2017高考全国卷1

1

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x<1},B={x|31x},则

A.{|0}ABxxRC.{|1}ABxx

2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心

成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A.

1

4

B.

π

8

C.

1

2

D.

π

4

3.设有下面四个命题

1

:p若复数z满足

1

z

R，则zR；

2

:p若复数z满足2zR，则zR；

3

:p若复数

12

,zz满足

12

zzR，则

12

zz；

4

:p若复数zR，则zR.

其中的真命题为

A.

13

,ppB.

14

,ppC.

23

,ppD.

24

,pp

4．记

n

S为等差数列{}

n

a的前

n

项和．若

45

24aa，648S，则{}

n

a的公差为

A．1B．2C．4D．8

5．函数()fx在(,)单调递减，且为奇函数．若(11)f，则满足21()1xf的

x

的取值范围是

2

A．[2,2]B．[1,1]C．[0,4]D．[1,3]

6.6

2

1

(1)(1)x

x

展开式中2x的系数为

A.15B.20C.30D.35

7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视

图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A.10B.12C.14D.16

8.右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A.A>1000和n=n+1

B.A>1000和n=n+2

C.A1000和n=n+1

D.A1000和n=n+2

9.已知曲线C

1

：y=cosx，C

2

：y=sin(2x+

2π

3

)，则下面结正确的是

A.把C

1

上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个单位长度，得到曲线C

2

B.把C

1

上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得到曲线C

2

C.把C

1

上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个单位长度，得到曲线C

2

D.把C

1

上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

12

个单位长度，得到曲线C

2

10.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l

1

，l

2

，直线l

1

与C交于A、B两点，直线l

2

与C

交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

3

A．16B．14C．12D．10

11.设xyz为正数，且235xyz，则

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取

软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，

4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下

条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A.440B.330C.220D.110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.

14.设x，y满足约束条件

21

21

0

xy

xy

xy

















，则32zxy的最小值为.

15.已知双曲线C：

22

22

1

xy

ab

（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条

渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，

△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕

折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须

作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

2

3sin

a

A

（1）求sinBsinC;

4

（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,90APD,求二面角A-PB-C的余弦值.

19

．（

12

分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取

16

个零件，并测量其尺寸（单位：

cm

）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

N(μ,σ2)

．

（

1

）假设生产状态正常，记

X

表示一天内抽取的

16

个零件中其尺寸在

(μ–3σ,μ+3σ)

之外的零件数，求

P(X

≥

1)

及

X

的数学期望；学科

&

网

（

2

）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在

(μ–3σ,μ+3σ)

之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能

5

出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的

16

个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得

16

1

1

9.97

16i

i

xx



，

1616

2222

11

11

()(16)0.212

1616ii

ii

sxxxx



，其中

x

i为抽取的第

i

个零件

的尺寸，

i=1,2,

…

,16

．

用样本平均数x作为

μ

的估计值

ˆ

，用样本标准差

s

作为

σ

的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程

进行检查？剔除

ˆˆˆˆ

(3,3)

之外的数据，用剩下的数据估计

μ

和

σ

（精确到

0.01

）．

附：若随机变量

Z

服从正态分布

N(μ,σ2)

，则

P(μ–3σ

，

0.997416≈

0.9592

，0.0080.09．

20.（12分）

已知椭圆C：

22

22

=1

xy

ab

（a>b>0），四点P

1

（1,1），P

2

（0,1），P

3

（–1，

3

2

），P

4

（1，

3

2

）中恰有三点在椭圆

C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P

2

点且与C相交于A，B两点.若直线P

2

A与直线P

2

B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

6

21.（12分）

已知函数()fx=ae2x+（a﹣2）ex﹣x.

（1）讨论()fx的单调性；

（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

3cos,

sin,

x

y















（θ为参数），直线l的参数方程为

4,

1,

xat

yt











（t为参数）.

（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.