垂心

-1-

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

1．O是

ABC

的重心



0OCOBOA

;

若O是

ABC

的重心，则ABCAOBAOCBOC

S

3

1

SSS





故

0OCOBOA

;

1

()

3

PGPAPBPCG

为

ABC

的重心.

2．O是

ABC

的垂心



OAOCOCOBOBOA

;

若O是

ABC

(非直角三角形)的垂心，则

CtanBtanAtanSSS

AOBAOCBOC

：：：：



故

0OCCtanOBBtanOAAtan

3．O是

ABC

的外心



|OC||OB||OA|

(或

222

OCOBOA

)

若O是

ABC

的外心则

C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSS

AOBAOCBOC





：：：：

故

0OCC2sinOBB2sinOAA2sin

4．O是内心

ABC

的充要条件是

0)

|CB|

CB

|CA|

CA

(OC)

|BC|

BC

|BA|

BA

(OB)

AC

AC

|AB|

AB

(OA

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记

CA,BC,AB

的单位向量为321

e,e,e

，则刚才O是

ABC

内心的充要条件可以写成

0)ee(OC)ee(OB)ee(OA

322131



，O是

ABC

内心的充要条件也可以是

0OCcOBbOAa

。若O是

ABC

的内心，则

cbaSSS

AOBAOCBOC

：：：：



故

0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或

;

||||||0ABPCBCPACAPBP是ABC的内心;

向量()(0)

||||

AC

AB

ABAC

所在直线过ABC的内心(是BAC的角平

分线所在直线)；

(一)将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

)(

AC

AC

AB

AB

OAOP，,0则P点的轨迹一定通过ABC的（）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：因为

AB

AB

是向量AB的单位向量设AB与

AC

方向上的单位向量分别为

21

ee和，又

A

C

B

1

e

2

e

P

-2-

APOAOP，则原式可化为)(

21

eeAP，由菱形的基本性质知AP平分

BAC

，那么在

ABC

中，AP平分

BAC

，则知选B.

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2．H是△ABC所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点H是△ABC的垂心.

由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(,

同理ABHC，BCHA.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（D）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0,0)(CAPBPCPAPB即

则ABPCBCPACAPB,,同理所以P为ABC的垂心.故选D.

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4．G是△ABC所在平面内一点，GCGBGA=0点G是△ABC的重

心.

证明作图如右，图中GEGCGB

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中

线.

将GEGCGB代入GCGBGA=0，

得EGGA=0GDGEGA2，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））

例5．P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心)(

3

1

PCPBPAPG.

证明CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG

∵G是△ABC的重心∴GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3

由此可得)(

3

1

PCPBPAPG.（反之亦然（证略））

例6若O为ABC内一点，

0OAOBOC

，则O是ABC的（）

A．内心B．外心C．垂心D．重

心

解析：由

0OAOBOC

得

OBOCOA

，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则

-3-

A

B(x

1

,0)

C(x

2

,y

2

)

y

x

H

Q

G

D

E

F

OBOCOD，由平行四边形性质知

1

2

OEOD

，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性

质，所以是重心，选D。

(四)将平面向量与三角形外心结合考查

例7若

O

为

ABC

内一点，OAOBOC，则

O

是

ABC

的（）

A．内心B．外心C．垂心D．重心

解析：由向量模的定义知

O

到

ABC

的三顶点距离相等。故

O

是

ABC

的外心，选B。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量

1

OP，

2

OP，

3

OP满足条件

1

OP+

2

OP+

3

OP=0，|

1

OP|=|

2

OP|=|

3

OP|=1，

求证△P

1

P

2

P

3

是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）

证明由已知

1

OP+

2

OP=-

3

OP，两边平方得

1

OP·

2

OP=

2

1

，

同理

2

OP·

3

OP=

3

OP·

1

OP=

2

1

，

∴|

21

PP|=|

32

PP|=|

13

PP|=3，从而△P1

P

2

P

3

是正三角形.

反之，若点O是正三角形△P

1

P

2

P

3

的中心，则显然有

1

OP+

2

OP+

3

OP=0且|

1

OP|=|

2

OP|=|

3

OP|.

即O是△ABC所在平面内一点，

1

OP+

2

OP+

3

OP=0且|

1

OP|=|

2

OP|=|

3

OP|点O是正△P1

P

2

P

3

的中心.

例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共

线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B

（x

1

,0）、C(x

2

,y

2

)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

112222,0)(,)(,)

22222

xxxyxy

EF



D（、、

由题设可设1

324

,)(,)

2

x

QyHxy（、

,

122(,)

33

xxy

G



212

243

(,)(,)

222

xxy

AHxyQFy，

212

(,)BCxxy

22124

221

4

2

()0

()

AHBC

AHBCxxxyy

xxx

y

y



•





212

223

2212

3

2

()()0

222

()

22

QFAC

xxy

QFACxyy

xxxy

y

y



•





1212212

243

23()

(,),)

22

xxxxxxy

QHxyy





2

（

22y

-4-

21122122212

3

2

2()

(,),)

32332

23()23()

1

(,)(,)

632

1

=

3

xxxyxxyxxxy

QGy

xxxxxyxxxxxy

QH









2

22

（

62y

66y22y

即=3QHQG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2

例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证

OCOBOAOH.

证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.

连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.

∴ABAD，

BCCD

.又垂心为H，

BCAH

，

ABCH

，

∴AH∥CD，CH∥AD，

∴四边形AHCD为平行四边形，

∴OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距

离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证

OHOG

3

1



证明按重心定理G是△ABC的重心)(

3

1

OCOBOAOG

按垂心定理OCOBOAOH由此可得

OHOG

3

1

.

一、“重心”的向量风采

【命题1】G是ABC△所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G是ABC△的重心．如图

⑴.

A'

G

C

A

B

【命题2】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足

()OPOAABAC，(0)，，则P的轨迹一定通过ABC△的重心.

图⑴图⑵

M

P

C

B

A

O

-5-

【解析】由题意()APABAC，当

(0)，

时，由于()ABAC表示

BC

边上的中线所在

直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过

ABC△

的重心，如图⑵.

二、“垂心”的向量风采

【命题3】P是ABC△所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC△的垂心．

【解析】由PAPBPBPC，得()0PBPAPC，即0PBCA，所以PBCA⊥．同理可证

PCAB⊥，PABC⊥．∴P是ABC△的垂心．如图⑶.

P

A

B

C

【命题4】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足

coscos

ABAC

OPOA

ABBACC













，

(0)，

，则动点P的轨迹一定通过

ABC△

的垂心．

【解析】由题意

coscos

ABAC

AP

ABBACC













，由于

0

coscos

ABAC

BC

ABBACC











，

即0

coscos

ABBCACBC

BCCB

ABBACC



,所以

AP

表示垂直于

BC

的向量，即P点在过点A且

垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采

【命题5】已知I为

ABC△

所在平面上的一点，且

ABc

，

ACb

，

BCa

．若

0aIAbIBcIC

，则I是ABC△的内心．

图⑶图⑷

图⑸

图⑹

H

F

E

M

A

B

C

O

P

A

B

C

O

P

b

a

c

I

A

C

B

-6-

O

C

A

B

【解析】∵

IBIAAB

，ICIAAC，则由题意得()0abcIAbABcAC，

∵

ABAC

bABcACACABABACACAB

ABAC











，

∴

bcABAC

AI

abc

ABAC













．∵

AB

AB

与

AC

AC

分别为

AB

和AC方向上的单位向量，

∴

AI

与BAC∠平分线共线，即AI平分BAC．

同理可证：BI平分

ABC

，

CI

平分

ACB

．从而I是

ABC△

的内心，如图⑸.

【命题6】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC

OPOA

ABAC













，

(0)，

，则动点P的轨迹一定通过

ABC△

的内心．

【解析】由题意得

ABAC

AP

ABAC













，∴当

(0)，

时，

AP

表示

BAC

的平分线所在直

线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过

ABC△

的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采

【命题7】已知O是ABC△所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC△的外心．

【解析】若222OAOBOC，则222OAOBOC

，∴

OAOBOC

，则O是ABC△的

外心，如图⑺。

【命题7】已知O是平面上的一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足

2

coscos

OBOCABAC

OP

ABBACC















，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的外心。

图⑺

M

O

B

C

A

P

图⑻

-7-

【解析】由于

2

OBOC

过

BC

的中点，当

(0)，

时，

coscos

ABAC

ABBACC













表示垂直于

BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过

ABC△

的外心，如图⑻。

补充练习

1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足

OP

=

3

1

(

2

1

OA

+OB

2

1

+2

OC

),则点P一定为三角形ABC的（B）

边中线的中点边中线的三等分点（非重心）

C.重心边的中点

1.B取AB边的中点M，则

OMOBOA2

，由

OP

=

3

1

(

2

1

OA

+

OB

2

1

+2

OC

)可得

3

MCOMOP23

，∴

MCMP

3

2



，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且

点P不过重心，故选B.

2．在同一个平面上有

ABC

及一点Ｏ满足关系式：2OA＋2BC＝2OB＋2CA＝2OC＋

2AB，则Ｏ为ABC的（D）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：

0PAPBPC

，则P为ABC的

（C）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

3．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

)(ACABOAOP，则P的轨迹一定通过△ABC的（C）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：

0PAPCPAPBPBPC•••

，则P点为三角形的（D）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：

0aPAbPBcPC•

，则P点

为三角形的（B）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

6．在三角形ABC中，动点P满足：CPABCBCA•2

22

，则P点轨迹一定通过△ABC的：

（B）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

-8-

7.已知非零向量AB

→

与AC

→

满足(

AB

→

|AB

→

|

+

AC

→

|AC

→

|

)·BC

→

=0且

AB

→

|AB

→

|

·

AC

→

|AC

→

|

=

1

2

,则△ABC为()

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形

解析：非零向量与满足(

||||

ABAC

ABAC



)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又

cosA

||||

ABAC

ABAC



=

1

2

，∠A=

3



，所以△ABC为等边三角形，选D．

的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=1

9.点O是

ABC

所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点O是

ABC

的（B）

（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点（D）三条高的交点

10.如图1，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AMxAB，

ANyAC，则

11

3

xy

。

证点G是ABC的重心，知GAGBGCO，

得()()AGABAGACAGO，有

1

()

3

AGABAC

。又M，N，G三点共线（A不在直线MN

上），

于是存在

,，使得(1)AGAMAN且，

有AGxAByAC=

1

()

3

ABAC

，

得

1

1

3

xy



















，于是得

11

3

xy

。

-9-

1、课前练习

1.1已知O是△ABC内的一点，若

222OCOBOA，则O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

1.2在△ABC中，有命题①BCACAB；②0CABCAB；③若0•ACABACAB，

则△ABC为等腰三角形；④若0•ACAB，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕

A、①②B、①④C、②③D、②③④

例1、已知△ABC中，有

0•





















BC

AC

AC

AB

AB

和

2

1

•

AC

AC

AB

AB

,试判断△ABC的形状。

练习1、已知△ABC中，aAB，bBC，B是△ABC中的最大角，若0•ba，试判断△ABC

的形状。

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题

例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足

222222

ABOCACOBBCOA，则

O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足





















,0,

AC

AC

AB

AB

OAOP

，

则动点P一定过△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足















,0,

2

1

BCABOAOP，则动点P的轨迹一定通过△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足























,0,

coscos



CAC

AC

BAB

AB

OAOP

，则动点P一定过△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足



























,0,

coscos

2



CAC

AC

BAB

ABOCOB

OP

，则动点P一定过△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

-10-

例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且

ACyANABxAM••,，求证：3

11



yx

7、作业

1、已知O是△ABC内的一点，若0OCOBOA，则O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且0OCOBOA，则OBOA•等于〔〕

A、

2

1

B、0C、1D、

2

1



3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若

0•••OCcOBbOAa，则O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足APACAB3，则P是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足0OCOBOA，1OCOBOA，求证：

△ABC为正三角形。

6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求)(OCOBOA