2015年中考

1

2015年青岛中考试卷

一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）

下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选

对得分；不选、选错或选出的标号超过一个不得分。

1、的相反数是（）2

A.-B.C.D.222

2

1

2、某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s。把0.000000001s用科学计数法

克表示为（）

.s8-101.09-101.08-1019-101

3、下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

4、如图，在中，,,AD是的角平分线，

ABC



90C



30B

ABC

,垂足为E，DE=1，则BC=（）ABDE

A.B.2C.3D.+233

5、小刚参加射击比赛，成绩统计如下表：关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）

成绩（环）678910

次数13231

A.极差是2环B.中位数是8环C.众数是9环D.平均数是9环

6、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O相切于点A，若直线PA与⊙O相切于点A,则PAB

（）

A.B.C.D.



30



35



45



60

7、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E,F分别是AB,BC边上的中点，连接EF，

若EF=,BD=4，则菱形ABCD的周长为（）3

A.4B.C.D.286474

8、如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于A,B两点，其中点Axky

11



x

k

y2

2



2

的横坐标为2，当时，的取值范围是（）

21

yyx

A.B.22xx或202xx或

C.D.2002xx或202xx或

二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）

9、计算：=____________。272323aaaa

10、如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为

原来的，那么点A的对应点的坐标是________________。

3

1

A



11．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱

体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 ．

12．如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，

1），

（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD

与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为 ．

13、如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F，且,,



55A



30E

则___________。F

14、如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后

他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明

所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需

要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 ．

三、作图题（本题满分4分）

15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：线段c，直线l及l外一点A．

求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C），斜边AB=c．

3

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16．（8分）

（1）化简：（+n）÷；

（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

17．（6分）某小学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的

学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：

（1）补全条形统计图；

（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；

（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？

18．（6分）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球

（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数

字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

19．（6分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角

分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离

地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）

4

20．（8分）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙

盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料．

（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？

（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请

写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多

少米材料？

21．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足

为E．

（1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．

22．（10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照

图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线时的点C到墙面OB的

水平距离为3m，到地面OA的距离为m．

（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么

这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不

超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

5

23．（10分）

【问题提出】

用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

【问题探究】

不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，

通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．

【探究一】

（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

此时，显然能搭成一种等腰三角形．

所以，当n=3时，m=1．

（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．

所以，当n=4时，m=0．

（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．

若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．

所以，当n=5时，m=1．

（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．

若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．

所以，当n=6时，m=1．

综上所述，可得：表①

n3456

m1011

6

【探究二】

（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？

（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）

（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？

（只需把结果填在表②中）

表②

n78910

m

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…

【问题解决】：

用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分

别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）

表③

n4k﹣14k4k+14k+2

m

【问题应用】：

用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写

出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒．（只填结果）

24．（12分）

已知，如图①，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得

到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM

停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，

解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S

△QMC

：S

四边形ABQP

=1：4？若存在，求出t的值；若不存在，请

说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

7

2015年山东省青岛市中考数学试卷答案

一、选择：ADBCBACD

二、填空：

9、10、（2，3）11、s=．12、2﹣213、40°14、19、485a

三、15、

解：如图，△ABC为所求．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16、

（1）原式=•=•=；

（2）∵方程2x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，

∴△=9+8m＞0，

解得：m＞﹣．

17、

（1）抽取的总人数是：10÷25%=40（人），在B类的人数是：40×30%=12（人）

（2）扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×=27°；

8

（3）能在1.5小时内完成家庭作业的人数是：2000×（25%+30%+35%）=1800（人）

18、解：这个游戏对双方不公平．

理由：列表如下：

1234

1

（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）

2

（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）

3

（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）

4

（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）

所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），

（4，4）共6种，

故小颖获胜的概率为：=，则小丽获胜的概率为：，

∵＜，

∴这个游戏对双方不公平．

19、解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，

由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，

在Rt△ADB中，∠ABD=45°，

∴DB=x，

在Rt△ADC中，∠ACD=35°，

∴tan∠ACD=，

∴=，

解得，x≈233m．

20、解：

（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，

，解得：x=0.5，

经检验x=0.5是原方程的解，

∴（1+20%）x=0.6（米），

答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料．

（2）根据题意得：l=0.6n+0.5（3000﹣n）=0.1n+1500，

∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，

∴n≥2（3000﹣n）

解得：n≥2000，

∴2000≤n＜3000，

∵k=0.1＞0，

∴l随n增大而增大，

9

∴当n=2000时，l最小1700米．

21、证明：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACD，

∴∠B=∠EAC，

∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AE，

∴∠ADC=∠CEA=90°

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）AB=DE，如右图所示，

∵AD⊥BC，AE∥BC，

∴AD⊥AE，

又∵CE⊥AE，

∴四边形ADCE是矩形，

∴AC=DE，

∵AB=AC，

∴AB=DE．

22、解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），

把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x

2+bx+c得，

解得．

所以抛物线解析式为y=﹣x

2+2x+4，

则y=﹣（x﹣6）

2+10，

所以D（6，10），

所以拱顶D到地面OA的距离为10m；

10

（2）由题意得货运汽车最外侧于地面OA的交点为（2，0）或（10，0），

当x=2或x=10时，y=＞6，

所以这辆货车能安全通过；

（3）令y=0，则﹣（x﹣6）

2+10=8，解得x

1

=6+2，x

2

=6﹣2，

则x

1

﹣x

2

=4，

所以两排灯的水平距离最小是4m．

23、探究二：2；1；2；2．

问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．

问题应用：2016÷4=504，504﹣1=503，

当三角形是等边三角形时，面积最大，

2016÷3=672，

∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰

用672根木棒．

24、解：

（1）在Rt△ABC中，AC==4，由平移的性质得MN∥AB，

∵PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴=，∴=，t=，

（2）过点P作PD⊥BC于D，

∵△CPD∽△CBA，∴=，∴=，∴PD=﹣t，

∵PD∥BC，∴S

△QMC

=S

△QPC

，

∴y=S

△QMC

=QC•PD=t（﹣t）=t﹣t2

（0＜t＜4），

（3）∵S

△QMC

：S

四边形ABQP

=1：4，∴S

△QPC

：S

四边形ABQP

=1：4，

∴S

△QPC

：S

△ABC

=1：5，∴（t﹣t2）：6=1：5，∴t=2，

（4）若PQ⊥MQ，则∠PQM=∠PDQ，

∵∠MPQ=∠PQD，∴△PDQ∽△MQP，∴=，∴PQ2=MP•DQ，∴PD2+DQ2=MP•DQ，

∵CD=，∴DQ=CD﹣CQ=﹣t=，

∴（）2+（）2=5×，

∴t

1

=0（舍去），t

2

=，

11

∴t=时，PQ⊥MQ．