选举人票是什么意思

选举中的数学

2019-07-31

选举，与我们的⽣活息息相关，“初选、复选、海选、⼤选”，这些词充斥在我们的社会⽣活中.⼤到政治选举，如⼈民代表⼤

会选举、总统选举、奥运会主办城市推选，⼩到班级⼲部的选举，每个⼈都或多或少参与过选举或被选举.⽤数学眼光看“选

举”，你对“选举”的认识有多少呢？

⼀、选举⽅法与策略选举

就我们常识范围⽽⾔，选举⽅法可以列出下⾯⼏种：

第⼀法：多数原则.以获最多票的议案作为表决结果，要注意的是，其实⽀持该议案的投票⼈（下称赢家）未必是最⼤多数.

（此法由于民意不浓，现在已经基本不⽤）.

第⼆法：⼤多数原则.以获半数以上（常称简单多数）票数的议案作为表决结果.

第三法：逐轮表决.在⼤多数原则下，将所有议案两两进⾏表决，能在捉对表决中每次都胜出的议案才作为表决结果（其时赢

家称之为鹰派赢家）.

第四法：记分法.选举⼈以递降⽅式给诸议案打分并累计积分，以各议案累积分多少排出次序，获最⾼分的议案为表决结果.

任何选举结果的公平性⾸先表现在：不管采⽤的是什么选举⽅法，选举结果在某种程度上⾄少代表了相对多数选举⼈的意志.

对⼀个同时是数学家的社会学家来说，他就要进⼀步问：多数是不是意味着绝⼤多数？有没有⼀个使全社会都满意的选举办

法？

在正常情况下，上述任何⼀种表决⽅式都可以得出令⼈满意的选举结果.但是，使选举理论变得复杂起来的原因，是由于策略

表决的出现.所谓策略表决，意思是某些选举⼈为了集团利益或别的原因，在选法中故意不按照⾃⼰的偏爱和意向次序进⾏投

票.在我们⽇常⽣活⾥，通常被认为是投机表决⽽不⾜为训，但在外交、军事或合资企业⾥，则是⼀种合法的选择.

⼆、选举结果与选举规则

⼀个重要的理论是：在竞选者实⼒接近的时候（各⽅⽀持者数量差不多），选举结果只是对选举规则的反映，⽽不⼀定是对选

民意见的反映.什么叫对选举规则的反映？这结论听起来怎么有点违背常理.要说清楚这个问题，我们先来看⼀个例⼦.

例如：假设有三个候选⼈A，B，C.11个⼈来投票，每个投票⼈列出他们对这三个⼈的⽀持程度，也就是给这三个⼈排⼀个从

⽀持到不⽀持的序.结果如下：

3⼈：A>B>C

2⼈：A>C>B

2⼈：B>C>A

4⼈：C>B>A

如果选举规则是每⼈只选⼀个⼈，根据上⾯列出的表我们可以看出A会赢.只选⼀个⼈的结果是A>C>B（得票依次是

5，4，2）.如果选举规则是每⼈可以选两⼈，然后再从前两名中挑出得票最多的（相当于初选加复选），我们可以看到其结

果是B>C>A（得票依次是9，8，5）.这个例⼦说明，同样的选民，同样的意向，因为选举规则的不同可以得出完全相反的结

论.

还有⼀些地⽅（⽐如欧洲⼀些地⽅的选举）对意向采⽤Borda加权（起始于1770年）.对每个意向表，第⼀名得两分，第⼆名

得⼀分.最后把每个⼈的得分加起来看谁的分多谁当选.如果对上⾯的意向表采⽤这个Borda加权，我们得出另⼀个不同的结果

C>B>A（依次得分是12，11，10）.如果⽤另外的加权⽅法，我们还可以得出别的不同结果.同样的意向表，不同的加权，到

底会产⽣多少个不同的结果？有定理说：对N个候选⼈，存在⼀个意向表使得不同的加权会产⽣（N-1）·（N-1）！（“！”读

作“阶乘”）个不同的结果.显然，对加权的限制是前⾯的权要⼤于或等于后⾯的权，另外还要求最后⼀名的权是0.在这种条件

下，如果有10个候选⼈（⽐如美国的总统初选），同样的意向表可以产⽣超过三百万种不同的结果.

有⼈说数学上证明的存在例⼦都是⼈为造出来的特殊情况，实际选举出现这种特例的机会是不多的.对这些怀疑者正好有另⼀

个定理等在那⾥回答.该定理说：如果有三个候选⼈，他们的⽀持度差不多（没有⼈有特别⼤的优势），则有⼤于三分之⼆的

可能性（实际数是69%）选举规则会改变选举结果.三分之⼆可不是⼀个⼩数，⽐⼀半⼤多了.也就是说当各⽅实⼒接近的时

候，选举规则会改变选举结果的时候⽐不会改变结果的时候多⼀倍.以美国2008年的⼤选为例，如果把全体美国⼈的意向列⼀

个意向表，我们⼏乎可以肯定不同的规则会产⽣不同的结果.也就是说对这个意向表不同的加权可以产⽣希拉⾥赢，或者奥巴

马赢，或者麦凯恩赢.

三、数学之眼看美国总统选举

美国总统⼤选⽇那天，愿意投票的美国⼈将把选票投给⾃⼰喜欢的总统候选⼈，这⼀投票过程称为普选.然⽽，很可能会出现

这种可能：某位候选⼈在普选中获胜，但却把总统的位置输给了对⼿.这是怎么回事呢？

原来美国总统⼤选制度有点特别，最后决定⼤选胜负的不是选民票⽽是选举⼈票.美国各州选举⼈票的数量，与该州国会席位

数相等.某位总统候选⼈在哪个州赢得多数选民票，即赢得这个州的全部选举⼈票.这种制度的⼀个可能结果，就是赢得少数选

民票的总统候选⼈反⽽取得最后的胜利.

例如，甲、⼄两⼈竞选总统，假设只有⼤⼩两个州，⼤州有100张选民票，10张选举⼈票；⼩州有10张选民票，1张选举⼈票.

两位候选⼈赢得选民票的情况如下：甲在⼤州得51张，在⼩州得0张，共51张；⼄在⼤州得49张，在⼩州得10张，共59张.显

然，⼄赢得的选民票⽐甲多.再看选举⼈票.由于甲在⼤州赢得多数选民票，因此他赢得⼤州的全部选举⼈票，即甲得10张选

举⼈票；⽽⼄赢得⼩州的全部选民票，即⼄得1张选举⼈票.甲赢得的选举⼈票⽐⼄多，最后结果是甲赢得⼤选.

这种情况在美国历史上曾经出现过两次.

四、⼀个不可能性定理

有关选举理论最重要的⼀项研究，是1972年诺贝尔经济学奖得主，史坦福⼤学教授阿罗（）在1951年发表的⼀条定

理，它正好回答了我们的问题.

不可能性定理：绝对公平的选举系统是不存在的.

他的证明⽤到了数学基础中的公理⽅法（常称ZFC），这是⼀个⼗分困难的数学分⽀，已经完全超出我们的范围.但是，⽤不

多的数学却可以证明，在⼀定条件下，对于每⼀张意向偏爱表，总可以找到⼀个记分法，让⼀个指定的候选⼈当选.

（作者单位：江苏省⾦坛市华罗庚实验学校）

注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。

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