(1)令Ｏ，Ａ，Ｂ不共线，

则之面积

(2)若

则

(3)

则

1.

2.所张之平行六面体体积

3.共面

(E)空间平面方程式：

(1)过点法向量为，

则方程式为

(2)截距分别为则方程式

(3)平行于平面，

则方程式设为

(4)过二平面之方程式可设为

(5)平面上有二已知向量

又过一点，则平面方程式为

(F)空间之直线方程式：

(1)过又平行

则直线为

或

(2)表二平面交线，其方向向量为

(G)空间之平面，直线性质：

(1)到平面之

距离

(2)到：

之

距离

(注)：或用参数式求之

(H)投影点及对称点：

平面E：

则A在上投影点

A对E之对称点

(A)行列式性质

1.行与列全部互调其值不变

2.将某列(或行)乘以常数再加至其他列(或行)其值不变

3.行列式中某列(行)全为0其值为0

4.行列式中任二列成比例其值为0

5.某列(或行)有公因子可提出

6.行列式前有常数可乘人某列或某行

7.相邻之二列(或行)互换其值变号

8.拆项原理：

(B)较特殊行列式及常用之三阶行列式：

1、

2、

3、

4、(行提列灌法)

5、Vandermode行列式

(C)二元一次方程式与行列式

方程组

令，，

1.若

2.若，则中有一为0，则无解

3.若，则无限多解

(D)比例式：

(注意常数项为0)

(E)三元一次方程式与行列式

在，

(F)行列式应用：

(1)三点共点：

(A)圆之方程式：

(1)以()为圆心，r为半径的圆方程

式

为

(2)设A

则以AB为直径圆为

(3)设圆

与圆相交，则

1.过与的圆的交点的圆为

，

2.过与之交点的直线（根轴）

(即k=-1)

(4)再平面上有二相异点A,B，则满足

之动点P之轨迹唯一圆。

(Ｂ)方程式之判断：

为表圆之条件

为b=0，a=c≠0，，

此时圆心，

半径

(C)切线段长及弦长：

圆外部一点

(1)P点到圆之切线段长

(2)与圆C之交弦长＝，而d为

圆心到之距离。

(D)圆之切线：

(1)过圆上一点

的切线方程式为

(2)过圆上一点

的切线方程式为

(3)斜率m且与相切

的直线方程式为

(E)两圆相交之关系：

(1)设二圆之半径分别为，连心距d

１．

２．

３．

４．

５．

(2)二圆之半径分别为，连心距为d，则

1、内公切线段长＝

2、外公切线段长＝

(F)球之方程式：

(1)标准式：球心为半径为a之球方程

式为

(2)直径式：设，

则为直径之球方程式为

(3)过二球

之圆之球

可设为

(注)：消去平方项则为交圆所在之平面。

(G)球之切面与截面：

(1)若球面S与平面E截出一个圆C，则

1、截圆之半径为

2、截圆的面积为

(2)过球面

上一点的切平面方程式为

(H)弦长，切线段长：

(1)若直线L与球面S相交于P,Q二点，

且球面的半径为r，球心到直线L的距离为d，

则

(2)过球面外

一点的切线段长为

圆锥曲线定义：

(1)抛物线：

1.设F为定点，L为直线，FL，称为抛物线，

L称为准线，F称为焦点。

2.若FL，则图形表直线。

(2)椭圆：F、F’为相异二点，2a为正数，，则

1.为一椭圆，F、F’称为其二焦点

2.为一线段(即)

3.为无圆形(即)

(3)双曲线：

设F、F’为二相异点，2a为正数，

(B)抛物线之标准式

(1)：

顶点(0,0)，焦点F(c,0)，准线x=-c，轴y=0，

平移=(h,k)后得(y-k)2=4c(x-h)，

顶点(h,k)，焦点(h+c,k)，准线：x-h=-c，轴y-k=0

(2)：

顶点(0,0)，焦点(0,-c)，线y=-c，轴：x=0，

平移=(h,k)后得(x-h)2=4c(y-k)，

焦点(h,k+c)，准线：y-k=-c，轴x-h=0

椭圆之标准式

(1)方程式

则=a2-b2

2.长轴的长为2a，

短轴的长为2b，

3.中心为(h,k)4.焦点为(h

±

a,k)

5.顶点为(h,k

±

b)，(h

±

a,k)

6.对称轴为x—h=0，y—k=0

7.正焦旋长为

(2)方程式

则=a2+b2

2.长轴的长为2a，

短轴的长为2b

3.中心为(h,k)

4.焦点为(h,k

±

c)

5.顶点为(h,k

±

a)，(h

±

b,k)

6.对称轴为x—h=0，y—k=0

7.正焦弦长为

(D)双曲线之标准式

(E)二次曲线之参数式：

(F)抛物线性质：

(1)抛物线上任一点到焦点到准线等距。

(2)及之正焦弦长4|c|

(3)抛物线正焦弦长＝4d（焦点,准线）

(4)或之

图形为抛物线，其正焦弦长

(5)轴不为水平，铅直方向之抛物线：

若焦点，准线：ax+by+c=0

，则此抛物线方程式为

(6)以焦弦（过焦点之弦）为一直径之圆，必

与准线相切。

(G)椭圆之性质：

(1)椭圆之二焦点介于二长端点(顶点之间)

(2)椭圆上任一点二焦点距离和等于长轴之

长

(3)与共焦点之椭圆

可设为

(4)之面积

(5)之内接矩形之最大面积为，

内接正方形之面积为，内接最大

周长

(6)椭圆之外切菱形之最小面积

(H)双曲线之性质：

(1)双曲线上任一点到二焦点之距离差等于贯轴长

(2)双曲线之二顶点(贯轴端点)介于二焦点之间

(3)与与共焦点之锥线可设为

(4)之渐近线为;

之渐近线为;

反之，渐近线为及之双曲线，

其方程式可设为

(5)双曲线上(或)上任一点

到二渐近线距离之积

(6)双曲线()上任一点，过作

二渐近线之并行线，

则与二渐近线之并行线四边形面积为，

而过之任一切线与二渐近线围成之三角形面

积为

(7)共轭轴之长等于贯轴之长之双曲线叫等轴双曲线。

一双曲线为等轴二渐近线互相垂直三长相等

(贯轴长=共轭轴长=正焦弦长)

(8)与互为共轭双曲线

(I)锥线之弦：

(1)二次曲线之弦中点为

，则弦之直线方程式为由及

次式便是（或由根与系数），先求弦之斜率）

(2)求弦长：求y＝mx＋k与之交

点A,B，

1、令

2、利用(b)及根与系数关系代入(a)，求

。

(J)锥线之切线：

(1)二次曲线与一直线恰有一交点之直线(解联

立，消去y后之判别式为0)

(2)切点已之为，二次曲线F：

(注)：若P在F外部，则L为过P之二切线之切点联机方

程式。

(3)切线斜率m之切线

１．

２．

３．(包括圆)

４．

５．

(A)计数原理：

(1)乘法原理：

如果做某件事要经过k个步骤，

而第一个步骤有种方法可做，

第2个步骤有种方法可做，………

第k个步骤有种方法可做：

则完成这件事的方法共有‧

‧………‧种

(2)加法原理：

设作成一事E有m种方法，

作成一事F有n种方法，

若此二事不能同时发生，

则作E或F二事共有m+n种方法。

(3)排容组合：

一个整体内含数个群体，

计数整体之元素个数可由

(各群体元素个数和)

—(群体两两之共有个数)

＋(群体三三共有个数)

—(四四共有个数)＋………

(B)一般直线排列组合：

(1)不重复排列：

(2)重复排列：

由n个不同的事件中，任选出m个，

可以重复选择，排成一列，

叫做n中取m的重复排列。

它的方法数共有种

(C)限制位置之排列：

(1)k人必定相邻：

先视k为一整体，排定后再排此k人之位置

(2)某些人必不相邻之排法：

将这些人叫开，先排其余，然后把这些人排入间

隔

(3)男女相间排法：

先排男人，再把女人排入间隔（或先排女人，再把男人

排入间隔）

(4)某人必须排某位置：

先把此人排入此位置，其余n-1人排入其余n-1位置，

共(n-1)!方法。

例：n人中，甲必须排首之方法共(n-1)

(5)错列公式：

1、（n人排成一列，规定甲不排首）之方法为n!-(n-1)!

（其系数与(a-b)之展开式系数相同）

2、（n人排成一列，规定甲不排首，乙不排第二）

之方法共n！—2(n-1)！+(n-2)！

（其系数与之展开式系数相同）

3、（n人排成一列，规定甲不排首，乙不排第二，丙不

排第三位）

之方法共n！—3(m-1)！+3(n-2)！-(n-3)！

(系数与之展开式系数相同)………依此可继续类

推

(D)环状排列及翻转排列：

(1)环状排列：

1.n个元素，取m个环

状排列为

2.n个元素，全取之环

状排列数为（n-1）！

(2)项链排列：

不同颜色的n颗珠子成一项链有

(环状数)

(3)桌行排列：正n边桌坐法=

(4)翻转排列：

立体图形能自由旋转并翻转时用

翻转排列数=

(E)不尽相异物排列

(1)设有n件物品，含有k种不同种列，其第一类有

件，

第二类有件，…，第k类有件等，则

将此n件排成一列

，共有种不同之排法

(2)快捷方式问题：

有m条横街，有n条纵街之走法有

(3)某些元素顺序不变，但不一定相邻之排法：

中，其中

之顺序前后固定，但不一定相邻的排法有

(F)组合问题

(1)不可重复之组合：

1.自n个不同事物，每次取m个为一组，

每一组称为一种组合，所有组合的种

数称为组合数，

以C(n,m)或表示。

2.之关系：

(2)可重复之组合：

1.从n种不同的物件中，每种都多于m个，

每种对象可重复选取，则此种组合，

称为n中取m的重复组合。

常以(n,m)或S(n,m)表示。

2.H(n,m)之算法：

(G)组合性质：

(1)设，

(2)帕斯卡尔定理：

设则

(3)帕斯卡尔定理讨论：

例：

(注)：对应帕斯卡尔定理，在排列中有如下之性

质：

1.

2.

（H）重复排列与重复组合之比较：

(1)

(2)1.m种不同东西，取n个排列方法为mn方法

2.m种不同东西，取n个为一组方法为

H(n,m)=C(n+m-1,m)

(3)m个相同物给n人之方法数共H(n,m)种。(重复排列)

m个不同物给n人之方法数共nm种。(重复组合)

(4)

(5)方程式

1.非负之整数解有H(n,m)

2.正整数解有H(n,m-n)(其中

mn)

(注)：

则非负整数解为H(n+1,m)种

(6)求下列之元素组(x1、x2、……..、xn)之解的个数

1.共有H(m,n)组解

2.共有C(m,n)组解

3.共有组解

（I）分组、分配、分箱之比较：

(1)先依某些数量分成n堆，然后配给n人

(2)k堆个数相同，则每k！种应合并为一种，

故除以n！

例：把18种不同物依8，5，5分成三堆共种方法

，再给三人，共×3!

种方法。

(3)分箱问题：

1.东西相同，箱子相同算整数分割

数

2.东西相同，箱子不同重复组合

3.东西不同，箱子相同分组问题

4.东西不同，箱子不同分配问题

(实例请参阅徐氏数学规划(四))

（J）有相同元素取部分之排列法：

(1)先讨论各组之异同及组别数

(2)取各组之排法相加

例：自Mississippi之字母中取三字共有多少排法

【解】：4个s，4个i，2个p，1个M

1o三同有种，每种排法，共=2

2o二同一异有种，每种排法，共=27

3o三异有种，每中排法3!，共，

共2+27+24=53种排法。

（Ｋ）二项式定理及多项式定理及组合级数：

(1)二项式定理：

1.

2.

(2)二项式定理之应用(组合级数公式)

1.

2.

3.

4.

(3)多项式定理：

设n、m为任意自然数为任意数，

则=

其中

(A)集合：

(1)集合：由一些明确而可确定之东西所组成之群体，

常用大字英文字母表示。

元素：组合集合(群体)之每个东西叫集合之元素，

常用小自英文字母表示。

(2)空集合：不含任何元素之集合，以或{}表示。]

(3)元素；

之元素

中每一元素均为T之元素

中至少有一元素不在T中

(3)集合运算：

1.联集合：

2.交集合：。

3.差集合：。

4.积集合：。

(5).宇集合及补集：

1.宇集合：

吾人讨论一事，则涉及元素所成之集合

叫做宇集(或基集)通常以表示

2.补集：

(6).集合运算性质：

(设A,B,C表任意三集合)

1.结合律：

2.交换律：；

3.分配律：

4.狄摩根定律：；

(7)有限集合元素个数计算公式：

1.

2.

(B)样本空间与事件：

(1)样本空间：

一项试验中所有可能发生的结果所形成的集合。

(2)样本点：

样本空间中的每一元素(即每一可能发生的结果)，

称为一个样本点或简称样本。

(3)事件：

样本空间中每一部份集合(包括空集合)

均为对此样本空间之一事件，简称一事件。

(4)余事件：

在一试验中，若A为一事件，S为样本空间，

在S中但不在A之样本点亦成一事件A’，

则A’叫A之余事件。(亦可用表示)

(5)互斥事：

如果，称A,B为互斥事件，

也就是说事件A,B不可能同时发生。

(C)机率

(1)古典机率：

设一样本空间由n个元素所组成，又设

每一元素皆具有相等的机会，则定义事

件A的机率为A中元素个数对n之比。

记为，其中表A之元素

个数。

(2)统计机率；(又叫试验机率)

一实验试行n次其中出现A事件为n(A)

次，则事件A出现机率为

(3)几何机率：

A表事件，则

(D)机率性质：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)若A,B为互斥，则

(6)成功优胜率

(7)A,B为二事件，若

（Ｅ）条件机率：

(1)条件机率：

一实验中，Ｂ事件发生，

而又发生Ａ所占之比称为Ｂ中发生Ａ之条件机率，

以表示。即。

(2)性质：

１．

２．

（Ｆ）样本空间之分割与贝士定

理：

贝士定理：

若时，

且（样本空间）

Ａ，Ｂ为任二事件，

则＋

而

（注）：利用公式如嫌太烦，则用树形图观察。

（Ｇ）独立事件：

(1)二事件独立：

设A，B为样本空间S中的任二事件…。

若，则称A，B为独立事件。

(2)三事件独立：

若下列条件对任意三事件Ａ，Ｂ，Ｃ均成立，

则称Ａ，Ｂ，Ｃ三事件独立。

１.

２.

３.

４.

(3)注意：

1、Ａ，Ｂ独立（无关）P(Ａ│Ｂ)＝Ｐ（Ａ）；Ｐ（Ｂ│Ａ）＝Ｐ（Ｂ）

2、Ａ，Ｂ独立

3、Ａ，Ｂ，Ｃ两两独立，并不保证Ａ，Ｂ，Ｃ独立。

(H)重复试

验：

(1)设在某实验中，一事件成功之机率为p，失败之机率为q，

则连续试验n次中：

1.洽有r次成功之机率－

2.至少成功一次之机率

(2)重复轮流试验，可先求较一循环优胜率再求机率

(I)期望值：

(1)期望值：

某事件成功机率X成功时所得的值=m‧p，通常以E表之即

可能值M1M2…………Mk

机率P1P2…………Pk

则期望值

注：许多情况，其期望值都在求奖金，但也不一定是求奖金

(2)和之期望值=期望值之和

即

但积之期望值不一定成立

注意：独立事件，则（积之期望值）=（期望值之积）

例：投二骰子之点数积之期望值

＝（投一骰子点期望值）２＝

(3)重复试验：

一次成功率为p，则试验n次之成功次树脂期望值为np←

（一次成功之期望值为E1=P，而n次之成功之期望值En=nE1=np）

(4)袋中N个球，其中m个白球，任取n球之白球数之其期望值为←

（取一球为白之期望值E1=，取n球之期望值En=nE1=）

(A)函数：

(1)从A映至B函数：

从A到B之对应中若对于A中每一元素，在B恰有一个对应元素，

这种对应方式叫从A映至B之一函数，以表示。

(2)设则

1.函数值：表A中之x在B中之对应元素，叫x之函

数值。

2.定义域及对应域：从A到B之函数，A叫定义域，B叫对应

域。

3.值域：从A到B之函数中，一切函数值所成之集合叫值域，

以表示，即。

4.当一函数之定义域省略未写时，

则定义域为使变量为实数之一切元素之集合。

(3)映成函数：

设若则称是一个从A映成B之函数，

简称为映成函数或盖射。

(4)一对一函数：

设若

，

则称做是一个从A映至B的一对一函数，

简称为嵌射函数，记做1-1函数。

(5)反函数：

若，且为一对一，

则且

(6)增函数：且满足

减函数：且满足

(7)周期函数：存在正数p使者，最小正数p为周期。

(8)偶函数：函数是偶函数

(9)奇函数：函数是奇函数

(A)函数之极限

(1)设为一函数，若x趋近定值a时，

如果会趋近一定数A时，称A为在x=a之极限。

以记号表示；

又如果而不趋近一定值时，则不存在。

(2)当则趋近，

则为不能判断之不定型，

则进一步化简(变化)使为定值或判断出不存在。

(B)导数与导函数：

(1)导数的定义：

设为一函数，若存在，

其极限称为在x=a之导数，

以表示，此时称在x=a可微分。

(2)导函数

(3)若函数在x=a处有导数，则。

【注】：求得导函数，吾人求x=a处之导数，便是直接以x=a代入而得。

(C)微分公式：

【注】：之简写，其余类推…。

(D)连锁规则及隐函数之微分

(1)连锁规则：

(2)隐函数之微分

化为y=f(x)不易时，

直接视y为x之函数求出

(E)绘图与极值

y=f(x)再区间之每一个元素h满足：

(1)由y=f(x)之正负判断递增或递减：

1.若表示在区间为右上升。

2.若表示在区间为右下降。

3.若表示在点之切线为水平切线。

(2)凹口向上或向下：

1.若表示在区间内，图形凹性向上。

2.若表示在区间内，图形凹性向下。

3.若表示在处图形为反曲点。

(3)判断极值位置：

1.先求，，再由求出可能为极值之，

又由之解看出反曲点位置。

2.若且，，

则在处产生极大，而极大值。

若且，，

则在处产生极小，而极小值。

3.若，，

则在处产生极大，而极大值。

若，，

则在处产生极小，而极小值。

(4)描点：实际求出一些点，连接描画之曲线。

(F)曲线之切线斜率：

(1)处之切线斜率为

(2)切点为之切线斜率为(利用隐函数微分法)(G)二次曲

线之切线:

(1)之切线为

(2)已知切线过某一点，而二次曲线=0则应

(a)检查上，如已经在上，

则可用切线公式

(b)上，可令切线为

则有重合交点

(消去一变数可得等

根，求出m)

(3)以知切线之二次曲线之切线:当切线之斜率为时知切线公式

注：若表斜率之方向无切线

(A)积分定义：

(1)当

则就表示y=f(x)的图形与直线

y=0，x=a，x=b所围成的区域面积。

(2)设a＜b，为a

到b之n等分点

△x=则

(B)积分性质及基本公式：

(1)(n-1时)

(2)

(其中n-1，u为x之可微函数)

(3)

(4)

(5)，c为常数

(6)

(7)若为奇函数，则；

若为偶函数，

(8)

(9)设a＜c＜b，则

(10)设均可微函数，则

。

(C)面积与积分：

(1)，

则，

围成区域面积

(2)，

则，

围成之面积

(3)

(D)体积与积分：

(1)中连续，

则其绕轴旋转所得之体积为…(圆盘法)

(2)在中连续，

则其绕轴旋转所得之体积为…(圆盘法)

(3)在与轴所围区域绕轴

旋转所得之体积为…(圆柱壳法)

(A)三角函数之极限:

(1)则sinx

(2)

(B)三角函数之微分:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(C)三角函数之积分:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(D)尤拉数：

(1)

(2)

(3)

（Ｅ）对数之微分、积分公式：

(F)指数函数之微分与积分公式：

(1)

(2)；

(3)；

(4)；

(G)三角函数应用对数之积分公式：

(1)

(2)

(3)

(4)

(A)贾线—霍纳法：

(1)设是次多项式，设，若，

则方程式在与间至少有一实根。

(2)逐次缩小与距离，可求得之实根近似值。

(B)牛顿法：

之一实根近似值，

则为一更好之近似值，

又更接近实根之更好近似值，

依此类推，可求得极相近之实根近似值。

【注】：设，若如何选较好呢（或）

答：应取使较佳。

（Ｃ）泰勒展开法：

可微函数之次似式：

【注】：求之近似值，

便是以代入近似求之。

（Ｄ）平方根求

法：

（１）传统方法：

使用公式

一位数一位数地求下去

（２）阿基米得方法：使用下列公式：

（符号取顺）

（３）泰勒式展开方法：

令附近之近似式

（４）牛顿法：

欲求的近似值，可令

则

使牛顿法时，取

，则

(E)三角函数与对数函数的n次泰勒展开式：

(1)在附近的n次泰勒展开式

(2)在附近的n次泰勒展开式

(3)在附近的n次泰勒展开式

(4)

（Ｆ）精确度：

设的一个近似值，若的误差

小于，即是自然数，

则称精确到小数第位。

（注意区别正确到小数第位之不同）

（Ｇ）定积分的近似求法：

矩形法：

左端点矩形法：

右端点矩形法：

中点矩形法：

梯形近似值左端矩形值右端矩形值

抛物线近似值中点矩形近似值梯形矩形值值

(A)列运算

(1)将某一矩阵某一列之各元都乘一数值，

所得之积对应地加入到另一列乘某一数值加到另一列

﹝简写为将一矩阵某一列乘某一数值加到另一列﹞。

(2)将一矩阵之某一列乘以一个不为零的数。

(3)将一矩阵中之某二列互换位置。

(B)简化矩阵及秩：

(1)简化矩阵：

将一矩阵进行列运算，可使每一个不为零之列中，

第一个不等于0的元所属的行中只有这个元不等于0

，如此之矩阵叫简化矩阵

(2)设A为一矩阵，则将A依循任何程序实施列运算，

所得简化矩阵中包含不为0之元的列数是一个固定值，

此定值就是矩阵A的秩

(3)一次方程式组之解与秩之关系：

(1)设(L)唯一个一次方程式。

(a)若(L)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，则方程组(L)有解。

(b)若(L)的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等，则方程组(L)无解。

(2)设(L)是一个n元依次方程组，若(L)的系数矩阵与增广矩阵的秩都是k，

则k≦n，而且在(L)的解中，有n-k个未知数可以选为任意数。

(C)矩阵之运算:

(1)加法：同阶矩阵可相加，各位置元素为对应元素相加。

(2)系数积：设则rR与A同阶，而rA之元素为A对应元素乘r。

(3)乘积：两个矩阵A与B，若A是m×n矩阵，B是n

×p矩阵，

则其乘积AB是一个m×p矩

阵，而且AB的每个(I，j)元

都等于A的第i列中各元(共有n个

元)与

B的第j行中各对应元(也

有n个元)之乘积的和。

【注】：矩阵乘积不可交换，但可结合。

(D)旋转矩阵：

(1)若则

1.

2.

3.

4.

5.

(2)以原点O为中心，把A旋转角到A’位置，

则A’之坐标为

(E)乘法反元素：

(1)若A=，

且=ad-bc≠0

则

(2)n阶方阵

子方阵：中去掉第I列及第j行后之方阵

余因子：

伴随方阵：设A=，作方阵

A称为A的伴随方阵

则

(F)最小平方法与最适合直线：

最适合直线求法：

设y=a+bx为，之最适合直线：

则

解出a，b后亦得最适合直线为

(G)马可夫链:

推移矩阵：

设有一个马可夫链，

其可能出现的不同状态有，

而由状态变成的机率为

令

且

则我们称这个马可夫链的推一矩阵