湖北高考试题

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试卷类型：A

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）

本试卷三大题21小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准

考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框

涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．i为虚数单位，则

20111

1

i

i











=

A．-iB．-1C．iD．1

2．已知

2

1

|log,1,|,2UyyxxPyyx

x









,则

U

CP=

A．

1

[,)

2

B．

1

0,

2







C．0,D．

1

(,0][,)

2



3．已知函数

()3sincos,fxxxxR

，若()1fx，则x的取值范围为

A．|,

3

xkxkkZ













B．|22,

3

xkxkkZ













C．

5

{|,}

66

xkxkkZ



D．

5

{|22,}

66

xkxkkZ





4．将两个顶点在抛物线22(0)ypxp上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，

则

A．n=0B．n=1C．n=2D．n3

5．已知随机变量服从正态分布22N，a，且Ｐ（＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜＜2）＝

Ａ．0．6B．0．4C．0．3D．0．2

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6．已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足222fxgxaa（a＞0,且

0a）．若2ga，则2f=

A．2B．

15

4

C．

17

4

D．2a

7．如图，用K、

1

A、

2

A三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且

1

A、

2

A至少有一个

正常工作时，系统正常工作，已知K、

1

A、

2

A正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，

则系统正常工作的概率为

A．0．960B．0．864C．0．720D．0．576

8．已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥b．若x,y满足不等式1xy，则z的取

值范围为

A．[-2，2]B．[-2，3]C．[-3，2]D．[-3，

3]

9．若实数a,b满足0,0,ab且0ab，则称a与b互补，记22(,),ababab，那

么,0ab是a与b互补的

A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件

C．充要条件D．即不充分也不必要的条件

10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为

衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单

位：年）满足函数关系：30

0

()2

t

MtM

，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，

铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=

A．5太贝克B．75In2太贝克

C．150In2太贝克D．150太贝克

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，

一题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。

11．

181

3

x

x









的展开式中含15x的项的系数为（结果用数值表示）

12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保

质期饮料的概率为。（结果用最简分数表示）

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13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面

4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。

14．如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系''xOy（其中'y轴一与y

轴重合）所在的平面为，'45xOx。

（Ⅰ）已知平面内有一点'(22,2)P，则点'P在平面内的射影P的

坐标为；

（Ⅱ）已知平面内的曲线'C的方程是'2'2(2)220xy，则曲线'C在平面内的射

影C的方程是。

15．给

n

个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当4n时，在所有不同的着色方案中，黑色

正方形互不相

．．．

邻

．

的着色方案如下图所示：

由此推断，当6n时，黑色正方形互不相

．．．

邻

．

的着色方案共有种，至少有两个黑色正

方形相

．

邻

．

的着色方案共有种，（结果用数值表示）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分10分）

设ABC的内角

A、B、C、

所对的边分别为

a、b、c

，已知

1

.

4

abC

（Ⅰ）求ABC的周长

（Ⅱ）求cosAC的值

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17．（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车

流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密

度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车

流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x时，车流速度v是车流密度x的一次函

数．

（Ⅰ）当0200x时，求函数vx的表达式;

（Ⅱ）当车流密度

x

为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每

小时）.fxxvx可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）

18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱111ABCABC的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱

1CC上，且不与点C重合．

（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥1AC；

（Ⅱ）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值．

19．（本小题满分13分）

已知数列na的前

n

项和为nS，且满足：1aa(0)a，1nnarS(nN*，,1)rRr．

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）若存在kN*，使得1kS，kS，2kS成等差数列，是判断：对于任意的

m

N*，且2m，

1ma，ma

，2ma是否成等差数列，并证明你的结论．

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20．（本小题满分14分）

平面内与两定点1(,0)Aa，2(,0)Aa(0)a连续的斜率之积等于非零常数

m

的点的轨

迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与

m

值得关系；

（Ⅱ）当1m时，对应的曲线为

1

C；对给定的(1,0)(0,)mU，对应的曲线为

2

C，

设

1

F、

2

F是

2

C的两个焦点。试问：在

1

C撒谎个，是否存在点N，使得△

1

FN

2

F的

面积2||Sma。若存在，求tan

1

FN

2

F的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数()1fxInxx，(0,)x，求函数()fx的最大值；

（Ⅱ）设,

kk

ab(1,2k…，)n均为正数，证明：

（1）若

1122

abab…

nn

ab

12

bb…

n

b，则12

12

1n

k

kk

n

aaa

；

（2）若

12

bb…

n

b=1，则

1

n

12

1

222

212

.n

k

kk

nn

bbbbbb

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参考答案

一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。

AABCCBBDCD

二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。

11．1712．

28

145

13．

67

66

14．（2，2），22(1)1xy15．21，43

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满

分10分）

解：（Ⅰ）222

1

2cos1444

4

cababC

2.c

ABC的周长为

（Ⅱ）22

1115

cos,sin1cos1().

444

CCC

15

sin15

4

sin

28

aC

A

c



,acAC，故A为锐角，

22

157

cos1sin1().

88

AA

71151511

cos()coscossinsin.

848816

ACACAC

17．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满

分12分）

解：（Ⅰ）由题意：当020,()60xvx时；当20200,()xvxaxb时设

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再由已知得

1

,

2000,

3

2060,200

.

3

a

ab

ab

b



























解得

故函数()vx的表达式为

60,020,

()

1

(200),20200

3

x

vx

xx

















（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

60,020,

()

1

(200),20200

3

xx

fx

xxx

















当020,()xfx时为增函数，故当20x时，其最大值为60×20=1200；

当20200x时，2

11(200)10000

()(200)[]

3323

xx

fxxx





当且仅当200xx，即100x时，等号成立。

所以，当100,()xfx时在区间[20，200]上取得最大值

10000

.

3

综上，当100x时，()fx在区间[0，200]上取得最大值

10000

3333

3

。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、

推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）

解法1：过E作ENAC于N，连结EF。

（I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，

底面ABC侧面A1C。

又度面ABC侧面A，C=AC，且EN底面ABC，

所以EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，

在RtCNE中，cos60CNCE=1，

则由

1

1

4

CFCN

CCCA

，得NF//AC1，

又

11

,ACAC故

1

NFAC。

由三垂线定理知

1

.EFAC

（II）如图2，连结AF，过N作NMAF于M，连结ME。

由（I）知EN侧面A1C，根据三垂线定理得,EMAF

所以EMN是二面角C—AF—E的平面角，即EMN，

设,045FAC则

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在RtCNE中，

sin603,NEEC

在,sin3sin,RtAMNMNANaa中

故

3

tan.

3sin

NE

MNa



又

2

045,0sin,

2

a

故当

2

sin,45

2

a即当时，tan达到最小值；

36

tan2

33

，此时F与C1重合。

解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

1

(0,0,0),(23,2,0),(0,4,0),(0,0,4),(3,3,0),(0,4,1),ABCAEF

于是

1

(0,4,4),(3,1,1).CAEF

则

1

(0,4,4)(3,1,1)0440,CAEF

故

1

.EFAC

（II）设,(04)CF，

平面AEF的一个法向量为(,,)mxyz，

则由（I）得F（0，4，）

(3,3,0),(0,4,)AEAF，于是由,mAEmAF可得

0,

330,

40.

0,

mAE

xy

yz

mAF



























即

取

(3,,4).m

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又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为(1,0,0)n，

于是由为锐角可得

||

cos

||||

mn

mn









2

22

316

,sin

2424













，

所以

2

2

16116

tan

33

3











，

由04，得

11

4

，即

116

tan,

333



故当4，即点F与点C1重合时，tan取得最小值

6

,

3

19．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般

的思想。（满分13分）

解：（I）由已知

1

,

nn

arS



可得

21nn

arS



，两式相减可得

2111

(),

nnnnn

aarSSra





即

21

(1),

nn

ara





又

21

,arara所以r=0时，

数列{}

n

a为：a，0，…，0，…；

当0,1rr时，由已知

0,0

n

aa所以（*nN），

于是由

21

(1),

nn

ara



可得2

1

1()n

n

a

rnN

a







，

23

,,,

n

aaa成等比数列，

当n2时，2(1).n

n

arra

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综上，数列{}

n

a的通项公式为

2

1,

(1),2

n

n

n

an

a

rran













（II）对于任意的*mN，且

12

2,,,

mmm

maaa



成等差数列，证明如下：

当r=0时，由（I）知，

,1,

0,2m

an

a

n













对于任意的*mN，且

12

2,,,

mmm

maaa



成等差数列，

当0r，1r时，

21211

,.

kkkkkk

SSaaSa





若存在*kN，使得

112

,,

kk

SSS



成等差数列，

则

12

2

kkk

SSS



，

1221

222,2,

kkkkkk

SaaSaa



即

由（I）知，

23

,,,,

m

aaa的公比12r，于是

对于任意的*mN，且

12

2,2,4,

mmmm

maaaa



从而

1212

2,,,

mmmmmm

aaaaaa



即成等差数列，

综上，对于任意的*mN，且

12

2,,,

mmm

maaa



成等差数列。

20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与

整合和数形结合的思想。（满分14分）

解：（I）设动点为M，其坐标为(,)xy，

当xa时，由条件可得

12

2

22

,

MAMA

yyy

kkm

xaxaxa





即222()mxymaxa，

又

12

(,0),(,0)AaAA的坐标满足222,mxyma

故依题意，曲线C的方程为

当1,m时曲线C的方程为

22

22

1,

xy

C

ama





是焦点在y轴上的椭圆；

当1m时，曲线C的方程为222xya，C是圆心在原点的圆；

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当10m时，曲线C的方程为

22

22

1

xy

ama





，C是焦点在x轴上的椭圆；

当0m时，曲线C的方程为

22

22

1,

xy

ama

C是焦点在x轴上的双曲线。

（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为222;xya

当(1,0)(0,)m时，

C2的两个焦点分别为

12

(1,0),(1,0).FamFam

对于给定的(1,0)(0,)m，

C1上存在点

000

(,)(0)Nxyy使得2||Sma的充要条件是

222

000

2

0

,0,

1

21||||.

2

xyay

amyma















由①得

0

0||,ya由②得

0

||

||.

1

ma

y

m





当

||15

0,0,

2

1

ma

am

m







即

或

15

0

2

m



时，

存在点N，使S=|m|a2；

当

||15

,,

2

1

ma

a

m







即-1

或

15

2

m



时，

不存在满足条件的点N，

当

1515

,00,

22

m















时，

由

100200

(1),(1,)NFamxyNFamxy，

可得2222

1200

(1),NFNFxmayma

①

②

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令

112212

||,||,NFrNFrFNF，

则由

2

2

121212

cos,

cos

ma

NFNFrrmarr



可得，

从而

2

2

12

1sin1

sintan

22cos2

ma

Srrma







，

于是由2||Sma，

可得22

12||

tan||,tan.

2

m

mama

m

即

综上可得：

当

15

,0

2

m















时，在C1上，存在点N，使得2

12

||,tan2;SmaFNF且

当

15

0,

2

m















时，在C1上，存在点N，使得2

12

||,tan2;SmaFNF且

当

1515

(1,)(,)

22

m



时，在C1上，不存在满足条件的点N。

21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理

论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分）

解：（I）()fx的定义域为(0,)，令

1

'()10,

x

解得

当01,'()0,()xfxfx时在（0，1）内是增函数；

当1x时，'()0,()(1,)fxfx在内是减函数；

故函数()1fxx在处取得最大值(1)0.f

（II）（1）由（I）知，当(0,)x时，

有()(1)0,即

,0

kk

ab，从而有ln1

kk

aa，

得

ln(1,2,,)

kkkkk

baabbkn，

求和得1

111

ln.

nnn

k

kkkk

kkk

aabb





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2

111

,ln0,

nnn

k

kkkk

kkk

abba





即12

12

ln()0,n

k

kk

n

aaa12

12

1.n

k

kk

n

aaa

（2）①先证12

12

1

.n

k

kk

n

bbb

n



令

1

(1,2,,),

k

k

akn

nb



则

111

1

1,

nnn

kkk

kkk

abb

n



于是

由（1）得12

12

111

()()()1n

k

kk

n

nbnbnb

，即12

12

12

1

,n

n

kkk

k

kk

n

nn

bbb



12

12

1

.n

k

kk

n

bbb

n



②再证12

222

1212

.n

k

kk

nn

bbbbbb

记2

1

,(1,2,,)

n

k

kk

k

b

Sbakn

S



令，

则2

1

111

1

1

nnn

kkk

kkk

abbb

S



，

于是由（1）得12

12()()()1.n

k

kk

n

b

bb

SSS



即12

12

12

,nn

kkkk

kk

n

bbbSS

12

222

1212

.n

k

kk

nn

bbbbbb

综合①②，（2）得证。

2018年下半年信息处理技术员考试上

午真题（参考答案）

●以下关于数字经济的叙述中，（）并不正确。

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（1）A．数字经济以数据作为关键生产要素，以数字技术作为其经济活动的

标志B.数字经济具有数字化、网络化、智能化、知识化、全球化特征

C.数字经济以虚拟经济代替实体经济，与市场经济互斥D.数字经济采

用“互联网+创新2.0”改革传统工业经济

●（）是按照科学的城市发展理念，利用新-~代信息技术，通过人、物、城市功能系

统之间的无缝连接与协同联动，实现自感知、自适应、自优化，形成安全、便捷、高效、

绿色的城市形态。

（2）A．智慧城市

B.环保城市

C.数字城市

D.自动化城市

●企业实现移动信息化的作用不包括（）。

（3）A．企业职工使用移动设备代替台式计算机，降低企业成

本B.加强与客户互动沟通，实现在线支付，提高客户满意

度C.有利于实现按需生产，产销一-体化运作，提高经济

效益D.决策者随时随地了解社会需求和企业经营情况，

快速决策

●某博物馆将所有志愿者分成A、B、C、D四组(每个志愿者只能分配到-个组)。已知A

组和B组共有80人，B组和C组共有87人，C组和D组共有92人，据此可以推

断，A组和D组共有（）人。

（4）A．83

B.84

C.85

D.86