什么是实数

6.2实数

第1课时实数的概念及分类

【教学目标】

1.了解无理数和实数的概念，会对一组实数进行分类.

2.知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.

【教学重点】

无理数、实数的概念.

【教学难点】

无理数、实数的概念及实数与数轴上的点一一对应关系的理解.

教学过程

一、组织教学，复习提问

1.有理数是怎样分类的？

有理数











整数









正整数

负整数

零

分类









正分数

负分数

或有理数









正有理数









正整数

正分数

零

负有理数









负整数

负分数

2.把下列各数填在相应的括号里.

－2，－

3

4

，－2.5，0，0.3·，1，

4

3

，

22

7

，

3

4

，

1

2

，－0.81··

整数：{}

分数：{}

归纳：任何一个有理数，都可以化成有限小数或无限循环小数的

形式.反之，任何一个有限小数或无限循环小数都可以写成一个分数

的形式.因此，任何一个有理数都可以写成分数的形式.

多媒体课件展示图1和图2及思考题：

图1是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、

列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可

以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.

你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？

二、创设情境，引入新课

1.创设情境.

问题1：(1)有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？分别有几个？

边长是多少？

(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来，有几个？

(3)有面积是5的格点正方形吗？把它画出来，有几个？

师：请同学们认真观察、思考图1及思考题，可以互相讨论，然

后回答问题.

生1：面积是1的格点正方形有12个，边长是1；面积是4的格

点正方形有6个，边长是2；面积是9的格点正方形有2个，边长是

3.

生2：如图2，四个边长为1的相邻正方形的对角线围成一个面

积为2的格点正方形.

师：为什么？

生1：因为四个边长为1的相邻正方形的总面积为4，它们的对

角线围成的格点正方形的面积是总面积的一半，所以四个边长为1的

相邻正方形的对角线围成的格点正方形是一个面积为2的格点正方

形.图1中有6个面积为2的格点正方形.

生2：以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的

1

3

点和

2

3

点的连

线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.

师：为什么？

生1：因为一个面积为9的格点正方形相邻两边长的

1

3

点和

2

3

点的

连线为边长依次围成的正方形的面积等于9减去4个三角形的面积，

而这4个三角形刚好拼成4个格点正方形，它们的面积为4，所以一

个面积为9的格点正方形相邻两边长的

1

3

点和

2

3

点的连线为边长依次

围成的正方形是面积为5的格点正方形.

生2：我用面积为9的格点正方形纸，经过剪纸验证了这个格点

正方形是面积为5的格点正方形.

生3：可以画出4个面积为5的格点正方形.

问题2：(1)一个面积为2的格点正方形边长是多少？

(2)一个面积为5的格点正方形边长是多少？

师：请同学们认真观察、思考，可以互相讨论，然后回答问题

2.

生1：正方形的面积等于边长的平方，我们已知正方形的面积，

求边长，就是已知一个数的平方，求这个数.可以用开平方运算.

生2：(1)设边长为x，则x2＝2；因为x＞0，所以x＝2.

(2)设边长为x，则x2＝5；因为x＞0，所以x＝5.

2.引入新课.

问题3：2、5是怎样的数？

师：请同学们结合问题1和问题2进行思考，可以互相讨论，然

后回答问题3.2、5存在吗？2、5又是怎样的一个数？

生：2、5分别是面积为2、5的格点正方形的边长，应当是存

在的.

师：下面我们来共同探究2是怎样的一个数.首先，请同学们想

一想，2介于哪两个整数之间？

生：因为1＜2＜4，所以1＜2＜4，即1＜2＜2.这说明2不

能是整数.

师：1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么2是其中

的哪个小数呢？如何确定？

生：在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数

是1.4和1.5.因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.96＜2＜2.25，所以1.96

＜2＜2.25，即1.4＜2＜1.5.

师：这又有什么意义？

生：2是介于1.4和1.5之间的一个两位小数.

师：1.4和1.5之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么2

是其中的哪个小数呢？如何确定？

生：同样是在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两

个小数是1.41和1.42.因为1.412＝1.9881，1.422＝2.0164，1.9881＜

2＜2.0164，所以1.9881＜2＜2.0164，即1.41＜2＜1.42.

师：这又有什么意义？

生：2是介于1.41和1.42之间的一个三位小数.

师：类似地，可得1.414＜2＜1.415，……像上面这样逐步逼近，

我们可以得到：

2＝1.4142135…

它可以根据需要，想算到哪位，就可以算到哪位，即可无限继续

算下去.

因此，2是一个无限不循环小数，它不是有理数.同样5也是一

个无限不循环小数，它也不是有理数，同学们课后可以用课本上同样

的方法去探究.

3.无理数的概念

师：有理数包括哪些数？

生：有理数包括整数和分数.

师：整数和分数可以统一写成什么形式？

生：整数可以看作分母为1的分数.因此，整数和分数可以统一

写成分数的形式.

师：这就是说，有理数总可以写成

n

m

(m、n是正整数，且m≠0)

的形式.分数能化成小数的形式吗？请同学们举例说明.有理数呢？

生：3＝

3

1

＝3.0，

1

2

＝0.5，

1

3

＝0.3·，

9

11

＝0.81··.分数都可以化为有限

小数或无限循环小数.因此，任何有理数都可以化为有限小数或无限

循环小数.

师：2＝1.4142135…是无限循环小数吗？是有理数吗？

生：2不是无限循环小数，不是有理数，2是无限不循环小数.

师：今天引入一个新概念，我们把无限不循环小数叫做无理数.

因此，2是无理数.

此外，3＝1.732050808…，

3

3＝1.44224957…，π＝

3.14159265…

这些数都是无限不循环小数.许多开方开不尽的数都是无限不循

环小数.圆周率π以及以后要学的自然对数的底等数虽然不用根号的

形式表示，但它们也是无限不循环小数，它们都是无理数.

师：有同学说无理数就是开方开不尽的数，对不对？

生1：不对.如圆周率π不是开方开不尽的数，但它是无理数.

生2：只能说开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数就是开

方开不尽的数，因为所有无限不循环小数都是无理数，不仅仅是开方

开不尽的数才是无理数.

师：类似的，无理数可分为正无理数与负无理数.如2、3、π

是正无理数，－2、－3、－π是负无理数.

4.实数的概念.

师：有理数和无理数统称为实数.这样，我们认识的数的范围又

扩大了.

5.实数的分类.

师：我们可以将实数按如下方式分类.(多媒体展示实数分类表)

实数











有理数



















正有理数

零

负有理数

有限小数或

无限循环小数

无理数



















正无理数

负无理数

无限不循环小数

三、例题分析

1.教师出示课本第12页练习题.

师：π、64、－

3

8都是无理数吗？

生：π是无理数，64＝8、－

3

8＝－2都是有理数.

师：因此，用根号形式表示的数并非都是无理数，必须先认真观

察计算，不能一看见用根号形式表示的数就盲目认为是无理数.

师：用根号形式表示的数与无理数是怎样的关系？

生：用根号形式表示的数，不一定是无理数，无理数不一定是用

根号形式表示的数.

师：0.213··如何写成分数的形式？

生：0.213

··

＝

213－2

990

＝

211

990

.

2.按大小对实数进行分类.(多媒体展示分类表)

师：实数还可以如何分类？为什么？

生：因为有理数、无理数都有正、负之分，所以实数也可以有正、

负之分，可分为正实数、负实数和零.

师：有同学说实数可分为正实数、负实数.对不对？为什么？

生：不对，将0遗漏了.

师：请同学们注意，实数按大小分类时，不能将0遗漏.

3.思考，每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，那无理数

也能用数轴上的点表示吗？如2呢？

用多媒体展示：

师：以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，这

个正方形对角线长为半径画弧，以数轴正半轴的交点记作A，与数轴

负半轴的交点记作A′，图中点A、点A′两点分别表示什么数？

生1：因为图中正方形可以看成是面积为1的格点正方形，它的

对角线长就是面积为2的格点正方形的边长，因此，对角线长应是2，

也就是点A表示的数是2.

生2：因为A′点在数轴负半轴上，OA′的长也是对角线长，所

以A′点表示的数是－2.

师：通过以上演示，同学们发现了什么？

生：无理数2、－2都能用数轴上的点来表示.

师：一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一

个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.

所以实数和数轴上的点一一对应.

四、提升练习

问题：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆

上的一点A由原点到达A′，点A′表示的是什么数？

师：要求出点A′表示的是什么数，同学们是怎么想的？

生1：要求出点A′表示的是什么数，只要求出点A从原点沿数轴

向右滚动一周到点A′的路程长度就行了.

生2：我知道，就是圆的周长，圆的周长等于直径乘以π.

生3：点A′表示的数是π.

师：由此，无理数π也可以用数轴上的点来表示.

五、课堂小结

1.无理数与有理数的区别是什么？

2.实数可以怎样分类？

3.实数与数轴上的点有怎样的对应关系？

学生回答，教师评价.