1976 4 5

高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.

3

1

i

i







（）

A．12iB．12iC．2iD．2i

2.设集合1,2,4，240xxxm．若1，则（）

A．1,3B．1,0C．1,3D．1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯

数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部

分所得，则该几何体的体积为（）

A．90B．63

C．42D．36

5.设

x

，y满足约束条件

2330

2330

30

xy

xy

y

















，则2zxy的

最小

值是（）

A．15B．9C．1D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共

有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家

说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A．乙可以知道四人的成绩

B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

D．乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的

S（）

A．2B．3C．4D．5

9.若双曲线C:

22

22

1

xy

ab

（0a，0b）的一条渐

近线被圆2

224xy所截得的弦长为2，则C的

离心率为（）

A．2B．3C．2D．

23

3

10.若2x是函数21`()(1)xfxxaxe的极值点，则()fx的极小值为（）

A.1B.32eC.35eD.1

11.已知直三棱柱

111

CC中，C120，2，

1

CCC1，则异面直线

1



与

1

C所成角的余弦值为（）

A．

3

2

B．

15

5

C．

10

5

D．

3

3

12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是

（）

A.2B.

3

2

C.

4

3

D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽

到的二等品件数，则D．

14.函数2

3

sin3cos

4

fxxx（0,

2

x











）的最大值是．

15.等差数列

n

a的前

n

项和为

n

S，

3

3a，

4

10S，则

1

1n

k

k

S



．

16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为

F的中点，则F．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知2sin()8sin

2

B

AC．

(1)求cosB

(2)若6ac,ABC面积为2,求.b

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网

箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

1.设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖

法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

2.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（）

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.（12分）

如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

o

1

,90,

2

ABBCADBADABC

E是PD的中点.

（1）证明：直线//CE平面PAB

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所

成锐角为o45，求二面角MABD的余弦值

20.（12分）

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

2

21

2

x

y上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满

足2NPNM.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=3上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）

已知函数3()ln,fxaxaxxx且()0fx.

（1）求a；

（2）证明：()fx存在唯一的极大值点

0

x，且23

0

()2efx.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计

分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

1

C的极坐标

方程为cos4．

（1）M为曲线

1

C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP,求点P的轨迹

2

C

的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,)

3



，点B在曲线

2

C上，求OAB面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知330,0,2abab，证明：

（1）33()()4abab；

（2）2ab．

参考答案

1．D

2．C

【解析】1是方程240xxm

的解，

1x

代入方程得

3m

∴2430xx

的解为

1x

或

3x

，

∴13B，

3．B

【解析】设顶层灯数为

1

a

，

2q

，

7

1

7

12

381

12







a

S

，解得

1

3a

．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

5．A

【解析】目标区域如图所示，当直线

-2y=x+z

取到点63，

时，所求z最小值为

15

．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得23

43

CA36

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）

→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

8．B

【解析】

0S

，

1k

，

1a

代入循环得，

7k

时停止循环，

3S

．

9．A

【解析】取渐近线

b

yx

a



，化成一般式

0bxay

，圆心20，

到直线距离为

22

2

3

b

ab





得224ca

，24e

，

2e

．

10．C

【解析】M，

N

，P分别为AB，

1

BB

，

11

BC

中点，则

1

AB

，

1

BC

夹角为

MN

和

NP

夹角或其补角

（异面线所成角为

π

0

2









，

）

可知

1

15

22

MNAB

，

1

12

22

NPBC

，

作

BC

中点

Q

，则可知

PQM△

为直角三角形．

1PQ

，

1

2

MQAC

ABC△中，2222cosACABBCABBCABC

1

412217

2









，7AC

则

7

2

MQ

，则

MQP△

中，22

11

2

MPMQPQ

则PMN△中，

222

cos

2

MNNPPM

PNM

MHNP







又异面线所成角为

π

0

2









，

，则余弦值为

10

5

．

11．A

【解析】2121xfxxaxae







，

则32422101faaea







，

则211xfxxxe

，212xfxxxe



，

令0fx





，得2x或1x，

当2x或1x时，0fx





，

当21x时，0fx





，

则fx

极小值为11f

．

12．B

【解析】几何法：

如图，

2PBPCPD

（D为

BC

中点），

则2PAPBPCPDPA

，

要使

PAPD

最小，则

PA

，

PD

方向相反，即P点在线段AD上，

则

min22PDPAPAPD

，

即求

PDPA

最大值，

又

3

23

2

PAPDAD

，

则

2

233

224

PAPD

PAPD





















≤

，

P

D

C

B

A

则

min

33

22

42

PDPA

．

解析法：

建立如图坐标系，以

BC

中点为坐标原点，

∴03A，

，10B，

，10C，

．

设Pxy，

，

3PAxy，

，1PBxy，，

1PCxy，，

∴222222PAPBPCxyy

则其最小值为

33

2

42









，此时

0x

，

3

2

y

．

13．1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中

0.02p

，

100n

则11000.020.981.96

x

Dnpp

14．1

【解析】2

3π

sin3cos0

42

fxxxx















，

令

cosxt

且01t，

则当

3

2

t

时，fx

取最大值1．

15．

2

+1

n

n

【解析】设

n

a

首项为

1

a

，公差为

d

．

则

31

23aad

求得

1

1a

，

1d

，则

n

an

，

1

2n

nn

S





16．6

【解析】28yx

则

4p

，焦点为20F，

，准线

:2lx，

如图，M为F、N中点，

l

F

N

M

C

B

A

O

y

x

故易知线段BM为梯形AFMC中位线，

∵2CN，4AF，

∴

3ME

又由定义

MEMF

，

且

MNNF

，

∴

6NFNMMF

17.

【解析】（

1

）依题得：2

1cos

sin8sin84(1cos)

22

BB

BB





．

∵22sincos1BB

，

∴2216(1cos)cos1BB

，

∴

(17cos15)(cos1)0BB

，

∴

15

cos

17

B

，

（

2

）由

⑴

可知

8

sin

17

B

．

∵

2

ABC

S

△

，

∴

1

sin2

2

acB

，

∴

18

2

217

ac

，

∴

17

2

ac

，

∵

15

cos

17

B

，

∴

22215

217

acb

ac





，

∴22215acb

，

∴22()215acacb

，

∴2361715b

，

∴

2b

．

18．

【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于

50kg

”为事件B

“新养殖法的箱产量不低于

50kg

”为事件

C

而0.04050.03450.02450.01450.0125PB

（2）

箱产量

50kg

箱产量

50kg≥

中/华资*源%

库旧养殖法

6238

新养殖法

3466

由计算可得2K

的观测值为

∵15.7056.635

∴26.6350.001PK≥

∴

有

99%

以上的把握产量的养殖方法有关．

（3）

150.2

，0.20.0040.0200.0440.032

8

0.0320.068

17



，

8

52.35

17

≈

502.3552.35

，∴中位数为

52.35

．

19．【解析】

（1）令PA中点为F，连结EF，BF，

CE

．

∵E，F为PD，PA中点，∴EF为

PAD△

的中位线，∴

1

2

EFAD∥．

又∵

90BADABC

，∴

BCAD∥

．

又∵

1

2

ABBCAD

，∴

1

2

BCAD∥，∴EFBC

∥．

∴四边形

BCEF

为平行四边形，∴

CEBF∥

．

又∵

BFPAB面

，∴

CEPAB面∥

（2）以AD中点O为原点，如图建立空间直角坐标系．

设

1ABBC

，则

(000)O，，

，

(010)A，，

，

(110)B，，

，

(100)C，，

，

(010)D，，

，

(003)P，，．

M在底面

ABCD

上的投影为M



，∴MMBM



．∵

45MBM





，

∴

MBM



△

为等腰直角三角形．

∵

POC△

为直角三角形，

3

3

OCOP

，∴

60PCO

．

设

MMa





，

3

3

CMa





，

3

1

3

OMa





．∴

3

100

3

Ma













，，

．

2

222

316

101

332

BMaaaa













．∴

32

11

32

OMa





．

∴

2

100

2

M













，，

，

26

10

22

M











，，

26

11

22

AM











，，

，(100)AB，，．设平面ABM的法向量

11

(0)myz，，．

11

6

0

2

yz

，∴(062)m，，

(020)AD，，，(100)AB，，．设平面ABD的法向量为

2

(00)nz，，，

(001)n，，．

∴

10

cos,

5

mn

mn

mn







．

∴二面角MABD的余弦值为

10

5

．

20．

【解析】⑴设

()Pxy，

，易知

(0)Nx，

(0)NPy，又

1

0

22

y

NMNP









，

∴

1

2

Mxy







，，又M在椭圆上．

∴

2

2

1

2

2

y

x









，即222xy

．

(3)

Q

Qy，，

()

PP

Pxy，

，(0)

Q

y，

⑵设点

由已知：

()(3)1

PPPQP

OPPQxyyyy，，

，

21OPOQOPOPOQOP，

∴

213OPOQOP，

∴33

PQPQPPQ

xxyyxyy．

设直线

OQ

：

3

Q

y

yx



，

因为直线l与

OQ

l

垂直．

∴

3

l

Q

k

y



故直线l方程为

3

()

PP

Q

yxxy

y



，

令

0y

，得3()

PQP

yyxx，

1

3PQP

yyxx

，

∴

1

3PQP

xyyx

，

∵33

PQP

yyx，

∴

1

(33)1

3PP

xxx

，

若0

Q

y，则

33

P

x

，

1

P

x

，

1

P

y

，

直线

OQ

方程为

0y

，直线l方程为

1x

，

直线l过点

(10)，

，为椭圆C的左焦点．

21．

【解析】⑴因为ln0fxxaxax≥

，0x，所以ln0axax≥．

令lngxaxax

，则10g

，

11ax

gxa

xx





，

当0a≤时，0gx





，gx

单调递减，但10g

，1x时，0gx

；

当0a时，令0gx





，得

1

x

a

．

当

1

0x

a

时，0gx





，gx

单调减；当

1

x

a

时，0gx





，gx

单调增．

若01a，则gx

在

1

1

a







，

上单调减，

1

10gg

a









；

若1a，则gx

在

1

1

a







，

上单调增，

1

10gg

a









；

若1a，则

min

1

10gxgg

a









，0gx≥

．

综上，1a．

⑵2lnfxxxxx，22lnfxxx





，0x．

令22lnhxxx

，则

121

2

x

hx

xx





，0x．

令0hx





得

1

2

x，

当

1

0

2

x时，0hx





，hx

单调递减；当

1

2

x时，0hx





，hx

单调

递增．

所以，

min

1

12ln20

2

hxh









．

因为22e2e0h，22ln20h

，2

1

e0

2











，

，

1

2

2









，

，

所以在

1

0

2







，

和

1

2









，

上，hx

即fx



各有一个零点．

设fx



在

1

0

2







，

和

1

2









，

上的零点分别为

02

xx，

，因为fx



在

1

0

2







，

上单调

减，

所以当

0

0xx

时，0fx





，fx

单调增；当

0

1

2

xx时，0fx





，fx

单

调减．因此，

0

x

是fx

的极大值点．

因为，fx



在

1

2









，

上单调增，所以当

2

1

2

xx时，0fx





，fx

单调减，

2

xx

时，fx

单调增，因此

2

x

是fx

的极小值点．

所以，fx

有唯一的极大值点

0

x

．

由前面的证明可知，2

0

1

e

2

x









，

，则2422

0

eeeefxf．

因为

000

22ln0fxxx





，所以

00

ln22xx

，则

又22

0000000

22fxxxxxxx，因为

0

1

0

2

x，所以

0

1

4

fx．

因此，2

0

1

e

4

fx．

22．

【解析】⑴设

00

MP，，，

则

0

||OMOP，．

解得

4cos

，化为直角坐标系方程为

2

224xy．0x

⑵连接

AC

，易知

AOC△

为正三角形．

||OA

为定值．

∴当高最大时，

AOB

S

△

面积最大，

如图，过圆心

C

作

AO

垂线，交

AO

于H点

交圆

C

于B点，

此时

AOB

S

△

最大

23．

【解析】⑴由柯西不等式得：

2

2

5555334ababaabbab≥

当且仅当55abba，即

1ab

时取等号．

⑵∵332ab

∴222abaabb

∴232abbab







∴332ababab

∴





32

3

ab

ab

ab







由均值不等式可得：





3

22

32

ab

ab

ab

ab















≤

∴





3

22

32

ab

ab

ab













≤

∴

3

3

3

2

4

ab

ab



≤

∴31

2

4

ab≤

∴

2ab≤

当且仅当

1ab

时等号成立．

高考数学模拟试卷复习试题第九章解析几何第一节直线的方程

A基础巩固训练

1.【组卷网合作校特供】已知直线的倾斜角α的余弦值为

1

2

，则此直线的斜率是()．

A.3B．－3C.

3

2

D．±3

2.【高考数学一轮配套特训】直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足

()

A．ab>0，bc<0B．ab>0，bc>0

C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0

3.【组卷网合作校特供】直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()．

A．1B．－1

C．－2或－1D．－2或1

4.【高考前30天】直线的倾斜角为（）

A．B．C．D．

5.【上海市杨浦区高三上学期学业质量调研】已知直线

l

经过点

1,2,3,2AB

，则直线

l

的方程是

___________________.

6.【枣庄市第五中学高三上学期期末考试】对于任意实数

a

，直线32yaxa所经过的定点是；

B能力提升训练（满分70分）

1.【高考名师推荐】已知A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，若A，B，C三点共线，则实数a的值为()

A．2B．－2

C．D．

2.【高考数学三轮冲刺模拟】若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()

A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2)D．(－1，－2)

3.【数学一轮复习迎战高考】一次函数y＝－

m

n

x＋

1

n

的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条

件是()

A.m>1，且n<<0

C.m>0，且n<0D.m<0，且n<0

4.【高考数学一轮配套特训】已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y＝ax＋

1

a

表示的

直线是()

5.【高考数学一轮配套特训】直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()

A．[－

6



，

6



]B．[

6



，

5

6



]

C．[0，

6



]∪[

5

6



，π)D．[0，

6



]∪[

5

6



，π]

6.【高考数学一轮总复习】已知直线PQ的斜率为－

3

，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率

是________．

7.已知直线l的斜率与直线623yx的斜率相等，且直线l在

x

轴上的截距比在y轴上的截距大1，求

直线l的方程.

C思维扩展训练（满分30分）

1.【高考名师推荐】已知直线l过(a，1)和(a+1，tanα+1)，则()

A．α一定是直线l的倾斜角

B．α一定不是直线l的倾斜角

C．α不一定是直线l的倾斜角

D．180°－α一定是直线l的倾斜角

2．【数学一轮复习迎战高考】直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()

A.0,

4









B.

3

,

4













C.0,

4









∪,

2











D.,

42











∪

3

,

4













3.【高考名师推荐】设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是

()

A.

B.

C.

D.

4.【数学一轮复习迎战高考】在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定义：d(P，Q)＝

|x1－x2|＋|y1－y2|.已知点B(1,0)，点M为直线x－2y＋2＝0上的动点，则使d(B，M)取最小值时点M的坐

标是________．

5.直线l过点(2,4)P，若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程.