初中数学圆的知识点

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《圆》章节知识点复习

名词解释：

1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。

4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。

5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。

7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做

圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。

10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。

12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线。

13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，

这个点叫做切点。

14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到

圆的切线长。

15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。

16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中

垂线）；（补充）

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长

的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都

相等的一条直线。

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C

B

A

O

D

C

B

A

O

d

r

d=r

r

d

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内



dr



点C在圆内；

2、点在圆上



dr



点

B

在圆上；

3、点在圆外



dr



点

A

在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离



dr



无交点；

2、直线与圆相切



dr



有一个交点；

3、直线与圆相交



dr



有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）



无交点



dRr；

外切（图2）



有一个交点



dRr；

相交（图3）



有两个交点



RrdRr；

内切（图4）



有一个交点



dRr；

内含（图5）



无交点



dRr；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即

可推出其它3个结论，即：

①

AB

是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧

BD

⑤弧AC弧

AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵

AB

∥CD

∴弧AC弧

BD

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦

相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，

即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOBDOE；②

ABDE

；

③OCOF；④弧

BA

弧

BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的

一半。

即：∵AOB和ACB是弧

AB

所对的圆心角和圆周角

∴2AOBACB

O

C

D

A

B

F

E

D

C

B

A

O

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E

D

C

B

A

P

B

A

O

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等

弧；

即：在⊙O中，∵C、

D

都是所对的圆周角

∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦

是直径。

即：在⊙O中，∵

AB

是直径或∵90C

∴90C∴

AB

是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或90C

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜

边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于

它的内对角。

即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴180CBAD180BD

九、切线的性质与判定定理

（1）切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MNOA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最

后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条

切线的夹角。

即：∵

PA

、

PB

是的两条切线

∴PAPB

PO平分

BPA

推论1：圆的外切四边形的两组对边的和相等

NM

A

O

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D

E

C

B

P

A

O

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O中，

∵弦

AB

、CD相交于点

P

，

∴PAPBPCPD

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径

所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O中，∵直径ABCD，

∴2CEAEBE

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这

点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O中，

∵

PA

是切线，

PB

是割线

∴2PAPCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到

每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，

∵

PB

、

PE

是割线

∴PCPBPDPE

（5）弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推论1：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：

12

OO垂直平分AB。

即：∵⊙

1

O、⊙

2

O相交于A、B两点

∴

12

OO垂直平分AB

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）外公切线长：

CD2=L2+(R-r)2

（2）内公切线长：

AB2=L2+(R+r)2

十四、圆内正多边形的计算

定理：把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

O

E

D

C

B

A

B

A

O1

O2

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B

A

O

S

l

B

A

O

B

A

O

B

A

O

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n

边形

推论1：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切

圆，这两个圆是同心圆推论2：正n边形的每个

内角都等于（n-2）×180°／n

推论3：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全

等的直角三角形

推论4：正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长

推论5：如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，

因此k(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

特例：

（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；

正三角形面积√3a2／4，a表示边长

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，

::1:1:2OEAEOA：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，

::1:3:2ABOBOA.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：

180

nR

l



；

（2）扇形面积公式：

21

3602

nR

SlR





n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇

形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

2SSS

侧

表底

=222rhr

（2）圆柱的体积：2Vrh

3、圆锥侧面展开图

（1）SSS

侧

表底

=2Rrr

（2）圆锥的体积：2

1

3

Vrh

D

C

B

A

O

母线长

底面圆周长

C1

D1

D

C

B

A

B1

R

r

C

B

A

O