2014高考数学全国卷

1

2014年普通高等学校统一考试（大纲）

理科

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设

10

3

i

z

i





，则z的共轭复数为

（）

A．13iB．13iC．13iD．13i

【答案】D．

2.设集合2{|340}Mxxx，{|05}Nxx，则MN

（）

A．(0,4]B．[0,4)C．[1,0)D．(1,0]

【答案】B.

3.设sin33,cos55,tan35,abc则

（）

A．abcB．bcaC．cbaD．cab

【答案】C．

4.若向量

,ab

满足：1,,2,aabaabb则b

（）

A．2B．2C．1D．

2

2

【答案】B．

5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不

同的选法共有（）

A．60种B．70种C．75种D．150种

【答案】C．

2

6.已知椭圆C：

22

22

1

xy

ab



(0)ab的左、右焦点为

1

F、

2

F，离心率为

3

3

，过

2

F的

直线l交C于A、B两点，若

1

AFB的周长为43，则C的方程为

（）

A．

22

1

32

xy

B．

2

21

3

x

yC．

22

1

128

xy

D．

22

1

124

xy



【答案】A．

7.曲线1xyxe在点（1,1）处切线的斜率等于

（）

A．2eB．eC．2D．1

【答案】C．

8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为

（）

A．

81

4



B．16C．9D．

27

4



【答案】A．

9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为

1

F、

2

F，点A在C上，若

12

2FAFA，则

21

cosAFF（）

A．

1

4

B．

1

3

C．

2

4

D．

2

3

【答案】A．

10.等比数列{}

n

a中，

45

2,5aa，则数列{lg}

n

a的前8项和等于

（）

A．6B．5C．4D．3

【答案】C．

11.已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，

135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（）

3

A．

1

4

B．

2

4

C．

3

4

D．

1

2

【答案】B.

12.函数()yfx的图象与函数()ygx的图象关于直线0xy对称，则()yfx的反

函数是（）

A．()ygxB．()ygxC．()ygxD．()ygx

【答案】D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.

8

xy

yx











的展开式中22xy的系数为.（用数字作答）

【答案】70.

14.设,xy满足约束条件

0

23

21

xy

xy

xy

















，则4zxy的最大值为.

【答案】5.

15．直线

1

l和

2

l是圆222xy的两条切线，若

1

l与

2

l的交点为1,3，则

1

l与

2

l的夹角的

正切值等于.

【答案】

4

3

．

16.若函数()cos2sinfxxax在区间(,)

62



是减函数，则

a

的取值范围是.

【答案】,2．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos2cosaCcA，

1

tan

3

A，

求B.

解：由题设和正弦定理得

4

1

3sincos2sincos,,cos2sin,

3

ACCAACCACC====

()()

1tantan

tan,tantan180tan1,

2tantan1

AC

CBACAC

AC

+

轾

==?+=-+==-

臌

-

又

0180,135BB?<癨??

．

18.（本小题满分12分）

等差数列{}

n

a的前n项和为

n

S，已知

1

10a，

2

a为整数，且

4n

SS.

（I）求{}

n

a的通项公式；

（II）设

1

1

n

nn

b

aa



，求数列{}

n

b的前n项和

n

T.

解：（I）由

1

10a，

2

a为整数知，等差数列{}

n

a的公差

d

为整数．又

4n

SS，故

45

0,0,aa于是1030,1040dd，解得

105

32

d-＃-

，因此

3d=-

，故

数列{}

n

a的通项公式为

133

n

an=-

．（II）



1111

33n

b

nnnn











，于是

12

1111111111

37131010103nn

n

Tbbb

nnnn

















．

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱

111

ABCABC中，点

1

A在平面ABC内的射影D在AC上，090ACB，

1

1,2BCACCC.

（I）证明：

11

ACAB；

（II）设直线

1

AA与平面

11

BCCB的距离为

3

，求二面角

1

AABC的大小.

5

D

B

1

C

C

1

A

1

A

B

解：解法一：（I）

1

AD^

平面

ABC

，

1

ADÌ

平面

11

AACC

，故平面

11

AACC^

平面

ABC

．又

BCAC^

，

BC^

平面

11

AACC

．连结

1

AC

，∵侧面

11

AACC

为菱形，故

11

ACAC^

，由三垂线定理得

11

ACAB^

；（II）

BC^

平面

11

,AACCBCÌ

平面

11

BCCB

，故平面

11

AACC^平面

11

BCCB

．作

11

,AECCE^为垂足，则

1

AE^平面

11

BCCB

．又直线

1

AA∥平面

11

BCCB

，因而

1

AE

为直线

1

AA

与平面

11

BCCB的距离，

1

3AE=．∵

1

AC为

1

ACCÐ的角平分线，故

11

3ADAE==．作

,DFABF^

为垂足，连结

1

AF，由三垂线定理得

1

AFAB^，故

1

AFDÐ为二面角

1

AABC

的平面角．由22

11

1ADAAAD=-=

得D为

AC

的中点，

1

1

15

,tan15,

25

AD

ACBC

DFAFD

ABDF

´

=??=

∴二面角

1

AABC的大小为

arctan15

．

B

1

C

1

D

C

B

A

A

1

E

F

z

y

x

B

1

C

1

D

C

B

A

A

1

解法二：以

C

为坐标原点，射线

CA

为x轴的正半轴，以

CB

长为单位长，建立如图所示的空

间直角坐标系

Cxyz-

．由题设知

1

AD与z轴平行，z轴在平面

11

AACC内．

（I）设()

1

,0,Aac，由题设有()()2,2,0,0,0,1,aAB£则

()()()()()

1111

2,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.ABACAAacACACAAacBAac=-=-=-=+=-=-

由

1

2AA=

得()2

222ac-+=，即2240aac-+=

（①）．于是

22

1111

40,ACBAaacACAB?-+=^．

6

（II）设平面

11

BCCB

的法向量(),,,mxyz=则

1

,,mCBmBB^^即

1

0,0mCBmBB??．()0,1,0,CB=

()

11

2,0,,BBAAac==-故

0y=

，且()20axcz-+=．令xc=，则

()2,,0,2zamca=-=-，点A到平面

11

BCCB

的距离为

()2

2

2

cos,

2

CAm

c

CAmCAc

m

ca

×

?==

+-

．又依题设，点A到平面

11

BCCB

的距离为

3,3c=．代入①解得

3a=

（舍去）或

1a=

．于是()1

1,0,3AA=-

．设平面

1

ABA

的

法向量(),,npqr=，则

1

,nAAnAB^^，即

1

0,0,30nAAnABpr??-+=，故且

20pq-+=

．令3p=，则23,1,qr==3,23,1n．又0,0,1p为平面ABC的

法向量，故

1

cos,

4

np

np

np







，∴二面角

1

AABC的大小为

1

arccos

4

．

20.（本小题满分12分）

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各

人是否需使用设备相互独立.

（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.

解：记

i

A表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，0,1,2i；B表示事件：甲

需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．

（I）

122

DABCABABC，又

2

2

0.6,0.4,0.5,0,1,2.i

i

PBPCPACiPD



122122122

ABCPABCPABPABCPAPBPCPAPBPAPBPC

（II）X的可能取值为0，1，2，3，4．

2

00

010.60.510.40.06PXPBACPBPAPC

，

2

001001

10.60.5PXPBACBACBACPBPAPCPBPAPCPBPAPC

22

2

10.410.60.50.410.620.510.40.25,4PXPABC

7

2

2

0.50.60.40.06,340.25,210PAPBPCPXPDPXPXPX



∴数学期望

()()()()()PXPXPX=?+?+?+?+?=+???

21.（本小题满分12分）

已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，直线4y与y轴的交点为P，与C的交

点为Q，且

5

||||

4

QFPQ.

（I）求C的方程；

（II）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l



与C相较于M，N两点，

且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

解：（I）设()

0

,4Qx，代入22ypx=，得

00

888

,,.

22

pp

xPQQFx

ppp

===+=+．由题

设得

858

24

p

pp

+=?，解得

2p=-

（舍去）或

2p=

，∴C的方程为24yx=；（II）由题设知

l

与坐标轴不垂直，故可设

l

的方程为()10xmym=+?，代入24yx=得2440ymy--=．设

()()

1122

,,,,AxyBxy则

12

4,yym+=

12

4yy=-．故AB的中点为()()222

12

21,2,141DmmABmyym+=+-=+

．又

l

¢的斜率

为,ml

¢

-的方程为2

1

23xym

m

=-++

．将上式代入24yx=，并整理得

()22

4

4230yym

m

+-+=

．设()()

3344

,,,,MxyBxy则()2

3434

4

,423yyyym

m

+=-=-+

．故

MN

的中点为

()22

2

34

222

4121

221

23,,1

mm

EmMNyy

m

mmm

++

骣

÷

ç

++-=+-=

÷

ç

÷

ç

桫

．

由于

MN

垂直平分线AB，故

,,,AMBN

四点在同一圆上等价于

1

2

AEBEMN==

，从而

22211

,

44

ABDEMN+=

即()

()()2

22

22

2

2

24

4121

22

4122

mm

mm

m

mm

++

骣骣

鼢

珑

+++++=

鼢

珑

鼢

珑

桫桫

，化简得

210m-=

，解得

1m=

或

1m=-

．所求直线

l

的方程为

10xy--=

或

10xy+-=

．

22.（本小题满分12分）

8

函数ln11

ax

fxxa

xa





.

（I）讨论fx的单调性；

（II）设

11

1,ln(1)

nn

aaa



，证明：

23

+22n

a

nn





.

解：（I）fx的定义域为





2

2

2

1,,

1

xxaa

fx

xxa













．

（i）当12a时，若21,2xaa，则0,fxfx



在21,2aa上是增函

数；若22,0,xaa则0,fxfx



在22,0aa上是减函数；若

0,,x则0,fxfx



在0,上是增函数．

（ii）当

2a=

时,()()0,0fxfx

ⅱ

?成立当且仅当()0,xfx=在()1,-+?上是增函数．

（iii）当

2a>

时，若()1,0x?，则0,fxfx



在是()1,0-上是增函数；若

20,2xaa，则0,fxfx



在20,2aa上是减函数；若22,xaa，

则0,fxfx



在22,aa

上是增函数．

（II）由（I）知，当

2a=

时，()fx在()1,-+?是增函数．当()0,x??时，()()00fxf>=，

即()()

2

ln10

2

x

xx

x

+>>

+

．又由（I）知，当

3a=

时，fx在[)0,3上是减函数；当()0,3xÎ

时，()()00fxf<=，即()()

3

ln103

3

x

xx

x

+<<<

+

．下面用数学归纳法证明

23

22n

a

nn

<?

++

．

（i）当

1n=

时，由已知

1

2

1

3

a<=

，故结论成立；

（ii）假设当

nk=

时结论成立，即

23

22k

a

kk

<?

++

．当

1nk=+

时，

()()

11

23

23

2233

22

ln1ln1,ln1ln1

23

2323

23

22

kkkk

kk

aaaa

kkkk

kk

++

创

骣骣

++

鼢

珑

=+>+>==+?<=

鼢

珑

鼢

珑

桫桫

++++

++

++

，即当

1nk=+

时有

23

33k

a

kk

<?

++

，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何

nN*Î

结论都

成立．