新课标卷

2019年全国高考新课标Ⅰ数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（2019新课标Ⅰ卷·理1）已知集合

{|42}Mxx

，2{|60}Nxxx

，则

MNI

A.

{|43}xx

B.

{|42}xx

C.

{|22}xx

D.

{|23}xx

2.（2019新课标Ⅰ卷·理2）设复数z满足

||1zi

，z在复平面内对应的点为

(,)xy

，则

A.22(1)1xy

B.22(1)1xy

C.22(1)1xy

D.22(1)1xy

3.（2019新课标Ⅰ卷·文理3）已知

2

log0.2a

，0.22b

，0.30.2c

，则

A.

abc

B.

acb

C.

cab

D.

bca

4.（2019新课标Ⅰ卷·文理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐

至足底的长度之比是

5151

(0.618

22





，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便

是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

2



.若某人满

足上述两个黄金分割比例，且腿长为

105cm

，头顶至脖子下端的长度为

26cm

，则其身高可

能是

A.

165cm

B.

175cm

C.

185cm

D.

190cm

5.（2019新课标Ⅰ卷·文理5）函数

2

sin

()

cos

xx

fx

xx







的图象在

[

，

]的大致为

A.B.

C.D.

6.（2019新课标Ⅰ卷·理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重

卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一

重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A.

5

16

B.

11

32

C.

21

32

D.

11

16

7.（2019新课标Ⅰ卷·文8理7）已知非零向量

a

r

，

b

r

满足

||2||ab

r

r

，且

()abb

rr

r

，

则

a

r

与

b

r

的夹角为

A.

6



B.

3



C.

2

3



D.

5

6



8.（2019新课标Ⅰ卷·文9理8）如图是求

1

1

2

1

2

2





的程序框图，图中空白框中应

填入

A.

1

2

A

A





B.

1

2A

A



C.

1

12

A

A





D.

1

1

2

A

A



9.（2019新课标Ⅰ卷·理9）记

n

S

为等差数列

{}

n

a

的前n项和.已知

4

0S

，

5

5a

，则

A.

25

n

an

B.

310

n

an

C.228

n

Snn

D.2

1

2

2n

Snn

10.（2019新课标Ⅰ卷·文12理10）已知椭圆

C

的焦点为

1

(1,0)F

，

2

(1,0)F

，过

2

F

的直线与

C

交于A，B

两点.若

22

||2||AFFB

，

1

||||ABBF

，则

C

的方程为

A.

2

21

2

x

yB.

22

1

32

xy

C.

22

1

43

xy

D.

22

1

54

xy



11.（2019新课标Ⅰ卷·理11）关于函数

()sin|||sin|fxxx

有下述四个结论：

①

()fx

是偶函数②

()fx

在区间

(

2



，

)单调递增

③

()fx

在

[

，

]有4个零点④

()fx

的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A.①②④B.②④C.①④D.①③

12.（2019新课标Ⅰ卷·理12）已知三棱锥

PABC

的四个顶点在球

O

的球面上，

PAPBPC

，

ABC

是

边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，

90CEF

，则球

O

的体积为

A.86B.46C.26D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2019新课标Ⅰ卷·理14）曲线23()xyxxe

在点

(0,0)

处的切线方程为.

14.（2019新课标Ⅰ卷·理14）记

n

S

为等比数列

{}

n

a

的前n项和.若

1

1

3

a

，2

46

aa

，则

5

S

.

15.（2019新课标Ⅰ卷·理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队

获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概

率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以

4:1

获胜的概率是.

16.（2019新课标Ⅰ卷·理16）已知双曲线

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab

的左、右焦点分别为

1

F

，

2

F

，过

1

F

的

直线与

C

的两条渐近线分别交于A，B两点.若

1

FAAB

uuuruuur

，

12

0FBFB

uuuruuuur

，则

C

的离心率为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（2019新课标Ⅰ卷·理17）

ABC

的内角A，B，

C

的对边分别为a，

b

，c.

设22(sinsin)sinsinsinBCAB

C

.

（1）求A；

（2）若22abc，求

sinC

.

18.（2019新课标Ⅰ卷·理18）如图，直四棱柱

1111

ABCDABCD

的底面是菱形，

1

4AA

，2AB，

60BAD

，E，M，

N

分别是

BC

，

1

BB

，

1

AD

的中点.

（1）证明：

//MN

平面

1

CDE；

（2）求二面角

1

AMAN

的正弦值.

19.（2019新课标Ⅰ卷·理19）已知抛物线2:3Cyx

的焦点为F，斜率为

3

2

的直线

l

与

C

的交点为A，B，

与x轴的交点为P.

（1）若

||||4AFBF

，求

l

的方程；

（2）若

3APPB

uuuruuur

，求

||AB

.

20.（2019新课标Ⅰ卷·理20）已知函数

()sin(1)fxxlnx

，

()fx

为

()fx

的导数.证明：

（1）

()fx

在区间

(1,)

2





存在唯一极大值点；

（2）

()fx

有且仅有2个零点.

21.（2019新课标Ⅰ卷·理21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此

进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲

药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈

的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，

若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施

以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的

治愈率分别记为



和，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，

(0

i

pi

，1，，

8)

表示“甲药的累计得分为i时，最终认

为甲药比乙药更有效”的概率，则

0

0p

，

8

1p

，

11

(1

iiii

papbpcpi





，2，，

7)

，其中

(1)aPX

，

(0)bPX

，

(1)cPX

.假设

0.5

，

0.8

.

()i

证明：

1

{}(0

ii

ppi





，1，2，，

7)

为等比数列；

()ii

求

4

p

，并根据

4

p

的值解释这种试验方案的合理性.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

22.（2019新课标Ⅰ卷·文理22）在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为

2

2

2

1

,

1

(

4

1

t

x

t

t

t

y

t

























为参数）.以坐标

原点

O

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为2cos3sin110.

（1）求

C

和

l

的直角坐标方程；

（2）求

C

上的点到

l

距离的最小值.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23.（2019新课标Ⅰ卷·文理23）已知a，

b

，c为正数，且满足

1abc

.证明：

（1）222

111

abc

abc

„

；

（2）333()()()24abbcca…

.