2012年福建高考数学

2015年福建省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统

一考试（福建卷）数学（理工类）

1．（5分）（2015?福建）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B

等于（）

A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．?

2．（5分）（2015?福建）下列函数为奇函数的是（）

A．y=B．y=|sinx|C．y=cosxD．y=ex﹣e﹣x

3．（5分）（2015?福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P

在双曲线E上，且|PF

1|=3，则|PF2|等于（）

A．11B．9C．5D．3

4．（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查

了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

支出y（万元）

根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区

一户收入为15万元家庭年支出为（）

A．万元B．万元C．万元D．万元

5．（5分）（2015?福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值

等于（）

A．B．﹣2C．D．2

6．（5分）（2015?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果

为（）

A．2B．1C．0D．﹣1

7．（5分）（2015?福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l

∥α”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

8．（5分）（2015?福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同

的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数

列，则p+q的值等于（）

A．6B．7C．8D．9

9．（5分）（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面

内一点，且，则的最大值等于（）

A．13B．15C．19D．21

10．（5分）（2015?福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′

（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11．（4分）（2015?福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数

字作答）

12．（4分）（2015?福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等

于．

13．（4分）（2015?福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函

数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等

于．

14．（4分）（2015?福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是

[4，+∞），则实数a的取值范围是．

15．（4分）（2015?福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，

其中x

k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过

程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）

已知某种二元码x

1x2…x7的码元满足如下校验方程组：

其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那

么利用上述校验方程组可判定k等于．

三、解答题

16．（13分）（2015?福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错

误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可

以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选

择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

17．（13分）（2015?福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平

面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

（1）求证：GF∥平面ADE；

（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

18．（13分）（2015?福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离

心率e为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段

AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

19．（13分）（2015?福建）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如

下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，

再将所得到的图象向右平移个单位长度．

（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；

（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β

（i）求实数m的取值范围；

（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．

20．（7分）（2015?福建）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）

（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；

（2）证明：当k＜1时，存在x

0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；

（3）确定k的所以可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣

g（x）|＜x2．

四、选修4-2：矩阵与变换

21．（7分）（2015?福建）已知矩阵A=，B=

（1）求A的逆矩阵A﹣1；

（2）求矩阵C，使得AC=B．

五、选修4-4：坐标系与参数方程

22．（7分）（2015?福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为

（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O

为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）

（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

六、选修4-5：不等式选讲

23．（7分）（2015?福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最

小值为4．

（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

2015年福建省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统

一考试（福建卷）数学（理工类）

1．（5分）（2015?福建）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B

等于（）

A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．?

【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．

【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，

∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．

故选：C．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．

2．（5分）（2015?福建）下列函数为奇函数的是（）

A．y=B．y=|sinx|C．y=cosxD．y=ex﹣e﹣x

【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非

偶函数．

B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．

C．y=cosx为偶函数．

D．f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，

故选：D

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．

3．（5分）（2015?福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P

在双曲线E上，且|PF

1|=3，则|PF2|等于（）

A．11B．9C．5D．3

【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．

【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．

∵|PF

1|=3，∴P在双曲线的左支上，

∴由双曲线的定义可得|PF

2|﹣|PF1|=6，

∴|PF

2|=9．

故选：B．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．

4．（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查

了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

支出y（万元）

根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区

一户收入为15万元家庭年支出为（）

A．万元B．万元C．万元D．万元

【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．

【解答】解：由题意可得=（++++）=10，

=（++++）=8，

代入回归方程可得=8﹣×10=，

∴回归方程为=+，

把x=15代入方程可得y=×15+=，

故选：B．

【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．

5．（5分）（2015?福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值

等于（）

A．B．﹣2C．D．2

【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得

答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，最优解为A，

联立，解得A（﹣1，）．

∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．

故选：A．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

6．（5分）（2015?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果

为（）

A．2B．1C．0D．﹣1

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件

i＞5，退出循环，输出S的值为0．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

i=1，S=0

S=cos，i=2

不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3

不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4

不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5

不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6

满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，

故选：C．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S

的值是解题的关键，属于基础题．

7．（5分）（2015?福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l

∥α”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．

【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能

l?α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，

所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条

件．

故选：B．

【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知

识的考查．

8．（5分）（2015?福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同

的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数

列，则p+q的值等于（）

A．6B．7C．8D．9

【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求

得a，b后得答案．

【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，

∵p＞0，q＞0，

可得a＞0，b＞0，

又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，

可得①或②．

解①得：；解②得：．

∴p=a+b=5，q=1×4=4，

则p+q=9．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性

质，是基础题．

9．（5分）（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面

内一点，且，则的最大值等于（）

A．13B．15C．19D．21

【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t

﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．

【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，

可得A（0，0），B（，0），C（0，t），

∵，∴P（1，4），

∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），

∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），

由基本不等式可得+4t≥2=4，

∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，

当且仅当=4t即t=时取等号，

∴的最大值为13，

故选：A．

【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．

10．（5分）（2015?福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′

（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）

A．B．C．D．

【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）

＞，即可判断答案．

【解答】解；∵f′（x）=

f′（x）＞k＞1，

∴＞k＞1，

即＞k＞1，

当x=时，f（）+1＞×k=，

即f（）﹣1=

故f（）＞，

所以f（）＜，一定出错，

故选：C．

【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代

换问题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11．（4分）（2015?福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即

可求得展开式中的x2项的系数．

【解答】解：（x+2）5的展开式的通项公式为T

r+1=?x5﹣r?2r，

令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，

故答案为：80．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项

公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

12．（4分）（2015?福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于

7．

【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．

【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，

所以，

所以sinA=，

所以A=60°，

所以cosA=，

所以BC==7．

故答案为：7．

【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．

13．（4分）（2015?福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函

数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．

【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．

【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，

阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，

由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；

故答案为：．

【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影

部分的面积，利用几何概型公式解答．

14．（4分）（2015?福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是

[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．

【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log

ax≥4，即logax≥1，

故有log

a2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．

【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），

故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．

当x＞2时，由f（x）=3+log

ax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．

综上可得，1＜a≤2，

故答案为：（1，2]．

【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

15．（4分）（2015?福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，

其中x

k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过

程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）

已知某种二元码x

1x2…x7的码元满足如下校验方程组：

其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那

么利用上述校验方程组可判定k等于5．

【分析】根据二元码x

1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1

至7逐个验证即可．

【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，

①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x

4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；

②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x

2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；

③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x

2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；

④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x

1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；

⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，

从而由校验方程组，得x

4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，

故k=5符合题意；

⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，

从而由校验方程组，得x

2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；

⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，

从而由校验方程组，得x

2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；

综上，k等于5．

故答案为：5．

【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算

符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．

三、解答题

16．（13分）（2015?福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错

误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可

以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选

择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）随机变量X的取值为：1，2，3，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．

【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，

则P（A）=．

（2）有可能的取值是1，2，3

又则P（X=1）=，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

所以X的分布列为：

X123

P

EX=1×+2×+3×=．

【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，

考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．

17．（13分）（2015?福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平

面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

（1）求证：GF∥平面ADE；

（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．

【分析】解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行

四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；

（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间

直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．

解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE

来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．

【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，

∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，

又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，

∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，

∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，

又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．

（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，

∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，

又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，

以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐

标系，

则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）

∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，

设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）

由垂直关系可得，取z=2可得．

∴cos＜，＞==

∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．

解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，

又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE

又AE?平面ADE，GM?平面ADE，

∴GM∥平面ADE．

在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．

又AD?平面ADE，MF?平面ADE，∴MF∥平面ADE．

又∵GM∩MF=M，GM?平面GMF，MF?平面GMF

∴平面GMF∥平面ADE，

∵GF?平面GMF，∴GF∥平面ADE

（2）同解法一．

【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解

能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．

18．（13分）（2015?福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离

心率e为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段

AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．

（2）设点A（x

1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联

立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y

0=

．|GH|2=．=，作差|GH|2

﹣即可判断出．

解法二：（1）同解法一．

（2）设点A（x

1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线

方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=

即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．

【解答】解法一：（1）由已知得，解得，

∴椭圆E的方程为．

（2）设点A（x

1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．

由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，

∴y

1+y2=，y1y2=，∴y0=．

G，

∴|GH|2==+=++．

===

，

故|GH|2﹣=+=﹣+=＞

0．

∴，故G在以AB为直径的圆外．

解法二：（1）同解法一．

（2）设点A（x

1y1），B（x2，y2），则=，=．

由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，

∴y

1+y2=，y1y2=，

从而=

=+y1y2

=+

=﹣+=＞0．

∴＞0，又，不共线，

∴∠AGB为锐角．

故点G在以AB为直径的圆外．

【点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向

量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思

想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

19．（13分）（2015?福建）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如

下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，

再将所得到的图象向右平移个单位长度．

（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；

（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β

（i）求实数m的取值范围；

（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．

【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求

对称轴方程．

（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+φ）

（其中sinφ=，cosφ=），从而可求||＜1，即可得解．

（ii）由题意可得sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，可求α﹣β=π

﹣2（β+φ），当﹣＜m＜0时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos（α﹣β）=2sin2（β+φ）

﹣1，从而得证．

【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐

标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到

y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，

从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k（k∈Z）．

（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+φ）（其中sinφ=

，cosφ=）

依题意，sin（x+φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，

故m的取值范围是（﹣，）．

（ii）因为α，β是方程sin（x+φ）=m在区间[0，2π）内的两个不同的解，

所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．

当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；

当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；

所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=．

【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运

算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、

化归与转化思想、数形结合思想．

20．（7分）（2015?福建）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）

（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；

（2）证明：当k＜1时，存在x

0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；

（3）确定k的所以可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣

g（x）|＜x2．

【分析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x＞0，求导得到F′（x）＜0，说明

F（x）在（0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x；

（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）

＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x

0＞0，使得对任意x∈（0，x0），

恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得．取，

对任意x∈（0，x

0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，

即f（x）＞g（x）；

（3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2的左边去绝对值，当k＞1

时，利用导数求得|f（x）﹣g（x）|＞x2，满足题意的t不存在．

当k＜1时，由（2）知存在x

0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．令

N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，

由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），

令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）

上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，

此时，任意实数t满足题意．

【解答】（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x＞0，

则有F′（x）=﹣1=﹣，

∵x＞0，

∴F′（x）＜0，

∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴F（x）＜F（0）=0，

∴x＞0时，f（x）＜x；

（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），

则有G′（x）=﹣k=，

当k≤0时，G′（x）＞0，

∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴G（x）＞G（0）=0，

故对任意正实数x

0均满足题意．

当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得．

取，对任意x∈（0，x

0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递

增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．

综上，当k＜1时，总存在x

0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；

（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g

（x）＞f（x），

|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），

令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有

，

故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，

）上单调递增，

故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．

当k＜1时，由（2）知存在x

0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．

此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，

令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有

，

故当时，N′（x）＞0，M（x）在[0，

）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，

即f（x）﹣g（x）＞x2，记x

0与中较小的为x1，

则当x∈（0，x

1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．

当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln

（1+x），

令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，

当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，

故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意．

综上，k=1．

【点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能

力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无

限思想、数形结合思想，是压轴题．

四、选修4-2：矩阵与变换

21．（7分）（2015?福建）已知矩阵A=，B=

（1）求A的逆矩阵A﹣1；

（2）求矩阵C，使得AC=B．

【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；

（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．

【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，

所以；

（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，

故．

【点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与

转化思想．

五、选修4-4：坐标系与参数方程

22．（7分）（2015?福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为

（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O

为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）

（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解

即可．

（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．

【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，

由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，

所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．

（2）依题意，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+m=0的距离等于2，即，

解得m=﹣3±2．

【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查

运算求解能力，考查化归与转化思想．

六、选修4-5：不等式选讲

23．（7分）（2015?福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最

小值为4．

（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；

（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．

【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，

当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，

又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，

所以f（x）的最小值为a+b+c，

所以a+b+c=4；

（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，

（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（?2+?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，

即a2+b2+c2≥

当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．

所以a2+b2+c2的最小值为．

【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于

中档题．

参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；maths；刘长柏；lincy；qiss；w3239003；

sdpyqzh；changq；caoqz；尹伟云；沂蒙松；双曲线（排名不分先后）

菁优网

2016年8月29日