2013年陕西高考

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

乐享玲珑，为中国数学增光添彩！

免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5

分，共50分）

1.设全集为R,函数2()1fxx

的定义域为M,则

M

R

ð

为

(A)[－1,1](B)(－1,1)

(C),1][1,)((D),1)(1,)(

2.根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为

(A)25(B)30(C)31(D)61

3.设

，ab

为向量,则“||||||aabb·”是“ab”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

4.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,„,

840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为

(A)11(B)12(C)13(D)14

5.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区

域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随

机地选一地点,则该地点无

．

信号的概率是

(A)

1

4





(B)

1

2





(C)

2

2





(D)

4



6.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是

(A)若

12

||0zz,则

12

zz

(B)若

12

zz

,则

12

zz

1

2

D

A

C

B

E

F

输入x

Ifx≤50Then

y=0.5*x

El

y=25+0.6*(x-50)

EndIf

输出y

(C)若||||

21

zz,则

2112

··zzzz

(D)若

12

||||zz,则

21

22zz

7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若coscossinbCcBaA,则△ABC的形

状为

(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定

8.设函数

61

,

0

0

.

,

()

,

xx

fx

x

xx

























,则当x>0时,[()]ffx表达式的展开式中常数项为

(A)－20(B)20(C)－15(D)15

9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则

其边长x(单位m)的取值范围是

40m

x

40m

(A)[15,20](B)[12,25](C)[10,30](D)[20,30]

10.设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数

,xy

，有

(A)[－x]＝－[x](B)[2x]＝2[x]

(C)[x＋

y

]≤[x]＋[

y

](D)[x－

y

]≤[x]－[

y

]

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25

分）

11.双曲线

22

1

16

xy

m

的离心率为

5

4

,则m等于.

12.某几何体的三视图如图所示,则其体积为.

1

1

2

1

13.若点(

,xy

)位于曲线|1|yx与y＝2所围成的封闭区域,则2x－y的最小值为.

14.观察下列等式:

211

22123

2221263

2222124310

„

照此规律,第n个等式可为.

15.(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)

A.(不等式选做题)已知,,,abmn均为正数,且

1ab

,

2mn

,则(

ambn

)(

bman

)

的最小值为.

B.(几何证明选做题)如图,弦AB与CD相交于O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长

线相交于点P.已知PD＝2DA＝2,则PE＝.

E

D

O

P

A

B

C

C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆220yxx的

参数方程为.

θ

P

O

y

x

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16.(本小题满分12分)已知向量

1

(cos,),(3sin,cos2),

2

xxxxabR

,设函数()·fxab.

(Ⅰ)求()fx的最小正周期.

(Ⅱ)求()fx在0,

2









上的最大值和最小值.

17.(本小题满分12分)

设

{}

n

a

是公比为

q

的等比数列.

(Ⅰ)导{}

n

a的前n项和公式;(Ⅱ)设

q

≠1,证明数列{1}

n

a不是等比数列.

18.(本小题满分12分)

如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,

1

2ABAA

.

(Ⅰ)证明:A1C⊥平面BB1D1D;

(Ⅱ)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.

O

D

1

B

1

C

1

D

A

C

B

A

1

19.(本小题满分12分)

在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎

歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,

不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5

号中随机选3名歌手.

(Ⅰ)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.

20.(本小题满分13分)

已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(Ⅱ)已知点B(－1,0),设不垂直于x轴的直线

l

与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是

PBQ的角平分线,证明直线

l

过定点.

21.(本小题满分14分)已知函数

()e,xfxxR

.

(Ⅰ)若直线1ykx与()fx的反函数的图像相切,求实数

k

的值;

(Ⅱ)设

0x

,讨论曲线()yfx与曲线2(0)ymxm

公共点的个数.

(Ⅲ)设

ab

,比较

()()

2

fafb

与

()()fbfa

ba





的大小,并说明理由.

参考答案

一、选择题

1．D解：),1()1,(],1,1[.11,0-12M

R

CMxx即,所以选D

2．C解：31)50(6.025,60xyx,所以选C

3．C解：。cos||||baba

若1cos||||||baba,b//a0，即或的夹角为与则向量ba为真；

相反，若ba//，则||||||0bababa，即或的夹角为与向量。

所以“||||||aabb·”是“a//b”的充分必要条件。

另：当ba或向量为零向量时，上述结论也成立。所以选C

4．B解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。,所以从编号1～480

的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。故选B

5．A解：该地点信号的概率=

42

1

2

1

2













的面积矩形

的面积扇形的面积扇形

ABCD

CBFADE

所以该地点无

．

信号的概率是

1

4





。选A

6．D解：

对（A），若

12

||0zz,则0

21

zz，所以

12

zz

为真。

对（B），若

12

zz

,则

21

zz和互为共轭复数，所以

12

zz

为真。

对（C），设,,

222111

ibazibaz若||||

21

zz,则2

2

2

2

2

1

2

1

baba，

2

2

2

222

2

1

2

111

,bazzbazz，所以

2112

··zzzz

为真

对（D），若,,1

21

izz则

12

||||zz为真，而1,12

2

2

1

zz，所以

21

22zz

为假

选D

7．B解：因为coscossinbCcBaA，所以

AABCCBsinsincossincossin

又ACBBCCBsin)sin(cossincossin。联立两式得

AAAsinsinsin

。

所以

2

,1sin



AA。选B

8．A解：当66-

11

-)]([0）（）（时，x

xx

xxffx的展开式中，常数项为

20)(-)

1

(333

6

x

x

C。所以选A

9．C解：设矩形高为y,由三角形相似得:

,30040,40,0,0,

40

40

40





xyyxyx

yx

，且利用线性规划知识解得]30,10[x，选

C

10．D解：代值法。

对A,设x=-1.8,则[-x]=1,-[x]=2,所以A选项为假。

对B,设x=-1.4,[2x]=[-2.8]=-3,2[x]=-4,所以B选项为假。

对C,设x=y=1.8,对A,[x+y]=[3.6]=3,[x]+[y]=2,所以C选项为假。

故D选项为真。所以选D

11．9解：9

1616

9

4

5

2

2

m

m

a

b

a

c

12．

3



解：立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积

3

21

2

1

3

1

2



V

13．-4解：封闭区域为三角形。令|x–1|=2,解得3,1

21

xx，所以三角形三个

顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），故2x－y在点（-1,2）取最小值-4

14．)1(

2

)1-

n1--32-1

1

21-n222



nn

n（

）（

解：分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为

21-n222n1--32-1）（。

当n为偶数时，分组求和：

2

1)n(n

-])1[()43()2-1222222



nn（。

当n为奇数时，第n个等式=

2

1)n(n

2

1)n(n

-2







n。

综上，第n个等式：)1(

2

)1-

n1--32-1

1

21-n222



nn

n（

）（

15．（1）2解：利用柯西不等式求解，

212)()())(22bamnbmbnanambmanbnam（,且仅当

nm

bm

bn

an

am

时取最小值2

（2）.6解：

..//BADPEDBADBCDPEDBCDPEBC且在圆中

.6.623∽2PEPDPAPE

PE

PD

PA

PE

APEEPD所以

（3）

R

y

x



















,

sincos

cos2

解：222)

2

1

()

2

1

yx（圆的方程

2

1

r圆的半径

sincossin,coscoscos2cos2OPyOPxrOP。

所以圆的参数方程为

R

y

x



















,

sincos

cos2

16．解：(Ⅰ)()·fxab=)

6

2sin(2cos

2

1

2sin

2

3

2cos

2

1

sin3cos



xxxxxx。

最小正周期







2

2

T

。

所以

),

6

2sin()(



xxf

最小正周期为。

(Ⅱ)

上的图像知，在，由标准函数时，当]

6

5

,

6

-[sin]

6

5

,

6

-[)

6

2(]

2

,0[



xyxx

.

]1,

2

1

[)]

2

(),

6

-([)

6

2sin()(



ffxxf

.

所以，f(x)在0,

2









上的最大值和最小值分别为

2

1

,1.

17．解：(Ⅰ)分两种情况讨论。

①.}{1

11111

naaaaSaaq

nn

的常数数列，所以是首项为时，数列当

②

nnnnnn

qaqaqaqaqSaaaaSq

121121

1时，当.

上面两式错位相减:

.)()()()-1

1123121nnnnn

qaaqaqaaqaaqaaaSq



（

q

qa

q

qaa

S

n

n

n-1

)1(

.

-1

1

1







。

③综上，





















)1(,

1

)1(

)1(,

1

1

q

q

qa

qna

Sn

n

(Ⅱ)使用反证法。

设

{}

n

a

是公比q≠1的等比数列,假设数列

{1}

n

a

是等比数列.则

①当1*

n

aNn，使得=0成立，则

{1}

n

a

不是等比数列。

②当01*

n

aNn，使得成立，则恒为常数















1

1

1

1

1

1

1

1

n

n

n

n

qa

qa

a

a

1,011

1

1

11

qaqaqann时当。这与题目条件q≠1矛盾。

③综上两种情况，假设数列

{1}

n

a是等比数列均不成立，所以当q≠1时,数列{1}

n

a不是等比

数列。

18．解：(Ⅰ)BDOAABCDBDABCDOA

11

,,面且面；又因为，在正方形ABCD

中，BDCAACACAACABDAACOABDAC

11111

,，故面且面所以；且。

在正方形ABCD中,AO=1..1

11

OAOAART中，在

OECAOCEAEDB

1111111

为正方形，所以，则四边形的中点为设.

，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD

111111

E.E,

DDBBCA

111

面.(证毕)

(Ⅱ)建立直角坐标系统,使用向量解题。

以O为原点，以OC为X轴正方向，以OB为Y轴正方向。则

)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0

111

CABACB，，，，）（.

由(Ⅰ)知,平面BB1D1D的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(

111

）（OCOBCAn

设平面OCB1的法向量为，则0,0,

2122

OCnOBnn

).1-,1,0(法向量

2

n为解得其中一个

2

1

22

1

||||

||

|,cos|cos

21

21

11













nn

nn

nn。

所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为

3



O

D

1

B

1

C

1

D

A

C

B

A

1

19．解：(Ⅰ)设事件A表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。

观众甲选中3号歌手的概率为

3

2

,观众乙未选中3号歌手的概率为

5

3

-1。

所以P(A)=

15

4

5

3

-1

3

2

）（.

因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

15

4

(Ⅱ)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.

观众甲选中3号歌手的概率为

3

2

,观众乙选中3号歌手的概率为

5

3

。

当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X=0)=

75

4

)

5

3

1()

3

2

1(2.

当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X=1)=

75

20

75

668

5

3

)

5

3

1(

3

2

1()

5

3

1(

5

3

3

2

1()

5

3

1(

3

2

2



））.

当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X=2)=

75

33

75

12912

5

3

)

5

3

1(

3

2

5

3

5

3

3

2

1()

5

3

1(

5

3

3

2





）.

当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X=3)=

75

18

)

5

3

(

3

2

2.

X的分布列如下表：

15

28

75

546620

75

18

3

75

33

2

75

20

1

75

4

0



E

所以，数学期望

15

28

EX

20．解：(Ⅰ)A(4,0),设圆心

C2222,

2

),,(ECMECMCA

MN

MEEMNyx，由几何图像知线段的中点为

xyxyx84)422222（

(Ⅱ)点B(－1,0),

2

2

21

2

121212211

8,8,00),,(),,(xyxyyyyyyxQyxP，由题知设.

080)()(8

88

1121122121

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1



















yyyyyyyy

y

y

y

y

x

y

x

y

直

线PQ方程为：)8(

1

)(2

1

12

11

12

12

1

yx

yy

yyxx

xx

yy

yy











1,088)(8)()(

12

2

112112

xyxyyyyxyyyyyy

X0123

P

75

4

75

20

75

33

75

18

所以，直线PQ过定点（1,0）

21．解：(Ⅰ)f(x)的反函数xxgln)(.设直线y＝kx＋1与xxgln)(相切与点

22

0

0

0

00

00

,x

x

1

)(xg'k

lnx1kx

，则)y，P(x















eke。所以2ek

(Ⅱ)当x>0，m>0时，曲线y＝f(x)与曲线2(0)ymxm的公共点个数即方程

2)(mxxf根的个数。

由

222

2

)2(

)(')(,)(

x

xxe

xh

x

e

xh

x

e

mmxxf

xxx

令，

则h(x)在);(h(2),h(x))2,0(上单调递减，这时

h(x)).(h(2),h(x),),2(这时上单调递增在

4

h(2)

2e

.

的极小值即最小值。是h(x)h(2)y

所以对曲线y＝f(x)与曲线2(0)ymxm公共点的个数，讨论如下：

当m)

4

,0(

2e

时,有0个公共点；当m=

4

2e

,有1个公共点；当m），（

4

2e

有2个公共点；

(Ⅲ)设

)(2

)()2()()2()()(

2

)()(

ab

bfabafab

ab

afbfbfaf















a

abba

e

ab

eabab

ab

eabeab

















)(2

)2()2(

)(2

)2()2(

令xxxexexxgxexxxg)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则。

）上单调递增，在（的导函数0)('所以,0)11()('')('xgexexxgxgxx，且

,0)0(,),0()(0)('.0)0('gxgxgg而上单调递增在，因此

0)(),0(xg上所以在。

,0)2(2)(0baexxxgxx且时，当

0

)(2

)2()2(











a

ab

e

ab

eabab

所以

ab

afbfbfaf







)()(

2

)()(

,b