一阶线性微分方程

第七章一阶线性偏微分方程

7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。

dx

dtdydt

空2z

dt

解之得

所以，方程组的通积分为

112t

1（t,x,y）（xy-t-）eG，

24

zC1e2t

即得一个首次积分为

1(t,x,y)

(x

1t

2

1

y2t

1

4）e

2tC1。

方程组的两式相减，得

d（x

y）

dt

解之得另一个首次积分为

2（t,

x,y）

1t12

2

C2。

易验证detxdet0。

因此，1(t,x,y)

C1和2（t,x,

y）

C2是两个独立的首次积分,

1)

2)

3)

dx

dt

dy

dt

dx

1)

2y

dy

xz

，当t0时，xy1

dz

d(xy)

dt

xy，上方程化为一阶线性方程

方程组的两式相加，得2（x

y）t。

从中可解得通解为

即i(t,x,y)(xy)2y2C；。

给方程组第一式乘以y，第二式乘以x，再相减得

yxyyxyyy

22

(xy)y

yxyyxyyy1

1

(xy)y

两边积分，得另一个首次积分为

y

2(t,x,y)arctantC2

，

xy

2

易验证i(t,x,y)Ci和2(t,x,y)C2是两个独立的首次积分，

222y

所以，方程组的通积分为(xy)yCi，arctantC2，

xy

x(C2CJcost(C2

C

i)sint

，其中C

I

Cisinc2

，C2

C1cosC2

。

yC1costC2sint

C2

1211

t-t—

448

C

2

1211

-t-t

44

8

dxx2y

dyxy

2ydyydxxdy0，

xCie2t

yCie2t

2)方程组的两式相比，得

变形得恰当方程xdx

容易得满足t0时，x

y1的解为

xcostsint

ycost

3)

三个分式相加，得

d(xyz)

0

dy

xz

dz

yx

解之得一个首次积分为

22

x2y2xyC1

，

yxxy

(x22y22xy)[(xy)2y2]，

通解为

给三个分式的分子分母分别乘以X,y,z，再相加，得

22

d(xy

0

z2)ydyzdz

xzyx

又得另一个首次积分为

容易验证Xyz

Ci

z2C2是两个独立的首次积分，所以方程组的通

积分为XyzC1

，Xz2C2

。

评注：求首次积分时，注意利用部分方程的相加、

相减、相比，利用比例的基本性质等。

还要注意验证首次积分的独立性。

7-2求下列方程的通解及满足给定条件的解。

1)

(z22yzy2)丄(xyxz)-^(xy

y

xz)-^0

z

2)

(y3x2x4^z

X

(2y4

3z3

Xy)9z(x

y

3)(yz

u

u)—

X

(z

u

X)——(uXy

u

y)Xyzz

4)

nu,n为自然

数。

5)

zyz

-

X

c3

0,zy

i)这是

由此得

阶线性齐次偏微分方程，它的特征方程组为

c2

2yzy

dydz

xyxzxyxz

dy

dz

又由

2

z

dxdydz

得

2yzy2

xyxz

xyxz

xdxdydz

z2r2

2yzy

yzyz，

xdxydyzdz

2zc2

2yzyy

2

zy

2，

yzz

利用合比性质得

xdxydyydzxdxydyzdz

2z

2yz22

yyzy

yzz20

则另一个首次积分为X2y2z2C2

。

容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的通解

/2222c2、

u(Xyz,y2yzz)

其中为任意二元连续可微函数。

2)原方程的特征方程组为

dxdydz

~34433，

yx2x2yxy9z(xy)

由此得

dxdydz

_____xy_________9z

3

3

3333’

(y2x)(2yx)xy

即

dxdydz

xy耳

3(y3x3)3(y3x3)

因此

i

Inxyz3C1

所以得特征方程组的一个首次积分

1

xyz3C1

。

又巴

dx

2y4xy3

3

xy

2x

才为齐次万程，令yux，则

du2u4u

ux—

dx3u

2

分离变数，得

3u

2dx

-du-?

u(u1)x

即

3u22dx

(3-)du

u

1

ux

积分可得

3u

1

I2C2o

ux

因而得另首次积分

33

y

2

x

C2

,

xy

容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解

133

3yx

(xyz,r^)0,

xy

其中为任意二元连续可微函数。

3）原方程的特征方程组为

dxdydzdu

yzuzuxuxyxyz

由合比性质得

dxdydzdudxdy

3(xyzu)yx

由此可得一个首次积分

(xyz

1

u)?(y

x)C1o

同理，由

其中是各变元的连续可微函数。

若能解出u，则得通解

uxnF(―,-)。

xx

其中F为各变元的连续可微函数。

5)这是一阶拟线性偏微分方程，它的特征方程组为

先求得一个首次积分为zC2

。

dx

yz

dy

1

dz

0

dxdydzdudydz

3(x

y

zu)z

y

可得另

一

-个首次积分

(xyz

1

uf(z

y)C

2

再由

dxdydzdudzdu

3(xyzu)uz

1

(xyzu)3(uz)C3

。

容易验证这三个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解

11

((xyzu)(yx),(xyzu)(zy),(xyz

其中为任意三元连续可微函数。

4)原方程的特征方程为

1

u)?(uz))0

dxdydzdu

xyznu

不难求得三个独立的首次积分

z

Ci,

—

u

C2

,

n

x

C3。

于是，原方程的隐式通解为

得第三个首次积分

xx

代入得空

dy,

C2

y1

解得另一个首次积分为2xC2y2C2

，即2xzy2C1

。

容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解

2

(2xzy,z)0

其中是任意的二元连续可微函数。

将x0,zy3

代入zC2和2xzy2C1，得C；C；，故所求满足条件的解为

z(2xzy2)3

，即z5(zy22x)3

。

评注：求解一阶线性齐次偏微分方程或拟线性偏微分方程，实际上转化为求解一个常微

分方程组的问题。

7-3求与下列曲面族正交的曲面(a为任意常数)。

1)zaxy

2)xyza

解1)设所求曲面方程为zz(x,y)，则过曲面上任一点(x,y,z)的法线方向为

1，而曲面zaxy在(x,y,z)的法线方向为ay,ax,

由于所求曲面与zaxy正交，所以在曲面zz(x,y)上的点满足

ay—ax-z10，

xy

这是一个一阶拟线性偏微分方程。

它的特征方程组为

dxdydz

ayax1

由竺理，解得它的一个首次积分为

ayax

22

1（x,y,z）xyC1。

由竺

ay

axy，得

xdx

ayx

dz

1

即xdxzdz,另一个首次积分为

22

2（x,y,z）xzC2。

矩阵的行列式不为零。

微函数。

b)设所求曲面方程为u(x,y,z)0，则过曲面上任一点(x,y,z)的法线方向为

上，而曲面xyza在(x,y,z)的法线方向为

z

由于所求曲面与xyza正交，所以在曲面u(x,y,z)0上的点满足

uyz-

x

这是一个一阶线性齐次偏微分方程。

u

xz

y

uc

xy0，

z

它的特征方程组为

dxdydz

yzxzxy°

.dx

由——

矽，解得它的一个首次积分为i(x,y,z)xyCi。

yzxz

,dxdz

22

由———，得另一个首次积分为

2(x,y,z)xzC2。

yzxy

容易验证这两个首次积分相互独立，所求曲面方程u(x,y,z)0满足

由于

111

xyz

222

xyz

2x2y0

2x02z

1

dety

2

y

2x0

det

02z

4xz0，即x,z解不为零时，其中的一个二阶子

所求曲面方程zz(x,y)满足(x2y2,x2z2)0，其中

是任意的二元连续可

yz,xz,xy。

次偏微分方程，最终均是解一个常微分方程组的问题。

7-4试证方程

有仅与x有关的积分因子的充要条件是

M7)N

仅是x的函数。

阶偏微分方程:

N——M

x

若方程（1）有仅与x有关的积分因子，设为Mx），则Mx）必满足偏微分方程（2）,

即有

2(卫*,

xyx

整理得

dxdy

M

由第一分式和第三分式得

M(x,y)dxN(x,y)dy0

(1)

证由定理22，函数（x,y）是方程（1）的积分因子的充分必要条件是（x,y）满足一

(2)。

必要性。

这就证明了

1dMx)1MN)

Mx)dxN'yx'

MN）N仅是x的函数。

充分性。就是要证明在条件

（

卫

N）NM（x）下，一阶偏微分方程（2）有只与x有

x

关的解即可。求解一阶拟线性方程2），它的特征方程为

MN

即

d卩

yxdx

«x)dx

1

1

N

显然，有个首次积分为

$(x)dx

1

Ci，故

$(x)dx

1e为方程(2)的一个解，这个解是

只与x有关的函数。这就证明了充分性。

评注：本题是第二章定理2.2的结论1，在这里我们又用一阶拟线性偏微分方程解的理论进行证明。

7-5证明以坐标原点为顶点的锥面方程可写为

(',—)0或zx©(~y)

xxx

其中，©为其变元的可微函数。

证设以坐标原点为顶点的锥面方程为zz(x,y)，则其上任一点(x,y,z)处的法线方

向为,1，切线方向为x0,y0,z0x,y,z，故锥面zz(x,y)上的点

xy

(x,y,z)满足

x—y—1z0,

xy

这是一个一阶线性非齐次偏微分方程，它的特征方程为

dxdydz

xyz

解之得，两个独立的首次积分为

yz

Ci,C2,

xx

(X,-)0,若将-解出，得z，其中

xxxx

所以锥面方程为

数。

,©为其变元的可微函

评注：注意利用锥面的性质建立一阶偏微分方程。

类似地，我们可以求得顶点在某一固

定点的锥面方程。

12

2（t,x,y）xy-tC2。

2

2222

u(x,y,z)(xy,xz)0

其中是任意的二元连续可微函数。

评注：求与一已知曲面族正交的曲面zz(x,y)，问题转化为求解一个一阶拟线性偏