trivial

1

学号：

1

姓名：曹菁

lgLinearAebra

acontradictionandproves1).Part2)followsfrom1)

becaudim(V)=n.

Exerci

LetA=

01

10











2

R

.Findaninvertible

2

CC

suchthat1cACisdiagonal.

ShowthatCcannotbelectedin

2

R

.FindthecharacteristicpolynomialofA.

Exerci

SuppoVisa3-dimensionalvectorspaceand

:fVV

isanendomorphism

with3

f

CPxx.ShowthatfI

hascharacteristicpolynomialandisthusa

ereisabasisforVsothatthematrixreprenting

is

00

10

01

















,

00

10

00

















or.

00

00

00

















.

WecouldcontinueandfinallygiveanadhocproofoftheJordancanonicalform,butinthis

danformwillbedevelopedin

Chapter6asot

ctionisincludedonlyasaconvenientreference.

necessaryfortherestofthis

chapter,icfactsofJordanformare

summarizedheresimplyforreference.

ThestatementthatasquarematrixBoverafieldFisaJordanblockmeansthatF

SuchthatBisalowertriangularmatrixoftheform

0

1

01

B

























.Bgivesa

homomorphism:mmgFFwith

mm

gee

and

1iii

eee





for1im.Note

thatm

B

CPxxmandsoistheonlyeigenvalueofB,andBsatisfiesits

characteristicpolynomial,i.e.,0

B

CPB

.

Definition

Amatrix

n

DF

isinJordanifJordanblocks

ini

BF

suchthat

2

1

2

0000

0000

00000

0000

0000

t

B

B

D

B



















.SuppoDisofthisformand

ini

BF

haigenvalue

i

.Then

1

..

t

nnn

and1

1

..nnt

Dt

CPxxx.Notethatadiagonalmatrixisaspecialca

agonalmatrixiffeach

i

n

,iffeachJordanblockis11amatrix.

FundamentalsofStatistics

Theprecedingchapterwasmainlyconcernedwiththetheoryofprobability,including

ticerearchershavetofindmethodstochooamongdistributions

jectofsamplingbringsusnowto

sprobabilityassumesthedistributionsareknown,statistics

attemptstomake,inferencesfromactualdata

Herewesamplefromthedistributionofapopulation,saythechangeinthe

Exchangerate,stionsare,what

Isthebestdistributionforthisrandomvariableandwhatarethebestparametersfor

Thisdistribution?Riskmeasurement,however,typicallydealswithlargenumbers

,wealsowanttocharacterizetherelationshipsbetween

mple,doweobrvethat

movementsintheyen/dollarratearecorrelatedwiththedollar/eurorate?Another

typeofproblematodevelopdecisionruletorestsomehypothes,forinstance

Wherherthevolatilityremainsstableovertime.

Theexamplesillustratetwoimportantproblemsinstatisticalinference,i.e,

timation,wewishtoestimatethevalue

stsofhypothes,wewishto

Verifyaconjectureaboutthedata.

Thixamplesreviewsthefundamentaltoolsofstatisticstheoryforriskman-

n3.1discusssthesamplingofrealdataandtheconstruction

blemofparameterestimationisprentedinSection3.2.

Section3.3thenturnstoregressionanalysis's,summarizingimportantresultsas

Wellascommonpitfallsintheirinterpretation.

REALDATA

Tostartwithanexample,letussaythatweobrvemovementinthedaily

Yen/dogarexchangerateandwishtocharacterizethedistributionoftomorrow's

Exchangerate

Theriskmanager’sjobisroassstherangeofpotentialgainsandlassona

trader'eobrvesaquenceaofpastspotprices

0,1,

...

t

SSS

fromwhichwe

havetoinferthedistributionoftomorrow'sprice,

1t

S



.

MeasuringReturns

3

Thetrulyrandomcomponentintomorrow’spricesisnotitslevel,butratherits

Changerelativetotoday'uretherelativerateofchangeinthespot

price:



11

/

tttt

rSSS





Alternatively,wecouldconstructthelogarithmofthepriceratio:



1

ln

ttt

RSS





also



1

1

ln1/ln1

t

tttt

RSSSr











Thereturndefinedsofaristhecapitalappreciationreturn,whichignoresthe

aof

Anexchangerateposition,thisistheinterestpaymentintheforeigncurrencyover

almumavtheastis



11

/TOT

ttttt

rSDSS





Whenthehorizonisveryshort,theincomereturnistypicallyverysmallcomparedtothe

capitalappreciationreturn.

thenextquestioniswhetherthequenceofvariablesRcanbeviewedasindependent

,onecouldhypothesize,forinstance,thattherandomvariablesaredrawnfroma

normaldistributionN(u,).wecouldthenproceedtoestimateuand--fromthedataanduthis

informationtocreateadistributionfortomorrow;sspotpricechange.

Independentobrvationshavetheverynicepropertythattheirjointdistributionistheproductof

theirmarginaldistribution,iousquestionis

,theearegoodeconomicreasonsto

believethatratesofchangeonfinancialpricesareclotoindependent.

thehypothesisofefficientmarketspostulatesthatcurrentpricesconveyallrelevantinformation

,anychangeintheastpricemustbeduetonews,oreventswhichareby

definitionimpossibletoforecast(otherwi,itwouldnotbenews).thisimpliesthatchangesin

pricesareunpredictableand,hence,satisfyourdefinitionofindependentrandomvariables.

conditionaldistributionofreturnsonlyoncurrentprices,andnotontheprevioushistoryof

,calanalyststrytoforecastprice

movementsfrompastpricepatterns.

Ifinadditionthedistributionofreturnisconstantovertime,thevariablesaresaidtobe

independentlyandidenticallydistributed(i.i.d.).so,wecouldconsiderthatobrvationsRTare

independentdrawsfromthesamedistribution2,Nu

.

Later,wewillconsiderdeviationsfromthisbasicmodel,distributionsoffinancialreturns

,variancesarenotconstantanddisplaysomepersistence;expected

returnscanalsoslightlyvaryovertime.

TimeAggregation

Itisofte

4

example,wemayhaverawdatafordailyreturns,fromwhichwecomputeadailyvolatilitythat

wewanttoextendtoamonthlyvolatility.

Returnscanbeeasilyrelatedacrosstimewhenweuthelogofthepriceratio,becauthe

-dayreturn,forexample,

canbedecompodas



12

ln//ln/ln/RSSSSSSSSRR

Thisdecompositionisonlyapproximateifweudiscretereturns,however.

Theexpectedreturnandvariancearethen

020112

ERERER

and



2,VRVRVRCovRR

.Assumingreturnsareuncorrelatedandhave

identicaldistributionsacrossdays,wehave

0201

2ERER

and

0201

2VRVR

.

GeneralizingoverTdays,wecanrelatethemomentsoftheT-dayreturns

T

R

tothoofthe

1-dayreturns:

1

R



1T

ERERT



1T

VRVRT

Expresdintermsofvolatility,thisyieldsthesquarerootoftimerule:



1T

SDRSDRT

KEYCONCEPT

Whensuccessivereturnsareuncorrelated,thevolatilityincreaasthehorizonextends

followingthesquarerootoftime.

Moregenerally,thevariancecanbeaddedupfromdifferentvaluesacrossdifferentperiods.

Forinstance,thevarianceoverthenextyearcanbecomputedastheaveragemonthlyvariance

overthefirstthreemonths,multipliedby3,plustheaveragevarianceoverthelastninemonths,

peofanalysisisroutinelyudtoconstructatermstructureofimplied

volatilities,whicharederivedfromoptiondatafordifferentmaturities.

Itshouldbeemphasizedthatthisholdsonlyifreturnshaveconstantparametersacrosstimeand

ereisnon-zerocorrelationacrossdays,thetwo-dayvarianceis



21111

221VRVRVRVRVR

Becauweareconsideringcorrelationsinthetimeriesofthesamevariable,Piscalledthe

autocorrelationcoefficient,ivevalueforPimplies

thatamovementinonedirectioninonedayislikelytobefollowedbyanothermovementinthe

ca,

Equation(3.8)showsthatthetwo-dayvarianceisgreaterthantheoneobtainedbythesquareroot

oftimerule.

5

AnegativevalueforPimpliesthatamovementinonedirectioninonedayislikelytobefollowed

byamovementintheotherdirectioninonedayislikelytobefollowedbyamovementinthe

,ive

autocorrelationsignals

译文：

非线性组合，这是一个矛盾和证明

1)

第

2

部分

)

遵循从

1)

因为

V

的秩

=n.

例如：矩阵

A=

01

10









的秩是

2

，找到一个可逆，

2

CC

,

比如1CAC是对角线。

表明C的秩不是

2

，得到特征多项式A.

例如假设

V

是一个三维向量空间，

:fVV

是一个自同态与3

f

CPxx。因此

有特征多项式fI

,

因此是一个幂零自同态。显示有一个基础

,

以便矩阵表示是

00

10

01

















,

00

10

00

















or.

00

00

00

















.

我们可以继续

,

最后给出一个特设的

Jordan

证明规范形式

,

但在这一章中

,

我们更喜欢到内积

空间。约旦的形式将被运用在第

6

章的一般理论的有限生成模块在欧几里得域。接下来的部

分是只包括一个方便的参考。

这个部分应该只是脱脂或全部删除了。这是不必要的

,

剩下的这一章

,

是不正确的部分流动的

一章。约旦的基本事实

,

总结了在这里只是形式为参考。

该声明

,

一个方阵超过一个字段是一个意味着那F这样是一个下三角矩阵的形式

0

1

01

B

























给一个同态:mmgFF和

mm

gee

且

1iii

eee





for

对1im.

既然m

B

CPxxm，因此是矩阵B是唯一的特征值

,

且B满足其特征多项式，即0

B

CPB

定义一个矩阵

n

DF

是在

Jordan

如果存在

ini

BF

在

Jordan

区，比如

1

2

0000

0000

00000

0000

0000

t

B

B

D

B



















，假设

D

是这种形式和

ini

BF

有特征值

i



。然后

1

..

t

nnn

6

和1

1

..nnt

Dt

CPxxx。注意

,

一个对角矩阵是一个特例的约旦形式。

D

是一个

对角矩阵敌我识别每个

i

n

,

识别每个

Jordanblock

是一个11矩阵。

前面的章节，主要是关注与概率论，包括分布理论。在实践中，研究人员必须找到方法来选

择之间的分布和分布参数估计真实数据。采样的主题，我们现在统计的理论。而假定的分布

是已知的概率，统计试图从实际的数据，推论

在这里，我们从人口分布的采样，说的变化汇率，使推断群体的问题是什么，这个随机

变量，什么是最好的分布是最好的参数这种分配？风险测量，然而，通常涉及大量随机变量。

所以，我们也希望表征之间的关系投资组合暴露的危险因素。例如，我们观察到，在日元

/

美元汇率的走势与美元

/

欧元的汇率？另一问题类型发展的决策规则放置一些假设，例如随

着时间的推移，

Wherher

的波动保持稳定。

这些例子说明了两个重要的问题，在统计推断，即估计和假设检验。通过估算，我们希望估

计值从大量数据的未知参数。随着测试的假设，我们希望验证猜想的数据。这个例子的点评

统计理论的基本工具风险的人不停。第

3.1

节讨论

s

的真实数据的采样和建造的回报。在

3.2

节中的参数估计问题。第

3.3

节，然后回归分析，总结了重要成果，常见的陷阱，在他

们的解释。

开始一个例子，让我们说，我们观察到在日常的运动

的日元

/dogar

的汇率，并希望明天的分布特征

汇率

风险经理的工作是

ro

的潜在收益和情人们一个评估范围

交易者的位置。他或她观察到一个过去的现货价格

S0S1

序列

.......ST

，

我们推断明天的价格，

ST+1

的分布。

在明天的价格是不是真正的随机成分的水平，而是其

更改相对于今天的价格。我们在现场测量的相对变化率

价格：

另外，我们可以构建价格比的对数：

Undoedits

这是相当于使用连续的，而不是离散复利。这是还

定义至今的回报是资本增值的回报，而忽略了

对资产的收入支付。定义红利或优惠券为

的情况下，

汇率位置，这是外币支付利息

持有时间。农村妈妈

AV

的资产

在地平线上时，是很短，收益回报通常是非常小的资本增值回报。

接下来的问题是，的顺序是否变量

在地平线上时，是很短，收益回报通常是非常小的资本增值回报。

接下来的问题是，是否可以被看作是独立的观测序列变量

r

。如果是这样，你可以假设，例

如，来自正态分布

N

（

U

）的随机变量。然后，我们可以继续进行，估计

u

和

-

的数据和使

7

用这些信息来创建一个分发明天

;

的现货价格的变化。

独立的观察有很不错的属性，它们的联合分布的边缘分布，大大简化了分析。明显的问题是

产品的是这个假设是否是一个可行的近似。其实，你是好经济有理由相信，金融价格的变化

率接近独立。

有效市场假说假设目前的价格转达该资产的所有相关信息。如果是这样，资产价格的任何变

动，必须是由于新闻或事件是由定义的不可能预测（否则，它不会成为新闻）的，这意味着

价格的变化是不可预测的，因此，满足我们的定义独立的随机变量。

这一假说，也被称为随机漫步理论，隐含的条件分布只返回当前的价格，而不是以前的历史

价格。如果是这样，技术分析必须是无果而终的运动。技术分析师预测价格走势，从过去的

价格模式。

如果在此外回报的分布是随时间变化的变量是独立同分布（

IID

）。因此，我们可以认为是独

立的观察

RT

吸引了来自相同分布2,Nu

后，我们会考虑偏离这个基本模型，财务回报典型的

displayfet

尾巴的分布。也，差异不是

恒定的，并显示一些持久性的预期回报也

slghtly

随着时间的推移而变化

时间聚合

通常是必要的翻译参数超过一个给定的地平线花药地平线。例如，我们可能每天的回报，

我们计算出每天的波动，我们要扩展到每月波动的原始数据。

返回时，可以很容易地跨越时间有关，我们的价格比使用日志，因为该日志的产品是个人

为期两天的回报的总和的日志，例如，可以分解为

这种分解是近似的，如果我们使用离散的回报，但是。

预期收益和方差，然后

12

ln//ln/ln/RSSSSSSSSRR

假设回报是不相关的和具有相同的分布跨天，我们有

020112

ERERER

和



2,VRVRVRCovRR

。

在

T

日的推广，我们可以涉及的日退货

0201

2ERER

0201

2ERER

天的回报率

R1

的时刻：



0201

2ERER

1T

ERERT

以波动，这会产生时间的平方根规则：

1T

SDRSDRT

KET

概念

在连续的回报是不相关的，在地平线上的波动性增加，延长时间的平方根。

更一般地，可以添加方差从不同的值在不同的期间。例如，在未来的一年方差计算的前三个

月，每月的平均方差乘以

3

，再加上平均方差在过去的

9

个月，再乘以

9

。这种类型的分析

经常被用来建设隐含波动率期限结构，这是来自不同到期日的期权数据。

应当强调的是，这认为仅当回报跨越时间和具有恒定的参数是不相关的。当有非零相关跨天，

2

天的方差是

8

因为我们考虑在时间序列中的相同变量的相关性，

P

被称为自相关系数，或序列的自相关系

数，用于

P

甲正值意味着在一天之内，在一个方向上的运动是可能要遵循由另一个运动在

相同的方向，第二天。一个积极的自相关信号存在的一个趋势。在这种情况下，公式（

3.8

）

表示，

2

天的方差是大于

1

，通过以下方式获得的时间的平方根规则。



21111

221VRVRVRVRVR

为

P

甲负值意味着在一天之内，在一个方向上的运动是可能应遵循的在另一个方向上的运

动在一天之内是可能应遵循的在另一个方向上的运动，第二天，所以价格往往恢复到负自相

关信号的平均值。