2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分,共6页•考试时间120分钟.满分150
分.
答题前,考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第I卷答题
卡和第n卷答题纸规定的位置.
参考公式:
样本数据X-i,X
2
,X
n
的标准差
球的面积公式s4R2
第I卷(选择题共60分)
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净
后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
2.第I卷只有选择题一道大题.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
12i
1.复数
12i
(i是虚数单位)的虚部是
3
A.—
2
1
B.-
2
C.3D.1
2.已知R是实数集,Mx
2
1,Ny
yJx11,则NCRM
X
3.现有10个数,其平均数是4,且这10个数的平方和是200,那么这个数组的标准差是
A.1B.2C.3D.4
4.设Sn为等比数列{a.}的前n项和,8a20则鱼
,S2
A.5B.8C.8D.15
的值是
(Xn
2X)
其中X为样本平均数
A.(1,2)B.0,2C.
D.1,2
5.已知函数f(X)sin(2x
-),若存在a
(0,),使得f(xa)
f(xa)恒成立,则a
A.B.C.D.
6
34
2
6.已知
m、n表示直线,
,
,表示平面,
给出下列四个命题,其中真命题为
(1)m,n,n
m,则
(2)m,
n,则n
m
(3)m,m
,则
//
(4)m,n,mn
,则
A.(1)、(2)B.(3)、(4)C.(2)、(3)D.(2)、(4)
■-■-|AB|
7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA3OB2OC,则等于
|BC|
A.1B.2C.3
D.4
8.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列,且最大角的正弦值为
—,则这个三
2
角形的周长是
A.18B.21C.24D.15
9.函数f(x)
lg
x
1
的零点所在的区间是
x
A.0,1B.1,10C.10,100D.(100,)
10.过直线y2
x上一点P引圆x
6x70的切线,则切线长的最小值为
2
A.
2
B.D.■■2
11.已知函数f(x)ax
2b.若a,b都是区间0,4
内的数,则使f(1)0成立的概率是
3
A.-
4
B.
5
D.-
8
12.已知双曲线的标准方程为
916
1,F为其右焦点,A1,A2是实轴的两端点,设P为
双曲线上不同于A1,A2的任意一点,直线AP,A2P与直线xa分别交于两点M,N,若
FMFN0,则a的值为
第口卷(非选择题共90分)
注意事项:
1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第n卷答题纸的指定位置•书写的答
案如需改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案.
2•不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效•在试题卷上答题无效.
3•第n卷共包括填空题和解答题两道大题.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13._______________________________________如图所示的程
序框图输出的结果为____________________________.
14.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示,其
一个球面上,则该球的表面积为_____________.
的能量是2008年地震能量的__________倍.
16.给出下列命题:
①已知a,b都是正数,且旦,则ab;
b1b
②已知f(x)是f(x)的导函数,若xR,f(x)0,贝yf(1)f(2)—定成立;
③命题“xR,使得x22x10”的否定是真命题;
④“x1,且yT是“xy2”的充要条件.
其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上)
15.地震的震级R与地震释放的能量
E的关系为R彳(IgE
3
11.4)•2011年3月11日,日
本东海岸发生了9.0级特大地震,
2008年中国汶川的地震级别为
8.0级,那么2011年地震
第14题图
三、解答题:本大题共6小题,共74分•解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知向量a(1,cos-)与bC3sin°cosX,y)共线,且有函数yf(x).
222
2
(i)若f(x)1,求cos(-2x)的值;
3
(n)在ABC中,角A,B,C,的对边分别是a,b,c,且满足2acosCc2b,求函数
f(B)的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且S3S550,a1,a4,a13成等比数列.
(I)求数列an的通项公式;
bn
是首项为1,公比为3的等比数列,求数列
an
bn的前n项和Tn.
(本小题满分12分)
在某种产品表面进行腐蚀性检验,得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据:
时间x(秒)
51015203040
深度y(微米)
61010131617
现确定的研究方案是:先从这6组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再对被
选取的2组数据进行检验.
(I)求选取的2组数据恰好不相邻的概率;
(n)若选取的是第2组和第5组数据,根据其它4组数据,求得y关于x的线性回归方
4139
程?x,规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误
1326
差均不超过2微米,则认为得到的线性回归方程是可靠的,判断该线性回归方程是否可靠.
19.(本小题满分12分)
已知四棱锥ABCDE,其中ABBC
//CD,F为AD的中点•
(I)求证:EF//面ABC;
(n)求证:面ADE面ACD;
(III)求四棱锥ABCDE的体积•
ACBE1,CD2,CD面ABC,BE
20.
B
21.(本小题满分12分)
axb
已知函数f(x)2
在点(1,f(1))的切线方程为xy30.
x1
(I)求函数f(x)的解析式;
(n)设g(x)lnx,求证:g(x)f(x)在x[1,)上恒成立.
22.(本小题满分14分)
称轴为y轴,两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1AF2
,△AF1F2
的面积为3.
(I)求椭圆和抛物线的标准方程;
实轴长为4•.3的椭圆的中心在原点,
其焦点F2在x轴上.抛物线的顶点在原点0,对
(n)
2
参考答案及评分标准
•选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
BDBADBBDBCCB
•填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.)
三•解答题
17.(本小题满分12分)
解:(I):a与b共线
1
3sinxcos-
22
y.3
.xx2
sincoscos
x
3.
sinx
丄(1
cosx)sin(x
)
1
......3分
2222262
•f(x)
sin(x
1
2
1
,
即sin(x
6)
1
2……4分
cos(
3
2x)cos2(
3
x)
2cos2
(—
x)12sin2(x
6)1
1
2
.............................6分
(n)已知2acosCc2b
2sinAcosCsinC2sinB2sin(AC)
2sinAcosCsinC2sinAcosC2cosAsinC
•cosA-,•••在ABC中/A-
..............8分
2
3
f(B)sin(B
6)
1
2
•••/A—•0B2,B—
5
..............10分
由正弦定理
得:
3366
6
13.2
14.19
3
15.10216.①③
x
cos
2
y
sin(B点)1,1f(B)
•••函数
3
f(B)的取值范围为(1,
12分
18.
(本小题满分12分
、)
解:(I)依题〕意得
3245
3a1d
2
15a1
2
d50
.........2分
3d)2a1(a112d)
解得
a13
..........4分
d2
ana1(n1)d3:
2(n1)2n1,即a.2n1...............
...........6分
(n)b
n3n1,bnan3n1(2n1)3n1.........................7分
an
Tn
353732(2n1)3n1
3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n
-.......9分
2Tn32323223n1(2n
n
1)3
n1、
3(13)
32(2n1)3
13
2n3n
•••Tnn3n
19.(本小题满分12分)
解:(I)取AC中点G连结FGBG,
•••F,G分别是AD,AC的中点
1
•FG//CD且FG=—DC=1
2'
•/BE//CD•FG与BE平行且相等
•EF//BG....................2分
EF面ABC,BG面ABC
•EF//面ABC................4分
(n)•/△ABC为等边三角形•BG丄AC
又TDC丄面ABC,BG面ABC•DC丄BG
A
•••BG垂直于面ADC的两条相交直线ACQC,
•••BG丄面ADC..................•/EF//BG
•EF丄面ADC
•/EF面ADE,.••面ADE丄面ADC.
•CDAO,BCCDC
,•-AO平面BCDE,•-AO为VABCDE的高,
-J3一
(12)1
3
VABCDE
1
3、3
3
AO-,SBCDE2223224
20.(本小题满分12分)
VABCDE
1
VEABCVEACD—
1
v3V3
1-
V3V3
.......12分
343
212
64
另法:取BC的中点为0,连结AO,则AO
BC,又CD平面ABC,
(川)连结EC该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-
ADC.
..............................8分
解:(I)设6组数据的编号分别为123,4,5,6.
设抽到不相邻的两组数据为事件
A,从6
组数据中选取2组数据共有15种情况:
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)
(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)
(4,6)(5,6),其中事件
A包含的基本事件有10
种.
所以
10
P(A)15
|.所以选取的
2组数据恰好不相邻的概率是
x10时,?-
13
10
139
26
219
|
219
26,126
10|2;
x30时,
30
139
26
所以,该研究所得到的回归方程是可靠的.
379|379
26
11
26
16|2;
12分
21.(本小题满分12分)
解:(I)将x1代入切线方程得y2
ba
f(1)2,化简得ba4.
11
.............................2分
f(x)
2a(x1)(axb)2x
22
(1x)
设h(x)x21nxlnx2x2,
1
h(x)2xlnxx2
x
1
Tx12xlnx0,x2,即h(x)0.
x
•••h(x)在[1,)上单调递增,h(x)h(1)0
(2)设直线l的方程为y1k(x22),B(x1,y1),C(x2,y2)
f(1)
2a2(ba)2bb
44
2
解得:a
2,b2
•f(x)
2x
2
2
x
1
2x2
(n)由已知得lnx
在
[1,2
x1
..............................6分
即x2lnxlnx2x20在[1,
)上恒成立
.............................8分
10分
•g(x)f(x)在x[1,)上恒成立
.............................12分
解(1)设椭圆方程为
22X
2
y
21(ab
ab
22,2
mn4c
由题意知mni43
mn
6
解得c29,••b21293.
22
•椭圆的方程为xy
1
123
IAc3,…yA
1,代入椭圆的方程
得
将点A坐标代入得抛物线方程为X2
0),AF1m,AF2n
..........................2分
.............................4分
XA22,
8y...........................6分
1
)上恒成
化简得(x21)lnx2x2
22.(本小题满分14分)
由AC2AB得x
2
2.22(x
1
2、、2),
化简得2x
1
x
2
2•、2联立直线与抛物线的方程
y1k(X2-'2)
,
2c
x8y
得x28kx16.、2k80
二x
1
2•一28k①..........................10分
联立直线与椭圆的方程
y1k(X2,2)
x24y212
得(14k2)x2(8k16..2k2)x32k216.2k80
•••2x1x22(8k2..2)吟护
2
、2“
•—.?2k
整理得:(16k4,2)(1—)0
14k
2
•••k,所以直线l的斜率为—
44
--X22■-
2
2
162k8k
14k2
12分
.............................14分
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