重庆中学生学习

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．如图，已知二次函数

y=ax2+bx+c

（

a≠0

）的图象如图所示，给出以下四个结论：①

abc=0

，②

a+b+c

＞

0

，③

a

＞

b

，

④4ac

﹣

b2＜

0

；其中正确的结论有（）

A

．

1

个

B

．

2

个

C

．

3

个

D

．

4

个

2．已知抛物线

c

：

y=x2+2x

﹣

3

，将抛物线

c

平移得到抛物线

c′

，如果两条抛物线，关于直线

x=1

对称，那么下列说法

正确的是（）

A

．将抛物线

c

沿

x

轴向右平移

5

2

个单位得到抛物线

c′B

．将抛物线

c

沿

x

轴向右平移

4

个单位得到抛物线

c′

C

．将抛物线

c

沿

x

轴向右平移

7

2

个单位得到抛物线

c′D

．将抛物线

c

沿

x

轴向右平移

6

个单位得到抛物线

c′

3．下列运算正确的是（）

A

．（

a2）3=a5B

．23aaaC

．（

3ab

）2=6a2b2D

．

a6÷a3=a2

4．已知关于

x

的方程2kx1kx10

，下列说法正确的是

A

．当k0时，方程无解

B

．当k1时，方程有一个实数解

C

．当k1时，方程有两个相等的实数解

D

．当k0时，方程总有两个不相等的实数解

5．如图，在

Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝

90°

，

CD

是

AB

边上的中线，

AC

＝

8

，

BC

＝

6

，则∠

ACD

的正切值是

()

A

．

4

3

B

．

3

5

C

．

5

3

D

．

3

4

6．一元二次方程

x2﹣

8x

﹣

2=0

，配方的结果是（）

A

．（

x+4

）2=18B

．（

x+4

）2=14C

．（

x

﹣

4

）2=18D

．（

x

﹣

4

）2=14

7．下列计算正确的是

A

．224aaaB

．624aaaC

．352()aaD

．222)=abab（

8．如图，

Rt△AOB

中，∠

AOB=90°

，

OA

在

x

轴上，

OB

在

y

轴上，点

A

、

B

的坐标分别为（3，

0

），（

0

，

1

），

把

Rt△AOB

沿着

AB

对折得到

Rt△AO′B

，则点

O′

的坐标为（）

A

．

35

22

（，）

B

．

33

22

（，）C

．

235

32

（，）D

．

433

32

（，）

9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯

55

次，则参加酒会的人数为（）

A

．

9

人

B

．

10

人

C

．

11

人

D

．

12

人

10．计算：22

33

11

a

aa





的结果是

()

A

．21

a

x

B

．

3

1a

．

C

．

1

1a

D

．

3

1a

11．如果

k

＜

0

，

b

＞

0

，那么一次函数

y=kx+b

的图象经过

()

A

．第一、二、三象限

B

．第二、三、四象限

C

．第一、三、四象限

D

．第一、二、四象限

12．

1

．桌面上放置的几何体中，主视图与左视图可能不同的是

()

A

．圆柱

B

．正方体

C

．球

D

．直立圆锥

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：

84

、

75

、

75

、

92

、

86

、

99

，则这六位同学成绩的中

位数是

_____

．

14．计算：

21

11

x

xx





___________.

15．化简

2

12

24

a

aa





的结果等于

__

．

16．函数

y=

23

1

x

x





中自变量

x

的取值范围是

_____

．

17．在直角坐标系中，坐标轴上到点

P

（﹣

3

，﹣

4

）的距离等于

5

的点的坐标是．

18．如图，

C

为半圆内一点，

O

为圆心，直径

AB

长为

1cm

，∠

BOC=60°

，∠

BCO=90°

，将

△BOC

绕圆心

O

逆时针

旋转至

△B′OC′

，点

C′

在

OA

上，则边

BC

扫过区域（图中阴影部分）的面积为

_________cm1．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）某服装店用

4000

元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用

6300

元钱购进第二批这种文化

衫，所进的件数比第一批多

40%

，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多

10

元，请解答下列问题：

（

1

）求购进的第一批文化衫的件数；

（

2

）为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致．若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于

4100

元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？

20．（6分）如图

1

，将长为

10

的线段

OA

绕点

O

旋转

90°

得到

OB

，点

A

的运动轨迹为

AB

，

P

是半径

OB

上一动点，

Q

是

AB

上的一动点，连接

PQ

．

（

1

）当∠

POQ

＝时，

PQ

有最大值，最大值为；

（

2

）如图

2

，若

P

是

OB

中点，且

QP

⊥

OB

于点

P

，求BQ的长；

（

3

）如图

3

，将扇形

AOB

沿折痕

AP

折叠，使点

B

的对应点

B

′

恰好落在

OA

的延长线上，求阴影部分面积．

21．（6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字

2

，

3

、

1

．

（

1

）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；

（

2

）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转

动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是

3

的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．

22．（8分）已知关于

x

的一元二次方程22410xxk有实数根．

（

1

）求

k

的取值范围；

（

2

）若

k

为正整数，且方程有两个非零的整数根，求

k

的取值．

23．（8分）如图，

△ABC

是⊙

O

的内接三角形，

AB

是⊙

O

的直径，

OF⊥AB

，交

AC

于点

F

，点

E

在

AB

的延长线

上，射线

EM

经过点

C

，且∠

ACE+∠AFO=180°.

求证：

EM

是⊙

O

的切线；若∠

A=∠E,BC=3，求阴影部分的面积

.

（结果保留



和根号）

.

24．（10分）

2018

年春节，西安市政府实施

“

点亮工程

”

，开展

“

西安年

·

最中国

”

活动，元宵节晚上，小明一家人到

“

大

唐不夜城

”

游玩，看美景、品美食。在美食一条街上，小明买了一碗元宵，共

5

个，其中黑芝麻馅两个，五仁馅两个，

桂花馅一个，当元宵端上来的时候，看着五个大小、色泽一模一样的元宵，小明的爸爸问了小明两个问题：

（

1

）小明吃到第一个元宵是五仁馅的概率是多少？请你帮小明直接写出答案。

（

2

）小明吃的前两个元宵是同一种馅的元宵概率是多少？请你利用你列表或树状图帮小明求出概率。

25．（10分）如图，在

△ABC

中，

（

1

）求作：∠

BAD=∠C

，

AD

交

BC

于

D

．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．

（

2

）在（

1

）条件下，求证：

AB2=BD•BC

．

26．（12分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有

两辆汽车经过这个十字路口．

(1)

试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率．

(2)

求至少有一辆汽车向左转的概率．

27．（12分）已知：如图，抛物线

y=ax2+bx+c

与坐标轴分别交于点

A

（

0

，

6

），

B

（

6

，

0

），

C

（﹣

2

，

0

），点

P

是线段

AB

上方抛物线上的一个动点．

（

1

）求抛物线的解析式；

（

2

）当点

P

运动到什么位置时，

△PAB

的面积有最大值？

（

3

）过点

P

作

x

轴的垂线，交线段

AB

于点

D

，再过点

P

做

PE∥x

轴交抛物线于点

E

，连结

DE

，请问是否存在点

P

使

△PDE

为等腰直角三角形？若存在，求出点

P

的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、

C

【解析】

根据图像可得：

a<0

，

b<0

，

c=0

，即

abc=0

，则①正确；

当

x=1

时，

y<0

，即

a+b+c<0

，则②错误；

根据对称轴可得：－

=

－，则

b=3a

，根据

a<0

，

b<0

可得：

a>b

；则③正确；

根据函数与

x

轴有两个交点可得：－

4ac>0

，则④正确

.

故选

C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质

.

能通过图象分析

a

，

b

，

c

的正负，以及通过一些特殊点的位置得出

a

，

b

，

c

之间的关系是解

题关键

.

2、

B

【解析】

∵抛物线C

：

y=x2+2x

﹣

3=

（

x+1

）2﹣

4

，

∴抛物线对称轴为x=

﹣

1

．

∴抛物线与y

轴的交点为

A

（

0

，﹣

3

）．

则与

A

点以对称轴对称的点是

B

（

2

，﹣

3

）．

若将抛物线

C

平移到

C′

，并且

C

，

C′

关于直线

x=1

对称，就是要将

B

点平移后以对称轴

x=1

与

A

点对称．

则

B

点平移后坐标应为（

4

，﹣

3

），

因此将抛物线

C

向右平移

4

个单位．

故选

B

．

3、

B

【解析】

分析：本题考察幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方和同底数幂的除法

.

解析：3

26aa，故

A

选项错误；

a3·

a

=

a4故

B

选项正确；

(3

ab

)2=9

a2b2故

C

选项错误

;

a6÷

a3=

a3故

D

选项错误

.

故选

B.

4、

C

【解析】

当k0时，方程为一元一次方程x10有唯一解．

当k0时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：

∵221k4k1k1，

∴当k1时，方程有两个相等的实数解，当k0且k1时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法

C

正

确．故选

C

．

5、

D

【解析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

CD

＝

AD

，再根据等边对等角的性质可得∠

A

＝∠

ACD

，然后根据

正切函数的定义列式求出∠

A

的正切值，即为

tan∠ACD

的值．

【详解】

∵CD

是

AB

边上的中线，

∴CD

＝

AD

，

∴∠A

＝∠

ACD

，

∵∠ACB

＝

90°

，

BC

＝

6

，

AC

＝

8

，

∴tan∠A

＝

63

84

BC

AC



，

∴tan∠ACD

的值

3

4

．

故选

D

．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠

A

＝

∠ACD

是解本题的关键．

6、

C

【解析】

x2-8x=2

，

x2-8x+16=1

，

（

x-4

）2=1

．

故选

C

．

【点睛】本题考查了解一元二次方程

-

配方法：将一元二次方程配成（

x+m

）2=n

的形式，再利用直接开

平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

7、

B

【解析】

试题分析：根据合并同类项的法则，可知2222aaa，故

A

不正确；

根据同底数幂的除法，知624aaa，故

B

正确；

根据幂的乘方，知3

26aa，故

C

不正确；

根据完全平方公式，知2

222ababab，故

D

不正确

.

故选

B.

点睛：此题主要考查了整式的混合运算，解题关键是灵活应用合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，

乘法公式进行计算

.

8、

B

【解析】

连接

OO′

，作

O′H⊥OA

于

H

．只要证明

△OO′A

是等边三角形即可解决问题

.

【详解】

连接

OO′

，作

O′H⊥OA

于

H

，

在

Rt△AOB

中，∵

tan∠BAO=

OB

OA

=

3

2

，

∴∠BAO=30°

，

由翻折可知，∠

BAO′=30°

，

∴∠OAO′=60°

，

∵AO=AO′

，

∴△AOO′

是等边三角形，

∵O′H⊥OA

，

∴OH=

3

2

，

∴OH′=3OH=

3

2

，

∴O′

（

3

2

，

3

2

），

故选

B

．

【点睛】

本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊

三角形，利用特殊三角形解决问题．

9、

C

【解析】

设参加酒会的人数为

x

人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯

55

次，列出一元二次方程，解之即可得出答案

.

【详解】

设参加酒会的人数为

x

人，依题可得：

1

2

x

（

x-1

）

=55

，

化简得：

x2-x-110=0

，

解得：

x

1

=11

，

x

2

=-10

（舍去），

故答案为

C.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程

.

10、

B

【解析】

根据分式的运算法则即可求出答案．

【详解】

解：原式

=2

3-3

1

a

a

=2

3-1

1

a

a

（）

=

3

1a

故选；

B

【点睛】

本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

11、

D

【解析】

根据

k

、

b

的符号来求确定一次函数

y=kx+b

的图象所经过的象限．

【详解】

∵k

＜

0

，

∴一次函数y=kx+b

的图象经过第二、四象限．

又∵

b

＞

0

时，

∴一次函数y=kx+b

的图象与

y

轴交与正半轴．

综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．

故选

D

．

【点睛】

本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与

k

、

b

的关系．解答本题注意理解：直线

y=kx+b

所在的位置与

k

、

b

的符号有直接的关系．

k

＞

0

时，直线必经过一、三象限．

k

＜

0

时，直线必经过二、四象限．

b

＞

0

时，直线与

y

轴

正半轴相交．

b=0

时，直线过原点；

b

＜

0

时，直线与

y

轴负半轴相交．

12、

B

【解析】试题分析：根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视

图，正方体主视图与左视图可能不同，故选

B

．

考点：简单几何体的三视图．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

85

【解析】

根据中位数求法

,

将学生成绩从小到大排列

,

取中间两数的平均数即可解题

.

【详解】

解：将六位同学的成绩按从小到大进行排列为：

75,75,84,86,92,99,

中位数为中间两数

84

和

86

的平均数

,

∴这六位同学成绩的中位数是85.

【点睛】

本题考查了中位数的求法

,

属于简单题

,

熟悉中位数的概念是解题关键

.

14、

x

+1

【解析】

先通分，进行分式的加减法，再将分子进行因式分解，然后约分即可求出结果．

【详解】

解：

21

11

x

xx





=

21

11

x

xx





21

1

x

x







11

1

xx

x







1x.

故答案是：

x+1.

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．

15、

1

2a





．

【解析】

先通分变为同分母分式，然后根据分式的减法法则计算即可．

【详解】

解：原式

22

(2)(2)(2)(2)

aa

aaaa







2

(2)(2)

a

aa







(2)

(2)(2)

a

aa







1

2a





．

故答案为：

1

2a





．

【点睛】

此题考查的是分式的减法，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．

16、

x≥

﹣

3

2

且

x≠1

．

【解析】

根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．

【详解】

由题意得，

2x+3≥0

，

x-1≠0

，

解得，

x≥-

3

2

且

x≠1

，

故答案为：

x≥-

3

2

且

x≠1

．

【点睛】

本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中

含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不

小于零．

17、（

0

，

0

）或（

0

，﹣

8

）或（﹣

6

，

0

）

【解析】

由

P

（﹣

3

，﹣

4

）可知，

P

到原点距离为

5

，而以

P

点为圆心，

5

为半径画圆，圆经过原点分别与

x

轴、

y

轴交于另外

一点，共有三个．

【详解】

解：∵

P

（﹣

3

，﹣

4

）到原点距离为

5

，

而以

P

点为圆心，

5

为半径画圆，圆经过原点且分别交

x

轴、

y

轴于另外两点（如图所示），

∴故坐标轴上到P

点距离等于

5

的点有三个：（

0

，

0

）或（

0

，﹣

8

）或（﹣

6

，

0

）．

故答案是：（

0

，

0

）或（

0

，﹣

8

）或（﹣

6

，

0

）．

18、

4



【解析】

根据直角三角形的性质求出

OC

、

BC

，根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

解：∵∠

BOC=60°

，∠

BCO=90°

，

∴∠OBC=30°

，

∴OC=

1

2

OB=1

则边

BC

扫过区域的面积为：

2

2

1

120

1201

2

=

3603604

















故答案为

4



．

【点睛】

考核知识点：扇形面积计算

.

熟记公式是关键

.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（

1

）

50

件；（

2

）

120

元．

【解析】

（

1

）设第一批购进文化衫

x

件，根据数量

=

总价

÷

单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多

10

元，即可得出关于

x

的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（

2

）根据第二批购进的件数比第一批多

40%

，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价

为

y

元，根据利润

=

销售单价

×

销售数量

-

进货总价，即可得出关于

y

的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出

结论．

【详解】

解：（

1

）设第一批购进文化衫

x

件，

根据题意得：

4000

x

+10=

6300

0

(140)

0

x

，

解得：

x=50

，

经检验，

x=50

是原方程的解，且符合题意，

答：第一批购进文化衫

50

件；

（

2

）第二批购进文化衫（

1+40%

）

×50=70

（件），

设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为

y

元，

根据题意得：（

50+70

）

y

﹣

4000

﹣

6300≥4100

，

解得：

y≥120

，

答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为

120

元．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（

1

）找准等量关系，正确列出分式方程；（

2

）

根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

20、（

1

）90,102；（

2

）

10

3

；（

3

）251002100

【解析】

（

1

）先判断出当

PQ

取最大时，点

Q

与点

A

重合，点

P

与点

B

重合，即可得出结论；

（

2

）先判断出∠

POQ

＝

60°

，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；

（

3

）先在

Rt△

B

'

OP

中，

OP2+2(10210)＝2(10-OP)，解得

OP

＝10210，最后用面积的和差即可得

出结论．

【详解】

解：（

1

）∵

P

是半径

OB

上一动点，

Q

是

AB

上的一动点，

∴当

PQ

取最大时，点

Q

与点

A

重合，点

P

与点

B

重合，

此时，∠

POQ

＝

90°

，

PQ

＝22102OAOB，

故答案为：

90°

，

102；

（

2

）解：如图，连接

OQ

，

∵点

P

是

OB

的中点，

∴

OP

＝

1

2

OB

＝

1

2

OQ

．

∵

QP

⊥

OB

，

∴∠

OPQ

＝

90°

在

Rt△

OPQ

中，

cos∠

QOP

＝

OP1

2



OQ

，

∴∠

QOP

＝

60°

，

∴

l

BQ

6010

10

1803



；

（

3

）由折叠的性质可得，,102BPBPABAB，

在

Rt△

B

'

OP

中，

OP2+2(10210)＝2(10-OP),

解得

OP

＝10210，

S阴影

＝

S

扇形AOB

﹣

2

S

△

AOP＝2

901

10210(10

3602

.

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．

21、（

1

）

2

3

；（

2

）这两个数字之和是

3

的倍数的概率为

1

3

．

【解析】

（

1

）在标有数字

1

、

2

、

3

的

3

个转盘中，奇数的有

1

、

3

这

2

个，根据概率公式可得；（

2

）用列表法列出所有情况，

再计算概率

.

【详解】

解：（

1

）∵在标有数字

1

、

2

、

3

的

3

个转盘中，奇数的有

1

、

3

这

2

个，

∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为

2

3

，

故答案为

2

3

；

（

2

）列表如下：

123

1

（

1

，

1

）（

2

，

1

）（

3

，

1

）

2

（

1

，

2

）（

2

，

2

）（

3

，

2

）

3

（

1

，

3

）（

2

，

3

）（

3

，

3

）

由表可知，所有等可能的情况数为

9

种，其中这两个数字之和是

3

的倍数的有

3

种，

所以这两个数字之和是

3

的倍数的概率为

3

9

=

1

3

．

【点睛】

本题考核知识点：求概率

.

解题关键点：列出所有情况，熟记概率公式

.

22、（

1

）3k；（

2

）

k

＝

1

【解析】

（

1

）根据一元二次方程

2

x2+4

x

+

k

﹣

1=0

有实数根，可得出

△≥0

，解不等式即可得出结论；

（

2

）分别把

k

的正整数值代入方程

2

x2+4

x

+

k

﹣

1=0

，根据解方程的结果进行分析解答．

【详解】

（

1

）由题意得：

△=16

﹣

8

（

k

﹣

1

）

≥0

，∴

k

≤1

．

（

2

）∵

k

为正整数，∴

k

=1

，

2

，

1

．

当

k

=1

时，方程

2

x2+4

x

+

k

﹣

1=0

变为：

2

x2+4

x

=0

，解得：

x

=0

或

x

=

－

2

，有一个根为零；

当

k

=2

时，方程

2

x2+4

x

+

k

﹣

1=0

变为：

2

x2+4

x

+1=0

，解得：

x

=

22

2



，无整数根；

当

k

=1

时，方程

2

x2+4

x

+

k

﹣

1=0

变为：

2

x2+4

x

+2=0

，解得：

x

1

=

x

2

=

－

1

，有两个非零的整数根．

综上所述：

k

=1

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式：

（

1

）

△

＞

0⇔

方程有两个不相等的实数根；

（

2

）

△=0⇔

方程有两个相等的实数根；

（

1

）

△

＜

0⇔

方程没有实数根．

23、（

1

）详见解析；（

2

）

133

24

；

【解析】

（

1

）连接

OC

，根据垂直的定义得到∠

AOF=90°

，根据三角形的内角和得到∠

ACE=90°+∠A

，根据等腰三角形的性

质得到∠

OCE=90°

，得到

OC⊥CE

，于是得到结论；

（

2

）根据圆周角定理得到∠

ACB=90°

，推出∠

ACO=∠BCE

，得到

△BOC

是等边三角形，根据扇形和三角形的面积

公式即可得到结论．

【详解】

：（

1

）连接

OC

，

∵OF⊥AB

，

∴∠AOF=90°

，

∴∠A+∠AFO+90°=180°

，

∵∠ACE+∠AFO=180°

，

∴∠ACE=90°+∠A

，

∵OA=OC

，

∴∠A=∠ACO

，

∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE

，

∴∠OCE=90°

，

∴OC⊥CE

，

∴EM

是⊙

O

的切线；

（

2

）∵

AB

是⊙

O

的直径，

∴∠ACB=90°

，

∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°

，

∴∠ACO=∠BCE

，

∵∠A=∠E

，

∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E

，

∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A

，

∴∠A=30°

，

∴∠BOC=60°

，

∴△BOC

是等边三角形，

∴OB=BC=3，

∴阴影部分的面积=

260(3)13133

3

3602224







，

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接

OC

是解题的关键．

24、（

1

）

2

5

;

（

2

）

1

5

.

【解析】

（

1

）根据概率

=

所求情况数与总情况数之比代入解得即可

.

（

2

）将小明吃到的前两个元宵的所有情况列表出来即可求解

.

【详解】

（

1

）

5

个元宵中，五仁馅的有

2

个，故小明吃到的第一个元宵是五仁馅的概率是

2

5

；

（

2

）小明吃到的前两个元宵的所有情况列表如下（记黑芝麻馅的两个分别为

1

a

、

2

a

，五仁馅的两个分别为

1

b

、

2

b

，

桂花馅的一个为

c

）：

由图可知，共有

20

种等可能的情况，其中小明吃到的前两个元宵是同一种馅料的情况有

4

种，故小明吃到的前两个元

宵是同一种馅料的概率是

41

=

205

.

【点睛】

本题考查的是用列表法求概率

.

列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为

:

概率

=

所求

:

情况数与

总情况数之比

.

25、（

1

）作图见解析；（

2

）证明见解析；

【解析】

（

1

）①以

C

为圆心，任意长为半径画弧，交

CB

、

CA

于

E

、

F

；②以

A

为圆心，

CE

长为半径画弧，交

AB

于

G

；③

以

G

为圆心，

EF

长为半径画弧，两弧交于

H

；

④连接AH

并延长交

BC

于

D

，则∠

BAD=∠C

；（

2

）证明

△ABD∽△CBA

，

然后根据相似三角形的性质得到结论．

【详解】

（

1

）如图，∠

BAD

为所作；

（

2

）∵∠

BAD=∠C

，∠

B=∠B

∴△ABD∽△CBA

，

∴AB

：

BC=BD

：

AB

，

∴AB2=BD•BC

．

【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分

线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．

26、

(1)

4

9

；

(2)

5

9

．

【解析】

（

1

）可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有

9

种情况，从中找到两辆汽车都不直行的结果数，根据概率公式

计算可得；

（

2

）根据树状图得出至少有一辆汽车向左转的结果数，根据概率公式可得答案．

【详解】

(1)

画

“

树形图

”

列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：

∴这两辆汽车行驶方向共有9

种可能的结果，其中两辆汽车都不直行的有

4

种结果，

所以两辆汽车都不直行的概率为

4

9

；

(2)

由

(1)

中

“

树形图

”

知，至少有一辆汽车向左转的结果有

5

种，且所有结果的可能性相等

∴P

（至少有一辆汽车向左转）

=

5

9

．

【点睛】

此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率

=

所求情况数与总情况数之比求解．

27、（

1

）抛物线解析式为

y=

﹣

1

2

x2+2x+6

；（

2

）当

t=3

时，

△PAB

的面积有最大值；（

3

）点

P

（

4

，

6

）．

【解析】

（

1

）利用待定系数法进行求解即可得；

（

2

）作

PM⊥OB

与点

M

，交

AB

于点

N

，作

AG⊥PM

，先求出直线

AB

解析式为

y=

﹣

x+6

，设

P

（

t

，﹣

1

2

t2+2t+6

），

则

N

（

t

，﹣

t+6

），由

S

△PAB

=S

△PAN

+S

△PBN

=

1

2

PN•AG+

1

2

PN•BM=

1

2

PN•OB

列出关于

t

的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（

3

）由

PH⊥OB

知

DH∥AO

，据此由

OA=OB=6

得∠

BDH=∠BAO=45°

，结合∠

DPE=90°

知若

△PDE

为等腰直角三

角形，则∠

EDP=45°

，从而得出点

E

与点

A

重合，求出

y=6

时

x

的值即可得出答案．

【详解】

（

1

）∵抛物线过点

B

（

6

，

0

）、

C

（﹣

2

，

0

），

∴设抛物线解析式为y=a

（

x

﹣

6

）（

x+2

），

将点

A

（

0

，

6

）代入，得：﹣

12a=6

，

解得：

a=

﹣

1

2

，

所以抛物线解析式为

y=

﹣

1

2

（

x

﹣

6

）（

x+2

）

=

﹣

1

2

x2+2x+6

；

（

2

）如图

1

，过点

P

作

PM⊥OB

与点

M

，交

AB

于点

N

，作

AG⊥PM

于点

G

，

设直线

AB

解析式为

y=kx+b

，

将点

A

（

0

，

6

）、

B

（

6

，

0

）代入，得：

6

60

b

kb











，

解得：

1

6

k

b











，

则直线

AB

解析式为

y=

﹣

x+6

，

设

P

（

t

，﹣

1

2

t2+2t+6

）其中

0

＜

t

＜

6

，

则

N

（

t

，﹣

t+6

），

∴PN=PM

﹣

MN=

﹣

1

2

t2+2t+6

﹣（﹣

t+6

）

=

﹣

1

2

t2+2t+6+t

﹣

6=

﹣

1

2

t2+3t

，

∴S

△PAB

=S

△PAN

+S

△PBN

=

1

2

PN•AG+

1

2

PN•BM

=

1

2

PN•

（

AG+BM

）

=

1

2

PN•OB

=

1

2

×

（﹣

1

2

t2+3t

）

×6

=

﹣

3

2

t2+9t

=

﹣

3

2

（

t

﹣

3

）2+

27

2

，

∴当t=3

时，

△PAB

的面积有最大值；

（

3

）

△PDE

为等腰直角三角形，

则

PE=PD

，

点

P

（

m

，

-

1

2

m2+2m+6

），

函数的对称轴为：

x=2

，则点

E

的横坐标为：

4-m

，

则

PE=|2m-4|

，

即

-

1

2

m2+2m+6+m-6=|2m-4|

，

解得：

m=4

或

-2

或

5+17或

5-17（舍去

-2

和

5+17）

故点

P

的坐标为：（

4

，

6

）或（

5-17，

317-5

）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握

和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.