高考真题

历年高考数学真题全国卷

版

TheponywasrevidinJanuary2021

参考公式：

如果事件

A、B

互斥，那么球的表面积公式

如果事件

A、B

相互独立，那么其中R表示球的半径

()()()PABPAPB球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是

p

，那么3

3

4

VR

n次独立重复试验中事件

A

恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

1、复数

13

1

i

i





=

A2+IB2-IC1+2iD1-2i

2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},AB＝A,则m=

A0或3B0或3C1或3D1或3

3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为

A2

16

x

+2

12

y

=1B2

12

x

+2

8

y

=1

C2

8

x

+2

4

y

=1D2

12

x

+2

4

y

=1

4已知正四棱柱ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，AB=2，CC

1

=22E为CC

1

的中点，则直线

AC

1

与平面BED的距离为

A2B3C2D1

（5）已知等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，a

5

=5，S

5

=15，则数列的前100项

和为

(A)

100

101

(B)

99

101

(C)

99

100

(D)

101

100

（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A)（B）(C)(D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=

3

3，则cos2α=

(A)

5

-

3（B）

5

-

9(C)

5

9(D)

5

3

（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，

|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

(A)

1

4（B）

3

5(C)

3

4(D)

4

5

（9）已知x=lnπ，y=log52，

1

2z=e，则

(A)x＜y＜z（B）z＜x＜y(C)z＜y＜x(D)y＜z＜x

(10)已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互

不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝

7

3。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反

弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数

为

（A）16（B）14（C）12(D)10

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效）

（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。

（14）当函数取得最大值时，x=___________。

（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的

系数为_________。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。

三.解答题：

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，

a=2c，求c。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上

作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱

形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC

上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对

方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙

的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独

立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。

（20）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。

21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(

1

2

y

)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在

A处两曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D

到l的距离。

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效

．．．．．．．．

）

函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x

n

}如下：x

1

=2，x

n+1

是过两点P（4,5）、Q

n

(x

n

,f(x

n

))

的直线PQ

n

与x轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2



x

n

＜x

n+1

＜3；

（Ⅱ）求数列{x

n

}的通项公式。

高考数学(全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1zi，z为z的共轭复数，则1zzz

(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i

2.函数20yxx的反函数为

(A)2

4

x

yxR(B)2

0

4

x

yx

(C)24yxxR(D)240yxx

3.下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是

(A)

1ab

(B)

1ab

(C)22ab(D)33ab

4.设

n

S为等差数列

n

a的前n项和，若

1

1a，公差

2

2,24

kk

dSS



，则k=

(A)8(B)7(C)6(D)5

5.设函数cos0fxx

，将yfx

的图像向右平移

3



个单位长度后，所得的

图像与原图像重合，则的最小值等于

(A)

1

3

(B)3(C)6(D)9

6.已知直二面角l，点,,AAClC为垂足，,,BBDlD为垂足，若

2,1ABACBD，则D到平面ABC的距离等于

(A)

2

2

(B)

3

3

(C)

6

3

(D)1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，

每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种

8.曲线21xye在点0,2处的切线与直线0y和

yx

围成的三角形的面积为

(A)

1

3

(B)

1

2

(C)

2

3

(D)1

9.设fx是周期为2的奇函数，当01x时，21fxxx，则

5

2

f









(A)

1

2

(B)

1

4

(C)

1

4

(D)

1

2

10.已知抛物线C：24yx的焦点为F，直线24yx与C交于A、B两点，则

cosAFB

(A)

4

5

(B)

3

5

(C)

3

5

(D)

4

5



11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面



截该球面得

圆N，脱该球面的半径为4.圆M的面积为4

，则圆N的面积为

(A)7

(B)9

(C)11

(D)13

12.设向量,,abc满足

1

1,,,60

2

ababacbc，则c的最大值对于

(A)2(B)3(C)2(D)1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题

号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13.20

1x的二项展开式中，x的系数与9x的系数之差为.

14.已知,

2













，

5

sin

5

，则tan2.

15.已知

12

FF、分别为双曲线

22

:1

927

xy

C的左、右焦点，点AC，点M的坐标为

2,0

，AM为

12

FAF的角平分线，则

2

AF

.

16.已知点E、F分别在正方体

1111

ABCDABCD的棱

11

BBCC、上，且

1

2BEEB,

1

2CFFC,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

17.（本小题满分10分）

ABC的内角A、B、C的对边分别为,,abc。已知90,2ACacb，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购

买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的

期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，//,ABCDBCCD,侧面SAB为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：SDSAB平面;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列

n

a满足

1

1

11

0,1

11

nn

a

aa







（Ⅰ）求

n

a的通项公式；

（Ⅱ）设1

1

n

n

a

b

n







，记

1

n

nk

k

Sb



，证明：1

n

S。

21.（本小题满分12分）

已知O为坐标原点，F为椭圆2

2:1

2

y

Cx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率

为2的直线l与C交于A、B两点，点P满足



（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数2

ln1

2

x

fxx

x





，证明：当0x时，0fx

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方

式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为

p

，证明：19

2

91

10

p

e









普通高等学校招生全国统一考试

一．选择题

(1)复数

32

23

i

i







(A)

i

(B)

i

(C)12-13

i

(D)12+13

i

(2)记cos(80)k,那么

tan100

A.21k

k



B.-21k

k



C.

21

k

k

D.-

21

k

k

(3)若变量

,xy

满足约束条件

1,

0,

20,

y

xy

xy

















则2zxy的最大值为

(A)4(B)3(C)2(D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{

n

a}，

123

aaa=5，

789

aaa=10，则

456

aaa=

(A)52(B)7(C)6(D)42

(5)35

3(12)(1)xx的展开式中x的系数是

(A)-4(B)-2(C)2(D)4

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两

类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种

(7)正方体ABCD-

1111

ABCD中，B

1

B与平面AC

1

D所成角的余弦值为

A

2

3

B

3

3

C

2

3

D

6

3

（8）设a=

3

log2,b=In2,c=

1

25,则

Aa

(9)已知

1

F、

2

F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点p在C上，∠

1

Fp

2

F=060，

则P到x轴的距离为

(A)

3

2

(B)

6

2

(C)3(D)6

（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

(A)(22,)(B)[22,)(C)(3,)(D)[3,)

（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么

PAPB•的最小值为

(A)42(B)32(C)422(D)322

（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体

ABCD的体积的最大值为

(A)

23

3

(B)

43

3

(C)23(D)

83

3

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

(注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2211xx

的解集是.

(14)已知为第三象限的角，

3

cos2

5

,则tan(2)

4



.

(15)直线1y与曲线2yxxa

有四个交点，则a的取值范围是.

(16)已知

F

是椭圆

C

的一个焦点，

B

是短轴的一个端点，线段

BF

的延长线交

C

于点

D

，且BF2FD，则

C

的离心率为.

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤．

(17)已知ABC的内角

A

，

B

及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角

C．

(18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的

评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初

审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录

用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能

通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记

X

表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求

X

的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

如图，四棱锥S-ABCD中，SD



底面ABCD，AB//DC，AD



DC，

AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC



平面SBC.

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上

．．．．．

作答无

．．．

效

．

）

已知函数()(1)ln1fxxxx.

（Ⅰ）若2'()1xfxxax，求a的取值范围；

（Ⅱ）证明：(1)()0xfx.

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点(1,0)K的直线

l

与C相交于

A

、

B

两

点，点A关于x轴的对称点为D.

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

（Ⅱ）设

8

9

FAFB，求

BDK

的内切圆M的方程.

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

已知数列

n

a

中，

11

1

1,

n

n

aac

a

.

（Ⅰ）设

51

,

22n

n

cb

a





，求数列

n

b

的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式

1

3

nn

aa



成立的c的取值范围.

普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合[u

（AB）中的元素共有

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

（2）已知

1i

Z

＋

=2+I,则复数z=

（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+I(D)3-i

(3)不等式

1

1

X

X





＜1的解集为

（A）｛x011xxx

(B)01xx

（C）10xx

(D)0xx

(4)设双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的

离心率等于

（A）3（B）2（C）5（D）6

(5)甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两

组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种

（6）设a、

b

、c是单位向量，且a·

b

＝0，则acbc•的最小值为

（A）

2

（B）22（C）

1

(D)12

（7）已知三棱柱

111

ABCABC的侧棱与底面边长都相等，

1

A在底面ABC上的射影为

BC的中点，则异面直线

AB

与

1

CC所成的角的余弦值为

（A）

3

4

（B）

5

4

（C）

7

4

(D)

3

4

（8）如果函数cos2yx＝3＋的图像关于点

4

3









，0中心对称，那么



的最小值为

（A）

6



（B）

4



（C）

3



(D)

2



(9)已知直线y=x+1与曲线yln()xa相切，则α的值为

(A)1(B)2(C)-1(D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q

到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为

(A)2(B)2(C)23(D)4

（11）函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则

(A)()fx是偶函数(B)()fx是奇函数

(C)()(2)fxfx(D)(3)fx是奇函数

（12）已知椭圆C:2

21

2

x

y的又焦点为F，右准线为L，点

AL

,线段AF交C与

点B。若3FAFB,则AF=

(A)2(B)2(C)3(D)3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

(13)10()xy的展开式中，73xy的系数与37xy的系数之和等于.

(14)设等差数列

n

a

的前n项和为

n

s.若

9

s=72,则

249

aaa=.

(15)直三棱柱ABC-

111

ABC各顶点都在同一球面上.若

1

2,ABACAA∠BAC=120，

则此球的表面积等于.

(16)若

42



＜X＜

,则函数3tan2tanyxx的最大值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤．

17．（本小题满分10分）

（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

在



ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且

sincos3cossinACAC

，求b.

18．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩

形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=600.

(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；

（Ⅱ）求二面角S—AM—B的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结

束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互

独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期

望。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

在数列

n

a中，

11

11

11

2n

n

n

aaa

n





’＋’

＋

＝＝＋＋.



设n

n

a

b

n

＝，求数列

n

b

的通项公式；



求数列

n

a

的前n项和

n

s.

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答

．．．．．．．

无效

．．

）

如图，已知抛物线2:Eyx与圆

222:(4)Mxyr

(r＞0）相交于ABCD、、、四个点。

（I）求r的取值范围：

(II)当四边形

ABCD

的面积最大时，求对角线

ABCD、、、的交点

p

的坐标。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

设函数32()33fxxbxcx有两个极值点

122

11,，，0，且

（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件

的点（b，c）和区域；

(Ⅱ)证明：

1

10

2



2

≤f(x)≤-

普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

1．函数

(1)yxxx

的定义域为（）

A．|0xx≥B．|1xx≥

C．|10xx≥D．|01xx≤≤

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽

车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）

3．在ABC△中，ABc，ACb．若点

D

满足2BDDC，则AD（）

A．

21

33

bcB．

52

33

cbC．

21

33

bc

D．

12

33

bc

4．设aR，且2()aii为正实数，则a（）

s

t

O

A

s

t

O

s

t

O

s

t

O

BCD

A．2B．1C．0D．

1

5．已知等差数列

n

a

满足

24

4aa，

35

10aa，则它的前10项的和

10

S（）

A．138B．135C．95D．23

6．若函数(1)yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线

yx

对称，则()fx

（）

A．21xeB．2xeC．21xeD．22xe

7．设曲线

1

1

x

y

x







在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a（）

A．2B．

1

2

C．

1

2

D．

2

8．为得到函数

π

cos2

3

yx









的图像，只需将函数sin2yx的图像（）

A．向左平移

5π

12

个长度单位B．向右平移

5π

12

个长度单位

C．向左平移

5π

6

个长度单位D．向右平移

5π

6

个长度单位

9．设奇函数()fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式

()()

0

fxfx

x



的解

集为（）

A．(10)(1)，，B．(1)(01)，，

C．(1)(1)，，D．(10)(01)，，

10．若直线1

xy

ab

通过点(cossin)M，，则（）

A．221ab≤B．221ab≥C．

22

11

1

ab

≤

D．

22

11

1

ab

≥

11．已知三棱柱

111

ABCABC的侧棱与底面边长都相等，

1

A在底面ABC内的射影为

ABC△的中心，则

1

AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．

1

3

B．

2

3

C．

3

3

D．

2

3

12．如图，一环形花坛分成

ABCD，，，

四块，现有4种不同的花供选种，要求在

每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

A．96B．84C．60D．48

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．13．若

xy，

满足约束条件

0

30

03

xy

xy

x















，

，

，

≥

≥

≤≤

则2zxy的最大值为．

14．已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为

顶点的三角形面积为．

15．在ABC△中，ABBC，

7

cos

18

B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该

椭圆的离心率e．

D

B

C

A

C

D

E

A

B

16．等边三角形

ABC

与正方形

ABDE

有一公共边

AB

，二面角

CABD

的余弦值为

3

3

，

MN，

分别是

ACBC，

的中点，则

EMAN，

所成角的余弦值等于．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤．

17．（本小题满分10分）

设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为

abc，，

，且

3

coscos

5

aBbAc．

（Ⅰ）求

tancotAB

的值；

（Ⅱ）求tan()AB的最大值．

18．（本小题满分12分）

四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，

2CD，ABAC．

（Ⅰ）证明：ADCE；

（Ⅱ）设CE与平面

ABE

所成的角为45，求二面角CADE的大小．

19．（本小题满分12分）

已知函数32()1fxxaxx，aR．

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）设函数()fx在区间

21

33









，内是减函数，求a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液

化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物

为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则

在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

21．（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为

12

ll，，经过右焦点

F

垂

直于

1

l的直线分别交

12

ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA

同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设

AB

被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22．（本小题满分12分）

设函数()lnfxxxx．数列

n

a

满足

1

01a，

1

()

nn

afa



．

（Ⅰ）证明：函数()fx在区间(01)，是增函数；

（Ⅱ）证明：

1

1

nn

aa



；

（Ⅲ）设

1

(1)ba，，整数1

1

ln

ab

k

ab



≥．证明：

1k

ab



．

全国普通高考全国卷一（理）

一、选择题

1．是第四象限角，

5

tan

12

，则

sin

A．

1

5

B．

1

5

C．

5

13

D．

5

13



2．设a是实数，且

1

12

ai

i







是实数，则a

A．

1

2

B．1C．

3

2

D．2

3．已知向量(5,6)a，(6,5)b，则a与b

A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向

4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为

A．22

1

412

xy

B．

22

1

124

xy

C．

22

1

106

xy

D．

22

1

610

xy



5．设,abR，集合{1,,}{0,,}

b

abab

a

，则

ba

A．1B．

1

C．2D．

2

6．下面给出的四个点中，到直线10xy的距离为

2

2

，且位于

10

10

xy

xy











表示

的平面区域内的点是

A．(1,1)B．(1,1)C．(1,1)D．(1,1)

7．如图，正棱柱

1111

ABCDABCD中，

值为

1

2AAAB，则异面直线

1

AB与

1

AD所成角的余弦

A．

1

5

B．

2

5

C．

3

5

D．

4

5

8．设1a，函数()log

a

fxx在区间[,2]aa上的最大值与最小值之差为

1

2

，则a

A．2B．2C．22D．4

9．()fx，()gx是定义在R上的函数，()()()hxfxgx，则“()fx，()gx均为偶函

数”是“()hx为偶函数”的

A．充要条件B．充分而不必要的条件

D

1C

1

B

1

D

B

C

A

A

1

C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件

10．2

1

()nx

x

的展开式中，常数项为15，则n=

A．3B．4C．5D．6

11．抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x

轴上方的部分相交于点A，

AKl

，垂足为K，则△AKF的面积是

A．4B．33C．43D．8

12．函数22()cos2cos

2

x

fxx的一个单调增区间是

A．

2

(,)

33



B．(,)

62



C．(0,)

3



D．(,)

66





二、填空题

13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委

员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作

答）

14．函数()yfx的图象与函数

3

log(0)yxx的图象关于直线

yx

对称，则

()fx____________。

15．等比数列{}

n

a的前n项和为

n

S，已知

1

S，

2

2S，

3

3S成等差数列，则{}

n

a的公比

为______。

16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱

的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。

三、解答题

17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

2sinabA

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cossinAC的取值范围。

18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数



的分布列为

12345

P0.40.20.20.10.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利

润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，



表示经销一件该商品的利

润。

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的

概率()PA；

（Ⅱ）求



的分布列及期望E。

19．四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知

45ABC，

2AB

，22BC，3SASB。

（Ⅰ）证明：

SABC

；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小。

20．设函数()xxfxee

（Ⅰ）证明：()fx的导数'()2fx；

（Ⅱ）若对所有0x都有()fxax，求a的取值范围。

21．已知椭圆22

1

32

xy

的左右焦点分别为

1

F、

2

F，过

1

F的直线交椭圆于B、D两

点，过

2

F的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P

（Ⅰ）设P点的坐标为

00

(,)xy，证明：

22

001

32

xy

；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。

22．已知数列{}

n

a中，

1

2a，

1

(21)(2)

nn

aa





，1,2,3,n

（Ⅰ）求{}

n

a的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}

n

b中，

1

2b，

1

34

23

n

n

n

b

b

b







，1,2,3,n，证明：

43

2

nn

ba





，1,2,3,n

D

B

C

A

S