2222bi

复数考点三

一、选择题在复平2i，则复数z)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－(2019·1．湖

南衡阳三模)

(面内对应的点位于．第二象限BA．第一象限

．第四象限DC．第三象限C

答案

1－2i，i·解析∵复数z＝，－i，∴－i·i·z＝－i(1－2i)z＝－2C.位于第三

象限．故选，－1)则复数z在复平面内对应的点(－2i2＋)＝5月三模)设复数z

满足i，则|z|＝((2019·2．山东潍坊z5．A．1B53．D．CB

答案

i2＋i2＋2i2，故选＝5，∴＋＝解析∵＝i，∴z＝＋1＝1＝1－2i|z|4＝1＋2

iiziB.

1z＋)则下列说法正确的是)3．(2019·安徽芜湖5月模拟设复数z满足＝i，

(z1i的虚部为－．为纯虚数zBzA．2211－

D．z－C．z＝i||＝222D

答案

11121－＋z＝－，的虚部为－z，||，i－＝－z，z1z解析∵＋＝i∴∴z＝复数

222221D.

，故选i2，z1＝i|z|满足设复数)全国卷Ⅰ．4(2019·z－，)y，(在复平面内对应

的点为x)

(则．

222211)＝＋y1B．(A．(x＋1)x＋y－＝22221

y＋1)＝D．x．x＋(y－1)1＝＋(CC

答案

i.y＝解析由已知条件，可得zx＋－i|＝1，y－∵|zi|＝1，∴|x＋i22C.＝1.∴x

故选＋(y－1)2i|＋|1)5．复数z)的共轭复数是＝((i为虚数单位i1＋i3－

i＋3．A．B225555i

D－．C．＋i2222C

答案i15－|1＋2i|55555－故＋，∴z＝i.＝由题意，得解析z＝＝＝i－

22222i＋11＋iC.

选a＋i(a∈zi6．已知为虚数单位，若复数＝R)的实部与虚部互为相反数，

1－2i)

则a＝(

B5．－A．－1

51D．－C．－33D

答案a1＋2i2a＋5aaa解析z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)

552i1－2i1＋1－2i2i1－的实部与

虚部互为相反数，

2a＋55a∴－＝，解得a＝－.故选D.

3557．若复数z，z在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z＝2＋i，i为虚数单

112位，则zz＝()

21A．－5B．5

i

－4．－Di

＋4．－C．

答案A

解析因为z＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(－12－4

＝－5.z＝i故选A.

2,1)，因此z＝－2＋i，z2212(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|za＋i)|＝()

8．若复数z＝(A．1B．3

D．2．4

CC

答案222，在复平面内对应的点在虚轴上，知a0－1z＝(a＋i)＝a＝－1＋2ai由解

析

C.

，故|z|＝2，故选即a＝±1，所以z＝±2i二、填空题表示．若i为虚数单位，

图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z9z________，则复数z．的共

轭复数是复数2i－1

答案－i

2＋ii－2i2＋z解析复＝i，其共轭复数为－i.

2i－2i2i1－11－2019i－110．(2019·湖北部分重点中学联考)＝________.

i－1答案i

201932＋i＋i－i1－i1112i解析＝＝＝＝＝i.

2＋ii1－1－i1－i1－1iix＝cosx＋isinx(i11．欧拉公式：e为虚数单位)，由瑞士

数学家欧拉发明，它建πi22立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，

(e)＝________.

答案－1

πiππ2i2x22isin＋cos＝－)(ex＋co解析由＝xisin得＝i1.

＝22．

a＝－1＋bi，其中a，b12．已知是实数，则复数a－bi在复平面内对应的i

－1点位于第________象限．

答案二

a＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)解析由＝(b－1)＋(b＋1)i，∴i1－，

＝0b＋1在复平面内对应的点的坐＋ii＝－2b＝－1，∴复数a－b即a＝－2，，

－1a＝b2,1)，位于第二象限．标为(－三、解答题，试4i，－2＋，C分别表示

0,3＋2i13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A求：

→→表示的复数；BC(1)AO表示的复数，→表示的复数．(2)对角线CA→→，

解＝－OA(1)∵AO→表示的复数为－3－2i，∴AO→→→表示的复数为－3－

2i.，∴BC∵＝AOBC→→→，(2)－OC∵＝OACA→表示的复数为(3＋2i)－(－

2＋4i)＝5－2i.∴CA51214．已知z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，且z－z

＝＋i，求cos(α＋β)21121313的值．

解∵z＝cosα＋isinα，z＝cosβ－isinβ，21512∴z－z＝(cosα－cosβ)＋i(sin

α＋sinβ)＝＋i.

211313．

5①，α－cosβ＝cos13∴12②β＝.sinα＋sin1322，得

2－2cos(α＋β由①)＋②＝1.

1∴cos(α＋β)＝.

2

一、选择题

1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i

＝3＋i，则复数z的共轭复数为()

A．1＋2iB．1－2i

i

－2＋i2．DC．C

答案

2i41333＋i＋i＋i－i－zi.2＝＝＝＝z3·i＝＋i可化为＝－∴z，∵z解析z＋

2i－1i＋1i＋1i＋1－C.

i2的共轭复数为z＝＋，故选，若向量，的坐标分别为Z已知点四川双流中学一

模．2(2019·)Z，(1,0)(0,1)21→)

对应的点位于，则复数zz(对应复数ZZ21B．第二象限A．第一象限．第四

象限DC．第三象限B

答案→z因为点解析Z＝Z，所以(0,1)，的坐标分别为Z，(1,0)Z(1,1)，即复数

－2112B.

对应点位于第二象限，故选在复平面)(2019·．3山东栖霞高考模拟已知复数为虚

数单位－＋a(z＝i)(1i)(i))

上，则实数x2y内对应的点在直线＝a(的值为

1AB．0．－1D．－1．C3D

答案．

解析因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点1在

直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D.

3z34－z是其共轭复数，若＝a＋i，＋4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z

＝55－zi，则实数a＝()

A．4B．3

D．C．21

C

答案

34a43a4z3－－a＋＋＝＋，则i＋＝ai，∴解析∵z＝a＋iiz＝a－i，又，∴

555555－z2.

＝在a＋(1＋i)(i)a为实数为虚数单位，z(2019·5．北京昌平二模)已知复数＝－

1)

(复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是

11i．BiA．－2211．C．－D22D

答案

，－1<0a，故选0

即，>0aD.

6．设有下面四个命题：1∈zR；，则∈满足p：若复数zR1z2RzRz∈，则∈；

满足：若复数pz2－，z：若复数pz；＝，则∈zz满足Rzz2212311－.zRz：若复数

p∈，则∈R4)(其中的真命题为

，p，ppA．p．B4131．p．CD，，ppp4232．

B

答案对．R)i(a，b∈b，∈R)，z＝a＋b设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a＋bi(a解析

2121122112iba－11为真命pR，所以bi＝a∈，则b＝0?z＝a＋于p，若∈R，即＝∈

R2211zbb＋ia＋a2222时，0b≠a＝0，∈R，则ab＝，即(a＋bi)0.

＝aab＋2i－b当题．对于p，若z∈R2＝bi)bi)(a＋zz∈R，即(a＋Rz＝a＋bi＝bi，

所以p为假命题．对于p，若∈/21132221－i－bi＝＝az，即a＋b＝＋ab)i∈R，则

ab＋ab0.而za(a－bb)＋(ab2221221为假命题．对，所以pb＝－b/a＝a，＝

－，bb.因为ab＋ab＝0??a＝a32－为真命题，故p∈R，所以a－bi＝bi∈R，

则b＝0?az＝于p，若z∈R，即a＋44选B.．下面四个命题中，7；a，bb∈

R)的实部、虚部分别是①复数z＝a＋bi(a，对应的点构成一条直线；，则z＝|z

－2i|z②复数满足|z＋1|2222z|z|a|；＝a＝，可类比得到复数z的性质a③由向量的

性质|202021.i＋i＝＋…＋④i为虚数单位，则1＋i)(正确命题的个数是B．01

A．3

．2．DCD

答案a)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝解析①复数z＝a＋bi(a，b∈R，

i(aa＋bb2i|计算得2a＋4－3＝0，故正确；③设z＝z)＋bi(a，b∈R，由|z＋1|＝|

－2020222＝＋不成立，故错误；④1i＋i1＋…＋zRb∈)，当b≠0时，||i＝z，故正

确．zP与M．已知复平面内，定点与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点

8)

m|＝2的点P的轨迹方程为(y＝x＋i对应，那么满足|z－22224＝2)＋(＋(y－2)y

＝2－1)x．B(－xA．(－1)22224＋C．(x1)(＋y＋2)＝2＝2)＋y(＋1)＋x(．DB

答案

，|．－，－(mz由题意，解析知在复平面内，－对应的点为x1y2)则由z＝2|－

m2222B.

，故选4＝2)－y(＋1)－x(，即2＝2－y＋1－x得．

二、填空题－－其中i)4(z(2019·广东韶关4月模拟)已知＝z是z的共轭复数，

且满足(1＋9．________.

＝|z|)i是虚数单位，则2

2答案

－i414－－－222＝2i，∴|z|＝|2z|＋解析由(1＋i)zz＝4，得，＝＝＝2－

1－i1＋i1＋i2.

2＝的虚Im(z)表示复数z．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用

10－－)z)＋，其中Im(z是复数z的共轭复数，则Re(z部，若已知复数z满足z(1

－i)＝7＋3i________.

＝3

－答案

10i＋43i＋7＋3i1＋i7－，则5i2－＝＝2＋5i，∴z＝解析由题意得，z＝＝

2ii1－i11－＋3.

5＝－＋Im(z)＝2－Re(z)2＝bc＋bx＋c＝0－11．若2i是关于x的实系数方程x的

一个复数根，则________.

20

－答案

2－3＋2b＋c－i)＋b(2－i)＋c＝0，即2解析把复数根－i代入方程中，得(2，

b＝－43＋2b＋c＝0，(4＋b)i＝0，所以解得＝－故，5＋4b＝0，c＝|z|z|

＋|21zz@z＝(等式右边为普通运算)．若复数12．定义复数的一种新运算

212－．z的最小值为＋y满足xy＝________22，则z@，i＋＝xyi，为虚数单位，

且实数x2

答案

－|＋|z|z||2|z－22.＋x＝yz＝解析@zz＝＝||22－2，4＋2－xz，

所以＝＋由于xy22z@＝2－2.z2＝x故时，z@取最小值三、解答题．

－10|.＋3|13．设虚数z满足|2z＋15|z＝的值；z|(1)计算|az若不存在，说明理

由．(2)是否存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；za－R且b≠0)，

则，z＝a－bia解(1)设z＝a＋bi(，b∈－∵|2z＋15|10|＝3|，z＋i|＋2bi|，＝3|(a

＋10)－b∴|(2a＋15)2222＋＝b3

a＋10，∴2a＋152＋b22223.b5＝75，∴|z|＝a∴a＝＋b＋az.a，使＋∈R(2)

假设存在实数zad≠0)，，c＋di(cd∈R且设z＝c－dic＋diadcaza＋＋i＋

则有＝＋＝22azaaadc＋d＋icdadacc－R

＝＋＋，i∈2222ad＋cadc＋add，－∴＝022adc

＋22±c，＋a∵d≠0，∴＝d2253.

＝±53由(1)知c，∴＋da＝2＋mx＋n＝0，mz＋1为关于x的方程x，n14．(2019·辽

宁省鞍山一中一模)设∈R的虚根，i为虚数单位．

(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；

(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，

试求|PQ|的取值范围．

解(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i，

，＝0m2＝0，易得i则＋mi＋n1.n＝(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，

2，0＝1＋i)b＋1＋a(m＋i)b＋1＋a(则．

22①0，1a＋1＋＝＋a＋1－bm于是②，b＋mb＝02a＋122，其＝

＋b1＋2(a1)，代入①得，(a＋1)m因为b不恒为零，所以由②得＝－4i＋P是圆

上任意一点．又复数2－几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即22＋1＝6，

4|PQ|的最小值为4.

＋PQ，所以对应的点为Q||的最大值为21＋所以|PQ|的取值范围是[4,6]．