七年级数学补习

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【关键字】数学

期末复习—有理数、代数式及其运算

【本讲教育信息】

一.教学内容：

期末复习——有理数、代数式及其运算

2、知识与结构

1.有理数及其运算

2.代数式及其运算

三、方法与思考

1.比较有理数的加法运算律和乘法运算律与小学学过的运算律的异同；

2.回顾有理数的运算法则，想一想：这与小学学过的运算律有什么不同；

3.总结有理数运算的基本方法，以及简化运算的技巧，知道哪些数学思想方法？

4.梳理所学知识，形成一定的体系，并逐步掌握用代数式表达数量关系或变化规律的方法；

5.理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联

系；

6.经历探索事物之间的数量关系，并用字母与代数式表示，建立初步符号感，发展抽象思维．

四、错题回放

1.代数式书写规范．如a的倍写成a，应为．

2.代数式描述语句顺序不理解．如a，b两数的平方和写成，应为．

3.合并同类项中出错．如，．

4.去括号中符号出错．如，．

5.探索规律出错．如由1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，1＋3＋5＋7＋9

＝25＝52，…猜想1＋3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝n2(n为正整数)

【典型例题】

例1.如图，在数轴上有三个点A、B、C，回答下列问题：

（1）将B点向右移动6个单位，三个点中哪个点所表示的数最小？

（2）将C点向左移动6个单位，三个点中哪个点所表示的数最小？

（3）怎样移动A、B、C中两个点，才能使三个点所表示的数相同？有几种移动方法？

分析：注意移动的方向及相关点所对应的有理数．

解：（1）B点向右移动6个单位就为-1+6=5，所以三个点中A点-2最小；

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（2）C点向左移动6个单位就为2-6=-4，所以三个点中C点-4最小；

（3）有三种方法：

①将B点向左移动1个单位；将C点向左移动4个单位；则三个数都为-2

②将A点向右移动1个单位；将C点向左移动3个单位；则三个数都为-1

③将A点向右移动4个单位；将B点向右移动3个单位；则三个数都为2

例2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中O是原点，=．

（1）用“<”把a、b、－a、－b连接起来；

（2）b＋c的值是多少？

（3）判断a＋b与a＋c的符号．

分析：比较a、b、－a、－b的大小时，可根据互为相反数的两个数在原点两侧，并且到原点的

距离相等这一原理，在数轴上画出表示－a、－b的两点，即可得它们的大小关系．

解：（1）a

（2）b＋c=0

（3）a＋b<0为“-”；a＋c<0也为“-”

说明：此题也可结合数轴，让问题“具体化”，如取a、b、c的值，算出－a、－b的值，把它们

大小比较出来后再“一般化”．

例3.计算：

（1）；

（2）．

分析：（1）对要注意与的区别，许多同学会混淆；

（2）对有理数的混合运算，应先乘方再乘除后加减，如果有括号，还应先进行括号里的运算．第

（2）题中每个加数都有，因此可以逆用分配律进行计算．

解：（1）原式=

=

=

=

（2）原式=

=

=18)8(

4

9



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例4.某医院急诊病房收治了一位病人，每隔2时测得该病人的体温如下表（单位：℃）（正常人

的体温是37℃）

（1）这位病人在这一天8时到18时之间，哪个时刻的体温最高？哪个时刻的体温最低？

（2）该病人这一天的平均体温是多少摄氏度？

（3）以正常体温37℃为原点，用折线图表示该病人体温的变化情况．

解：

（1）14时的体温最高；18时的体温最低

（2）[（+1.5）+（＋1.8）+（+2.5）+（＋2.6）+（+1）+（＋0.5）]÷6=1.65

37+1.65=38.65

（3）图略（描点连线）

例5.3个球队进行单循环比赛（参赛的每个队都与其他队赛一场），总的比赛场数是多少？4个

球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数n的公式．

解：3个球队进行单循环比赛要赛3场；

4个球队进行单循环比赛要赛6场；

m个球队进行单循环比赛要赛n=

2

)1(mm

场；

说明：每一个球队都可以有（m-1）场比赛，一共有m个球队，所以有m（m-1）场比赛，但由

于是单循环，所以每两个球队只需要赛一场。因此总场数为

2

)1(mm

场。

例6.先化简，再求值：

2

3

1

)1(23

2

1

2222abbaabba

，其中22ba，．

解：原式=

2

3

1

223

2

1

2222abbaabba

=

)

3

1

3()2

2

1

(2222ababbaba

=22

3

8

2

3

abba

当22ba，时，上式=222)2(

3

8

2)2(

2

3



=

)

3

64

(12

=

3

1

33

时刻8时10时12时14时16时18时

体温38.538.839.539.63837.5

与正常人的正

常体温的差值

+1.5＋1.8+2.5＋2.6+1＋0.5

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例7.有若干个数，第1个数记为

1

a，第2个数记为

2

a，第3个数记为

3

a，…，第n个数记为

n

a，

若

2

1

1

a，从第2个数起，每一个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”则①

2

a，

3

a＝，

4

a；②根据以上结果可知：

1998

a，

1999

a．

解：①

2

a

3

2

2

3

1

)

2

1

(1

1





3

a

＝3

3

1

1

3

2

1

1





②根据以上结果可知：

1998

a3，

1999

a

2

1



说明：由

1

a、

2

a、

3

a、

4

a可知，每3个数一个循环，也就是

2

1

、

3

2

和3这3个数循环出现。

因此我们用1998÷3余0知，

1998

a应为末尾的3；而1999÷3余1知，

1999

a则应为第一个数

2

1

。

【模拟试题】（答题时间：90分钟）

一、选择题：

1.

2

1

的相反数是（）

A.－2B.2C.

2

1

D.

2

1

2.如果一个数的平方等于它的倒数，那么这个数一定是（）

A.0B.1C.－1D.1或－1

3.如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（）

A.一定都是负数B.至少有一个是负数

C.一定都是非正数D.一定是一个正数和一个负数

4.下列结论中，不正确的是（）

A.1除以非零数的商，叫做这个数的倒数

B.两个数的积为1，这两个数互为倒数

C.一个数的倒数一定小于这个数

D.一个数和它的倒数的商等于这个数的平方

5.有下列各数，0.01，10，－6.67，

3

1

，0，－90，－（－3），2，24，其中属于非

负整数的共有（）

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A.1个B.2个C.3个D.4个

6.下图所示是一个数值转换机，输入x，输出3（x－1），下面给出了四种转换步骤，其中不正确

的是（）

A.先减去1，再乘以3

B.先乘以3，再减去1

C.先乘以3，再减去3

D.先加上－1，再乘以3

7.下列各组代数式中，不是同类项的是（）

A.222yxyx和－B.332和22和D.

2

3

xy

xy和－

8.如图用火柴棒搭正方形，甲、乙、丙、丁四位同学都用x表示所搭正方形的个数，从而计算火

柴棒的根数，他们计算的结果分别是：（）

甲：4＋3（x－1）；乙：x+x+(x+1)；丙：1＋3x；丁：4x－(x－1)．

其中计算结果正确的同学有（）

A.1位B.2位C.3位D.4位

二、填空题：

9.

6

5

4

3

与－的大小关系：

4

3



6

5

－．

10.绝对值小于4的负整数有个，正整数有个，整数有个．

11.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录如下（规定上升为正，单位：厘米）：

＋3，－6，－1，＋5，－4，＋2，－2，－3，那么这天中水池水位最终的变化情况是．

12.数轴上，与表示－2的点的距离为3的数是．

13.初一（3）班要添置新桌椅，使每人一套桌椅，其中有x行每行7人，另外还有两行8人，则

共需套桌椅，当x＝4时，共需套桌椅．

14.当m＝，n＝时，myx22

3

2

和82

2

1

yxn是同类项．

15.若532xx＝7，则2932xx＝．

16.已知82aba，42bab，则22ba，222baba．

17.列代数式表示

①长方形的周长为20cm，它的宽为xcm，那么它的面积为；

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②某商品的利润为a元，利润率为10%，此商品进价为；

③甲乙两地相距x千米，某人原计划t小时到达，后因故提前1小时到达，则他每小时应比原

计划多走千米；

④托运行李p千克（p为整数）的费用标准：已知托运第1个1千克需付2元，以后每增加1

千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角．若某人托运p千克（p＞1）的行李，则托运费用

为；

⑤一个两位数，它的十位数字为x，个位数字比十位数字大3，则这个两位数为

三、计算与化简：

18.)9(45763；

19.32)23(23；

20.23)

5

3

(

4

3

)1.0(；

21.)

4

1

5(8.0)

3

1

(9

2

1

42













．

22.化简：

①)1(3)1(22aaa②

)6(4)2(322xyxxyx

23.先化简，再求值：

①53235722xxxx，其中

2

1

x

②

22)1(2)(22222abbaabba，其中，2,2ba

四、辨析与思考：

24.①

3

20

320)2()6(20)2()6(20．

辨析：

②



4

3

1

334

2

2

2



＝594

9

1

994．

辨析：

五、操作与解释：

25.某食品厂从生产的食品罐头中，抽出样品20听检查每听的质量，超过和不足标准的部分分别

用正、负数表示，记录如下：

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问：这批样品

平均每听质量比标

准每听质量多或少

几克？

26.生物学家发现，气温y在一定温度内时，某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数x与气温y（单位：℃）

有一定的关

系，下表是通

过实验得到的

一组数据：

（1）根据表中的数据，写出y与x之间的关系式

（2）当这种蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温多少？

27.小王和小张在玩“24”点游戏，他们互相给对方四张牌，要求对方根据牌上的数字凑成“24”

点，他们互给对方的牌上的数字如下：①黑桃1，方块2，红桃2，黑桃3；②方块1，草花3，草花

7和红桃12.请你帮他们凑成“24”点．

28.如图，按一定的规律用牙签搭图形：

（1）按图示的规律填表：

图形标号①②③……⑩

牙签根数……

（2）搭第n个图形需要________________________根牙签．

六、探索与思考：

29.先观察

32

1

21

1







＝)

3

1

2

1

()

2

1

1

1

(＝1－

3

1

＝

3

2

43

1

32

1

21

1











＝)

4

1

3

1

()

3

1

2

1

()

2

1

1

1

(＝1－

4

1

＝

4

3

再计算

)1(

1

43

1

32

1

21

1













nn

的值

30.你能比较两个数2004和的大小吗？

为了解决这个问题，我们首先把它们抽象成一般形式，即比较1)1(nnnn和的大小（n为自

然数），我们从分析特殊向简单的情形入手，令n=1，n=2，n=3，…对其进行分析，从中发现规律，

经过归纳，猜想出结论．

与标准质量的偏差/克－10－50＋5＋10＋15

听数124751

y(℃)2525＋2.525＋525＋7.525＋10…

x(次/分)2030405060…

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（1）计算，比较下列各组数中两个数的大小(在空格中填“＞”、“＝”、“＜”)

2112，

3223

，

4334

，

5445

，

6556

，…

（2）从上面的结果进行归纳猜想，nnnn)1(1和的大小关系是．

（3）根据上面的归纳猜想出一般结论，试比较2004和的大小．

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【试题答案】

1.D2.B3.B4.C5.D6.B7.C8.D

9.>10.3；3；711.下降了6个单位12.-5或1

13.7x+16；4414.m=4，n=115.416.4，12

17.①x(10-x)2cm②

%10

a

元③（

t

x

t

x



1

）千米

④[2+0.5（p-1）]元⑤11x+3

18.解：原式=-9+（-5）=-14

19.解：原式=3)6(43=204)216(12

20.解：原式=

1000

271

100

27

1000

1

25

9

4

3

1000

1



21.解：

原式=)

4

21

(

5

4

9

1

9

2

9















=)

21

4

(

5

4

1

2

9















=)

21

4

(

5

9

2

9















=

35

54

22.解：①原式=533222aaaa

②原式=2472244436222xyxxyxxyx

23.①解：原式=2342xx

当

2

1

x时，上式=2)

2

1

(3)

2

1

(42=

2

5

2

2

3

1

②解：原式=2222222222abbaabba=0

当2,2ba时，上式=0

24.解：①错误。因为除法不满足结合律。

正确的为：

3

5

)

2

1

()

6

1

(20)2()6(20

②错误。一是绝对值为非负数，二是同级运算时应从左往右依次计算。

正确的为：



4

3

1

334

2

2

2



＝

9

1

4

9

1

4

9

1

994

25.解：1)15(5)10(7)5(402)5(1)10(

答：这批样品平均每听质量比标准每听质量多4克。

26.解：（1）)20(25.025xy

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（2）当56x时，

答：当这种蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温是34℃。

27.解：①2438)21(23

②24)17(312

28.（1）

图形标号①②③……⑩

牙签根数2715……155

（2）搭第n个图形需要]

2

)1(3

[n

nn





根牙签

29.解：

)1(

1

43

1

32

1

21

1













nn



30.解：

（1）21<12，

32

<

23

，

43

＞

34

，

54

＞

45

，

65

＞

56

，…

（2）nnnn)1(1（n≤2）；nnnn)1(1（n≥3）

（3）2004

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