高一数学课程讲解视频

更新时间:2022-11-27 07:12:54 阅读：评论：0

2022年11月27日发(作者：法国总统确诊新冠)

高中数学知识点汇总（高一）

高中数学知识点汇总（高一）....................................................................................................................1

一、集合和命题............................................................................................................................................2

二、不等式....................................................................................................................................................4

三、函数的基本性质....................................................................................................................................6

四、幂函数、指数函数和对数函数..........................................................................................................12

（一）幂函数..............................................................................................................................................12

（二）指数&指数函数...............................................................................................................................13

（三）反函数的概念及其性质..................................................................................................................14

（四）对数&对数函数...............................................................................................................................15

五、三角比..................................................................................................................................................17

六、三角函数..............................................................................................................................................24

一、集合和命题

一、集合：

（1）集合的元素的性质：

确定性、互异性和无序性；

（2）元素与集合的关系：

①

aAa属于集合A；

②

aAa不属于集合A．

（3）常用的数集：

N自然数集；*N正整数集；

Z

整数集；

Q有理数集；R实数集；空集；

C

复数集；

















负整数集

正整数集

；

















负有理数集

正有理数集

；

















负实数集

正实数集

．

（4）集合的表示方法：

集合









描述法无限集

列举法有限集

；

例如：①列举法：

{,,,,}zhang

；②描述法：{1}xx．

（5）集合之间的关系：

①BA集合A是集合B的子集；特别地，AA；













．

②BA或











集合A与集合B相等；

③AB





集合A是集合B的真子集．

例：

NZQR

C

；NZQRC





．

④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

（6）集合的运算：

①交集：}{BxAxxBA且集合A与集合B的交集；

②并集：}{BxAxxBA或集合A与集合B的并集；

③补集：设U为全集，集合A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫

做集合A在全集U中的补集，记作AC

．

④得摩根定律：()

UUU

CABCACBIU；()

UUU

CABCACBUI

（7）集合的子集个数：

若集合A有*()nnN个元素，那么该集合有

2n个子集；

21n

个真子集；

21n

个非空子集；

22n

个非空真子集．

二、四种命题的形式：

（1）命题：能判断真假的语句．

（2）四种命题：如果用



和分别表示原命题的条件和结论，用



和



分别表示



和的否定，

那么四种命题形式就是：

命题原命题逆命题否命题逆否命题

表示形式

若



，则若，则



；

若



，则



；若



，则



．

逆命题关系原命题逆命题逆否命题否命题

否命题关系原命题否命题逆否命题逆命题

逆否命题关系

原命题逆否命题逆命题否命题

同真同假关系

（3）充分条件，必要条件，充要条件：

①若

，那么



叫做的充分条件，叫做



的必要条件；

②若

且

，即

，那么



既是的充分条件，又是的必要条件，也就是

说，



是的充分必要条件，简称充要条件．

③欲证明条件



是结论的充分必要条件，可分两步来证：

第一步：证明充分性：条件结论；

第二步：证明必要性：结论条件



．

（4）子集与推出关系：

设A、B是非空集合，}{具有性质xxA，}{具有性质yyB，

则BA与等价．

结论：小范围大范围；例如：小明是上海人小明是中国人．

小范围是大范围的充分非必要条件；

大范围是小范围的必要非充分条件．

二、不等式

一、不等式的性质：

不等式的性质

1、

cacbba,

；2、cbcaba；

3、

bcaccba0,

；4、

dbcadcba,

；

5、

bdacdcba0,0

；6、

00

；

7、)(0*Nnbabann；8、)1,(0*nNnbabann．

二、一元一次不等式：

一元一次不等式

bax

0a0a

0a

0b0b

解集

x

x



三、一元二次不等式：

)0(02acbxax

的根的判别式

042acb△042acb△042acb△

)0(2acbxaxy

)0(02acbxax

},{

xx，

xx

}{



)0(02acbxax

(,)(,)xxU),(),(

xx

)0(02acbxax

),(

xx

)0(02acbxax

(,][,)xxU

)0(02acbxax

],[

}{



四、含有绝对值不等式的性质：

（1）bababa；（2）

aaaaaa

2121

．

五、分式不等式：

（1）

0))((0



dcxbax

dcx

bax

；（2）

0))((0



dcxbax

dcx

bax

．

六、含绝对值的不等式：

axaxaxax

0a

0a

0a

0a

0a

0a0a

0a

0a0a

axa



axax或R

axa

0x



axax或R

七、指数不等式：

（1）)()()1()()(xxfaaaxxf；（2）)()()10()()(xxfaaaxxf．

八、对数不等式：

（1）











)()(

0)(

)1)((log)(log

xxf

axxf

aa



；

（2）













)()(

0)(

)10)((log)(log

xxf

axxf

aa

．

九、不等式的证明：

（1）常用的基本不等式：

①Rbaabba、(222，当且仅当ba时取“



”号)；

②



Rbaab

、(

，当且仅当

ba

时取“



”号)；

补充公式：

ab









．

③Rcbaabccba、、(3333，当且仅当cba时取“



”号)；

④



Rcbaabc

cba

、、(

3，当且仅当

cba

时取“



”号)；

⑤naaa

aaa

21







为大于1的自然数，Raaa

,,,

，当且仅当

aaa

时取“



”号)；

（2）证明不等式的常用方法：

①比较法；②分析法；③综合法．

三、函数的基本性质

一、函数的概念：

（1）若自变量fx对应法则因变量y，则y就是x的函数，记作

Dxxfy),(

；

x的取值范围D函数的定义域；y的取值范围函数的值域．

求定义域一般需要注意：

①

()

，

()0fx

；②()nyfx，

()0fx

；

③0(())yfx，

()0fx

；④log()

yfx，

()0fx

；

⑤

()

log

yN，

()0fx

且

()1fx

．

（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y轴的直线，与图像最多只有一个公共点；

（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．

二、函数的基本性质：

（1）奇偶性：

函数

Dxxfy),(

前提条件

“定义域D关于0对称”成立

①“定义域D关于0对称”；

②“

)()(xfxf

”；③“

()()fxfx

”

①不成立或者







①成立

②、③都不成立

)()(xfxf

成立

()()fxfx

成立

奇偶性偶函数奇函数

非奇非偶函数

奇偶函数

图像性质

关于y轴对称关于)0,0(O对称

注意：定义域包括0的奇函数必过原点

(0,0)O

．

（2）单调性和最值：

前提条件

Dxxfy),(

，

DI

，任取

,xxI区间

单调增函数









)()(

xfxf

或









)()(

xfxf

单调减函数











)()(

xfxf

或











)()(

xfxf

最小值)(

0min

xfy任取

,,()()xDxDfxfx存在

最大值)(

0max

xfy

,,()()xDxDfxfx任取存在

注意：

①复合函数的单调性：

函数单调性

外函数

()yfxZZ]]

内函数

()ygxZ]Z]

复合函数

[()]yfgxZ]]Z

②如果函数

)(xfy

在某个区间I上是增（减）函数，那么函数

)(xfy

在区间I上是单调函

数，区间I叫做函数

)(xfy

的单调区间．

（3）零点：若

Dxxfy),(

，

Dc

且

0)(cf

，则cx叫做函数

)(xfy

的零点．

零点定理：











0)()(

],[),(

bfaf

baxxfy

0

(,)

()0

xab











存在

；特别地，当

(),[,]yfxxab

是单调函数，

且

()()0fafb

，则该函数在区间

[,]ab

上有且仅有一个零点，即存在唯一

(,)xab，使得

()0fx．

（4）平移的规律：“左加右减，下加上减”．

函数向左平移

向右平移

向上平移

向下平移

备注

)(xfy)(kxfy)(kxfy)(xfhy)(xfhy0,hk

（5）对称性：

①轴对称的两个函数：

函数

)(xfy

对称轴x轴

y轴

xyxy

mx

ny

函数

)(xfy)(xfy)(yfx)(yfx)2(xmfy)(2xfyn

②中心对称的两个函数：

函数对称中心函数

)(xfy),(nm)2(2xmfyn

③轴对称的函数：

函数

)(xfy

对称轴

y轴

mx

条件

()()fxfx()(2)fxfmx

注意：

()()faxfbx()fx

关于





对称；

()()faxfax()fx

关于xa对称；

()()fxfx()fx

关于

0x

对称，即

()fx

是偶函数．

④中心对称的函数：

函数

)(xfy

对称中心

(,)mn

条件

()2(2)fxnfmx

注意：

()()faxfbxc()fx

关于点

(,)

abc

对称；

()()0faxfbx()fx

关于点

(,0)

ab

对称；

()()2faxfaxb()fx关于点(,)ab对称；

()()0fxfx()fx关于点(0,0)对称，即()fx是奇函数．

（6）凹凸性：

设函数

(),yfxxD

，如果对任意

,xxD，且

xx，都有1212

()()

xxfxfx











，则称

函数()yfx在D上是凹函数；例如：2yx．

进一步，如果对任意

xxxDL，都有1212

()()()

xxxfxfxfx











，则称函

数()yfx在D上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；

设函数(),yfxxD，如果对任意

,xxD，且

xx，都有1212

()()

xxfxfx











，则称

函数()yfx在D上是凸函数．例如：lgyx．

进一步，如果对任意

xxxDL，都有1212

()()()

xxxfxfxfx











，则称函

数()yfx在D上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．

（7）翻折：

函数翻折后翻折过程

()yfx

将

()yfx

在y轴右边的图像不变，并将其翻折到y轴左边，并覆盖．

()yfx

将

()yfx

在x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边，并覆盖．

()yfx

第一步：将

()yfx

在y轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖；

第二步：将x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边，并覆盖．

()yfx

将

()yfx

在x轴上边的图像保持不变，并将x轴下边的图像翻折到x轴上

边，不覆盖．

（8）周期性：

若

Rxxfy),(

，0T，xR任取，恒有

)()(xfTxf

，则称T为这个函数的周期．

注意：若T是

)(xfy

的周期，那么

)0,(kZkkT

也是这个函数的周期；

周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．

①

()()fxafxb

，ab()fx是周期函数，且其中一个周期Tab；

（阴影部分下略）

②

()()fxfxp

，

0p2Tp

；

③

()()fxafxb

，ab2Tab；

④

()

fxp





或

()

fxp





，

0p2Tp

；

⑤

1()

()

1()

fxp







或

()1

()

()1

fxp







，

0p2Tp

；

⑥

1()

()

1()

fxp







或

()1

()

()1

fxp







，

0p4Tp

；

⑦()fx关于直线xa，xb，ab都对称2Tab；

⑧()fx关于两点(,)ac，(,)bc，ab都成中心对称2Tab；

⑨()fx关于点(,)ac，0a成中心对称，且关于直线xb，ab对称4Tab；

⑩若

()()(2)()fxfxafxafxnamL

（m为常数，*nN），则()fx是以(1)na

为周期的周期函数；

若()()(2)()fxfxafxafxnamL（m为常数，n为正偶数），则()fx是以

2(1)na为周期的周期函数．

三、V函数：

定义

形如(0)yaxmha的函数，称作V函数．

分类

,0yaxmha,0yaxmha

图像

定义域

值域

[,)h(,]h

对称轴

xm

开口向上向下

顶点

(,)mh

单调性

在

(,]m

上单调递减；

在

[,)m

上单调递增．

在

(,]m

上单调递增；

在

[,)m

上单调递减．

注意当

0m

时，该函数为偶函数

四、分式函数：

定义

形如

(0)

yxa



的函数，称作分式函数．

分类

yxa



（耐克函数）

yxa



图像

定义域

(,0)(0,)U

值域(,2][2,)aaUR

渐近线

0x

，yx

单调性

在(,]a，[,)a上单调递增；

在[,0)a，(0,]a上单调递减．

在

(,0)

，

(0,)

上单调递增；

五、曼哈顿距离：

在平面上，

(,)Mxy，

(,)Nxy，则称

1212

dxxyy为

的曼哈顿距离．

六、某类带有绝对值的函数：

1、对于函数yxm，在xm时取最小值；

2、对于函数yxmxn，mn，在

[,]xmn

时取最小值；

3、对于函数yxmxnxp，mnp，在xn时取最小值；

4、对于函数yxmxnxpxq，mnpq，在[,]xnp时取最小值；

5、推广到

122n

yxxxxxxL，

122n

xxxL，在

[,]

xxx



时取最小值；

1221n

yxxxxxx



L，

1221n

xxx



L，在

xx时取最小值．

思考：对于函数1232yxxx，在x_________时取最小值．

四、幂函数、指数函数和对数函数

（一）幂函数

（1）幂函数的定义：

形如)(Raxya的函数称作幂函数，定义域因a而异．

（2）当

1,0a

时，幂函数)(Raxya在区间

),0[

上的图像分三类，如图所示．

（3）作幂函数)1,0(axya的草图，可分两步：

①根据a的大小，作出该函数在区间

),0[

上的图像；

②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在

]0,(

上的图像．

（4）判断幂函数)(Raxya的a的大小比较：

方法一：)(Raxya与直线(1)xmm的交点越靠上，a越大；

方法二：)(Raxya与直线(01)xmm的交点越靠下，a越大

（5）关于形如

()

axb

cxd







的变形幂函数的作图：

①作渐近线（用虚线）：

、

；

②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)

；

③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．

（二）指数&指数函数

1、指数运算法则：

①yxyxaaa；②xyyxaa)(；③xxxbaba)(；④()

，其中

),0,(Ryxba、

．

2、指数函数图像及其性质：

)1(aayx)10(aayx

图像

定义域

值域

),0(

奇偶性非奇非偶函数

渐近线x轴

单调性

在

(,)

上单调递增；在

(,)

上单调递减；

性质

①指数函数xay的函数值恒大于零；

②指数函数xay的图像经过点)1,0(；

③当0x时，1y；

当0x时，

10y

．

③当0x时，

10y

；

当0x时，1y．

3、判断指数函数xya中参数a的大小：

方法一：xya与直线(0)xmm的交点越靠上，a越大；

方法二：xya与直线(0)xmm的交点越靠下，a越大．

（三）反函数的概念及其性质

1、反函数的概念：

对于函数

()yfx

，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯

一确定的x值与它对应，且满足

()yfx

，这样得到的x关于y的函数叫做

()yfx

的反函数，记作

1()xfy．在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为1()()yfxxA．

2、求反函数的步骤：（“解”



“换”



“求”）

①将

()yfx

看作方程，解出

()xfy

；

②将x、y互换，得到1()yfx；

③标出反函数的定义域（原函数的值域）．

3、反函数的条件：

定义域与值域中的元素一一对应．

4、反函数的性质：

①原函数

)(xfy

过点

),(nm

，则反函数)(1xfy过点

),(mn

；

②原函数

)(xfy

与反函数)(1xfy关于xy对称，且单调性相同；

③奇函数的反函数必为奇函数．

5、原函数与反函数的关系：

函数

)(xfy

)(1xfy

定义域

值域

（四）对数&对数函数

1、指数与对数的关系：

Nab

底数

指数幂

log

对数真数

2、对数的运算法则：

①01log

，1loga

，

NaN

alog；②常用对数NN

loglg，自然对数NN

logln；

③NMMN

aaa

loglog)(log，

aaa

logloglog

，MnM

loglog；

④

blog

log

log，

alog

log，

anloglog

，bb

acloglog，loglog

baab．

3、对数函数图像及其性质：

)1(logaxy

)10(logaxy

图像

定义域

),0(

值域

奇偶性非奇非偶函数

渐近线

y轴

单调性

在),0(上单调递增；在),0(上单调递减；

性质

①对数函数xy

log的图像在y轴的右方；

②对数函数xy

log的图像经过点)0,1(；

③当1x时，0y；

当10x时，0y．

③当1x时，0y；

当10x时，0y．

4、判断对数函数log,0

yxx中参数a的大小：

方法一：log,0

yxx与直线

(0)ymm

的交点越靠右，a越大；

方法二：log,0

yxx与直线

(0)ymm

的交点越靠左，a越大．

五、三角比

1、角的定义：

（1）终边相同的角：

①



与

2,kkZ

表示终边相同的角度；

②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

③



与

,kkZ

表示终边共线的角（同向或反向）．

（2）特殊位置的角的集合的表示：

位置角的集合

在x轴正半轴上

{2,}kkZ

在x轴负半轴上

{2,}kkZ

在x轴上

{,}kkZ

在y轴正半轴上

{2,}

kkZ





在y轴负半轴上

{2,}

kkZ





在y轴上

{,}

kkZ





在坐标轴上

{,}





在第一象限内

{22,}

kkkZ





在第二象限内

{22,}

kkkZ





在第三象限内

{22,}

kkkZ





在第四象限内

{222,}

kkkZ





（3）弧度制与角度制互化：

①180rad；②

180

1rad





；③

180

rad





．

（4）扇形有关公式：

①

；

②弧长公式：

rl

；

③扇形面积公式：2

Slrr

（想象三角形面积公式）．

（5）集合中常见角的合并：

xkZ



































































































































（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：

以角



的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴建立直角坐标系，在



的终边上任取一个异

于原点的点

(,)Pxy

，点P到原点的距离记为r，则

（7）特殊角的三角比：



角度制

030456090180270360

弧度制0



3

2

sin

1

cos

1

tan

无0无0

（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，

的取值范围是

kZ

）

①角



和角的终边：

角



和角的终边

关于x轴对称

关于y轴对称

关于原点对称

sinsin

coscos

tantan



















sinsin

coscos

tantan



















sinsin

coscos

tantan



















②



的终边与



的终边的关系．



的终边在第一象限(2,2)



(,)



；



的终边在第二象限(2,2)



(,)

242



；



的终边在第三象限

(2,2)





(,)

224



；



的终边在第四象限

(2,22)





(,)





．

③sin与cos的大小关系：

sincos

(2,2)





的终边在直线yx右边（0xy）；

sincos

(2,2)





的终边在直线yx左边（0xy）；

sincos

{22}



，

的终边在直线yx上（0xy）．

④sin与cos的大小关系：

sincos(,)





的终边在











或











；

sincos

(,)





的终边在











或











；

sincos

{}



,

，

kZ

的终边在yx．

2、三角比公式：

（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）

第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：

（周期性）（奇偶性）（中心对称性）















cot)2cot(

tan)2tan(

cos)2cos(

sin)2sin(



















cot)cot(

tan)tan(

cos)cos(

sin)sin(

















cot)cot(

tan)tan(

cos)cos(

sin)sin(

第四组诱导公式：第五组诱导公式：第六组诱导公式：

（轴对称）（互余性）

















cot)cot(

tan)tan(

cos)cos(

sin)sin(





























tan)

cot(

cot)

tan(

sin)

cos(

cos)

sin(































tan)

cot(

cot)

tan(

sin)

cos(

cos)

sin(

（2）同角三角比的关系：

倒数关系：商数关系：平方关系：













1cottan

1ccos

1cscsin















)0(sin

sin

cos

cot

)0(cos

cos

sin

tan

















csccot1

ctan1

1cossin

（3）两角和差的正弦公式：sincoscossin)sin(；

两角和差的余弦公式：sinsincoscos)cos(；

两角和差的正切公式：



tantan1

tantan

)tan(





．

（4）二倍角的正弦公式：cossin22sin

；

二倍角的余弦公式：

1cos2sin21sincos2cos2222；

二倍角的正切公式：



2tan1

tan2

2tan





；

降次公式：万能置换公式：

1cos2sin

1cos2

sin

1cos2cos

1cos2

cos

1sinsincos

1cos2

tan

1cos2

1sinsincos











































































；



























tan1

tan2

2tan

tan1

2cos

tan1

tan2

2sin

半角公式：





sin

cos1

sin

tan









；

（5）辅助角公式：

①版本一：

)sin(cossin22baba，其中





















cos

sin

,20



．

②版本二：

22sincossin()abab，其中

,0,0,tan





．

3、正余弦函数的五点法作图：

以sin()yx为例，令

x

依次为

0,,,,2



，求出对应的x与y值，描点(,)xy作图．

4、正弦定理和余弦定理：

（1）正弦定理：

sinsinsin



为外接圆半径)；

其中常见的结论有：

①ARasin2，BRbsin2，CRcsin2；

②

sin，

sin；

③cbaCBA::sin:sin:sin；

④22sinsinsin

ABC

SRABC

△

；

sinsin

ABC

aRBC

SbRAC

cRAB













△

；

4ABC

abc



△

．

（2）余弦定理：版本一：













Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

222

；版本二：























cab

bca

acb

cos

222

；

（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：

coscos

abCcB

bcAaC

caBbA

















．

5、与三角形有关的三角比：

（1）三角形的面积：

①

2ABC

Sdh

△

；

②

111

sinsinsin

222ABC

SabCbcAacB

△

；

③

2222ABC

llll

Sabc







△

，l为ABC△的周长．

（2）在

ABC△

中，

①

sinsincoscoscotcotabABABABAB

；

②若

ABC△

是锐角三角形，则

sincosAB

；

③

sin()sin

ABC

BCA

ACB

















；

cos()cos

ABC

BCA

ACB

















；

tan()tan

ABC

BCA

ACB

















；

④

sincos

ABC

BAC

CAB





























；

tancot

ABC

BAC

CAB





























；

⑤

sincos

















；

sincos

















；

sincos

















；



sinsincoscos

2222

sinsincoscos

2222

sinsincoscos

2222

ABAB

ACAC

BCBC



















sinsinsincoscoscos

222222

ABCABC

；

⑥

sinsinsin4coscoscos

222

coscoscos14sinsinsin

222

sinsinsin4sinsincos

222

ABC



















；

sin2sin2sin24sinsinsin

cos2cos2cos24coscoscos1

ABCABC











；

⑦

sinsinsin(0,]

coscoscos(1,]

ABC

















；

sinsinsin(0,]

sinsinsincoscoscos

coscoscos(1,]

ABC

ABCABC

ABC



















．

其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明．

（3）在ABC△中，角A、B、C成等差数列



．

（4）ABC△的内切圆半径为

abc





．

6、仰角、俯角、方位角：

略

7、和差化积与积化和差公式（理科）：

（1）积化和差公式：

sincos[sin()sin()]

cossin[sin()sin()]

coscos[cos()cos()]

sinsin[cos()cos()]

























；

（2）和差化积公式：

sinsin2sincos

sinsin2cossin

coscos2coscos

coscos2sinsin



















































．

六、三角函数

1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：

xysin

xycos

xytan

定

义

域

{Zkkxx



值

域

]1,1[]1,1[

奇

偶

性

奇函数偶函数奇函数

周

期

性

最小正周期2T

最小正周期T

单

调

性

[2,2]



Z

；

[2,2]



]

．

（Zk）

[2,2]kkZ；

[2,2]kk]．

（Zk）

(,)



Z

（Zk）

最

值

当



kx时，1

min

y；

当



kx时，1

max

y；

当kx2时，1

min

y；

当kx2

时，1

max

y；

无

图

像

例1：求函数5sin(2)



的周期、单调区间和最值．（当x的系数为负数时，单调性相反）

解析：周期



，由函数xysin的递增区间

[2,2]





，可得

222

232

kxk





，即

1212

kxk





，

于是，函数

5sin(2)7





的递增区间为

[,]

1212





．

同理可得函数

5sin(2)7





递减区间为

[,]

1212





．

当





，即





时，函数

5sin(2)





取最大值5；

当





，即





时，函数

5sin(2)





取最大值

5

．

例2：求函数

5sin(2)7,[0,]

yxx





的单调区间和最值．

解析：由

[0,]





，可得

2[,]

333





．

然后画出





的终边图，然后就可以得出

当

2[,]

332





，即

[0,]





时，函数

5sin(2)7





单调递增；

当

2[,]

323





，即

[,]

122





时，函数

5sin(2)7





单调递减．

同时，当





，即





时，函数

5sin(2)7





取最大值12；

当





，即





时，函数

5sin(2)7





取最小值

；

注意：当x的系数为负数时，单调性的分析正好相反．

2、函数

sin()yAxh

cos()yAxh

tan()yAxh

，其中

0,0A

：

（1）复合三角函数的基本性质：

三角函数

sin()yAxh

其中

0,0A

cos()yAxh

其中

0,0A

tan()yAxh

其中

0,0A

振幅

无

基准线

yh

定义域

(,)

{,}

xxkkZ





值域

[,]AhAh(,)

最小正周期





T







频率













相位

x

初相



（2）函数

sin()yAxh

与函数

sinyx

的图像的关系如下：

①相位变换：

当

0

时，sinsin()yxyx向左平移个单位；

当

0

时，sinsin()yxyx向右平移个单位；

②周期变换：

当1时，

sin()sin()yxyx所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；

当01时，

sin()sin()yxyx所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）；

③振幅变换：

当1A时，sin()sin()AyxyAx所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；

当

01A

时，sin()sin()AyxyAx所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）；

④最值变换：

当

0h

时，sin()sin()hyAxyAxh所有各点向上平行移动个单位；

当

0h

时，sin()sin()hyAxyAxh所有各点向下平行移动个单位；

注意：函数

cos()yAxh

和函数

tan()yAxh

的变换情况同上．

3、三角函数的值域：

（1）

sinyaxb

型：

设

sintx

，化为一次函数

yatb

在闭区间

[1,1]

上求最值．

（2）

sincosyaxbxc

，

,0ab

型：

引入辅助角,tan

，化为22sin()yabxc．

（3）2sinsinyaxbxc型：

设sin[1,1]tx，化为二次函数2yatbtc求解．

（4）sincos(sincos)yaxxbxxc型：

设sincos[2,2]txx，则212sincostxx，化为二次函数

2(1)

ybtc





在闭

区间[2,2]t上求最值．

（5）

tancotyaxbx

型：

设tantx，化为

yat



，用“Nike函数”或“差函数”求解．

（6）

sin

axb

cxd







型：

方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为

1sin1x

求解．

（7）

sin

cos

axb

cxd







型：

化为

sincosaxycxbdy

，合并222sin()aycxbdy

，利用有界性，

222

sin()[1,1]

bdy

ayc









求解．

（8）22sincossincosaxxbxcx，（

0,,abc

不全为0）型：

利用降次公式，可得22sincossincossin2cos2

222

acbbc

axxbxcxxx





，然后利用辅

助角公式即可．

4、三角函数的对称性：

对称中心对称轴方程

xysin

)0,(k

，

Zk



kx

，Zk

xycos

)0,

(



k，

Zkkx

，

Zk

xytan

)0,

(

k

Zk

xycot

)0,

(

k

Zk

备注：①

xysin

和xycos的对称中心在其函数图像上；

②xytan和xycot的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上）

例3：求函数5sin(2)7



的对称轴方程和对称中心．

解析：由函数sinyx的对称轴方程



kx，Zk，可得2



，Zk

解得

122





，Zk．

所以，函数

5sin(2)7





的对称轴方程为

122





，Zk．

由函数sinyx的中心对称点)0,(k，Zk，可得





，Zk

解得





，Zk．

所以，函数

5sin(2)7





的对称中心为

(,7)

k



，Zk．

5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：

xyarcsin

xyarccos

xyarctan

定义域

]1,1[]1,1[),(

值域

]

[





],0[

)

(





奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数

单调性

在

[1,1]

上是增函数在

[1,1]

上是减函数在

),(

上是增函数

对称中心

点

(0,0)

点

(0,)



点

(0,0)

图像

重要结论：

（1）先反三角函数后三角函数：

①

[1,1]sin(arcsin)cos(arccos)aaaa

；

②

tan(arctan)aRaa

．

（2）先三角函数后反三角函数：

①

[,]



arcsin(sin)

；

②

[0,]arccos(cos)

；

③

(,)



arctan(tan)

．

（3）反三角函数对称中心特征方程式：

①

[1,1]aarcsin()arcsinaa

；

②[1,1]aarccos()arccosaa；

③(,)aarctan()arctanaa．

6、解三角方程公式：

sin,1(1)arcsin,

cos,12arccos,

tan,arctan,

kxaaxkakZ

xaaxkakZ

xaaRxkakZ



















．

本文发布于:2022-11-27 07:12:54，感谢您对本站的认可！

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