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1．下列幂函数为偶函数的是()

A．y＝x

1

2

B．y＝

3

x

C．y＝x2D．y＝x－1

解析：选C.y＝x2，定义域为R，f(－x)＝f(x)＝x2.

2．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是()

A．5－a＜5a＜0.5aB．5a＜0.5a＜5－a

C．0.5a＜5－a＜5aD．5a＜5－a＜0.5a

解析：选B.5－a＝(

1

5

)a，因为a＜0时y＝xa单调递减，且

1

5

＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.

3．设α∈{－1,1，

1

2

，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为()

A．1,3B．－1,1

C．－1,3D．－1,1,3

解析：选A.在函数y＝x－1，y＝x，y＝x

1

2

，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是

R，且是奇函数，故α＝1,3.

4．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－

1

2

)n>(－

1

3

)n，则n＝________.

解析：∵－

1

2

<－

1

3

，且(－

1

2

)n>(－

1

3

)n，

∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．

又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，

∴n＝－1或n＝2.

答案：－1或2

1．函数y＝(x＋4)2的递减区间是()

A．(－∞，－4)B．(－4，＋∞)

C．(4，＋∞)D．(－∞，4)

解析：选A.y＝(x＋4)2开口向上，关于x＝－4对称，在(－∞，－4)递减．

2．幂函数的图象过点(2，

1

4

)，则它的单调递增区间是()

A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)

C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)

解析：选C.

幂函数为y＝x－2＝

1

x2

，偶函数图象如图．

3．给出四个说法：

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①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；

②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；

③幂函数的图象不可能出现在第四象限；

④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n＜0.

其中正确的说法个数是()

A．1B．2

C．3D．4

解析：选B.显然①错误；②中如y＝x－

1

2

的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知

③、④正确，故选B.

4．设α∈{－2，－1，－

1

2

，

1

3

，

1

2

，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调

递减的α的值的个数是()

A．1B．2

C．3D．4

解析：选A.∵f(x)＝xα为奇函数，

∴α＝－1，

1

3

，1,3.

又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

∴α＝－1.

5．使(3－2x－x2)－

3

4

有意义的x的取值范围是()

A．RB．x≠1且x≠3

C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1

解析：选C.(3－2x－x2)－

3

4

＝

1

4

3－2x－x23

，

∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0，

解得－3＜x＜1.

6．函数f(x)＝(m2－m－1)xm

2－2

m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m

＝()

A．2B．3

C．4D．5

解析：选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m

－3＜0，经检验得m＝2.

7．关于x的函数y＝(x－1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，

1

2

)的图象恒过点

________．

解析：当x－1＝1，即x＝2时，无论α取何值，均有1α＝1，

∴函数y＝(x－1)α恒过点(2,1)．

答案：(2,1)

8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．

解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)为减函数．

答案：α＜0

9．把(

2

3

)－

1

3

，(

3

5

)

1

2

，(

2

5

)

1

2

，(

7

6

)0按从小到大的顺序排列____________________．

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解析：(

7

6

)0＝1，(

2

3

)－

1

3

＞(

2

3

)0＝1，

(

3

5

)

1

2

＜1，(

2

5

)

1

2

＜1，

∵y＝x

1

2

为增函数，

∴(

2

5

)

1

2

＜(

3

5

)

1

2

＜(

7

6

)0＜(

2

3

)－

1

3

.

答案：(

2

5

)

1

2

＜(

3

5

)

1

2

＜(

7

6

)0＜(

2

3

)－

1

3

10．求函数y＝(x－1)－

2

3

的单调区间．

解：y＝(x－1)－

2

3

＝

1

x－1

2

3

＝

1

3

x－12

，定义域为x≠1.令t＝x－1，则y＝t－

2

3

，t≠0为偶

函数．

因为α＝－

2

3

＜0，所以y＝t－

2

3

在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t＝x

－1单调递增，故y＝(x－1)－

2

3

在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．

11．已知(m＋4)－

1

2

＜(3－2m)－

1

2

，求m的取值范围．

解：∵y＝x－

1

2

的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．

∴原不等式化为









m＋4＞0

3－2m＞0

m＋4＞3－2m

，

解得－

1

3

＜m＜

3

2

.

∴m的取值范围是(－

1

3

，

3

2

)．

12．已知幂函数y＝xm

2＋2

m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y的解析式，并讨论此

函数的单调性和奇偶性．

解：由幂函数的性质可知

m2＋2m－3＜0⇒(m－1)(m＋3)＜0⇒－3＜m＜1，

又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.

当m＝0或m＝－2时，y＝x－3，

定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵－3＜0，

∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，

又∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，

∴y＝x－3是奇函数．

当m＝－1时，y＝x－4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵f(－x)＝(－x)－4＝

1

－x4

＝

1

x4

＝x－4＝f(x)，

∴函数y＝x－4是偶函数．

∵－4＜0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数，

又∵y＝x－4是偶函数，

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∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．

1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()

A．y＝x

1

3

B．y＝x－

1

2

C．y＝x

5

3

D．y＝x

2

3

解析：选D.y＝x

2

3

＝

3

x2，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．

2．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－

1

2

，

1

2

，2

四个值，则相应于曲线C

1

，C

2

，C

3

，C

4

的α的值依次为()

A．－2，－

1

2

，

1

2

，2B．2，

1

2

，－

1

2

，－2

C．－

1

2

，－2,2，

1

2

D．2，

1

2

，－2，－

1

2

解析：选B.当x＝2时，22＞2

1

2

＞2－

1

2

＞2－2，

即C

1

：y＝x2，C

2

：y＝x

1

2

，C

3

：y＝x－

1

2

，C

4

：y＝x－2.

3．以下关于函数y＝xα当α＝0时的图象的说法正确的是()

A．一条直线

B．一条射线

C．除点(0,1)以外的一条直线

D．以上皆错

解析：选C.∵y＝x0，可知x≠0，

∴y＝x0的图象是直线y＝1挖去(0,1)点．

4．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)

1

2

的定义域为________．

解析：









1－x≠0

1－x≥0

，∴x<1.

答案：(－∞，1)

1．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，

2

2

)，则f(4)的值为()

A．16B.

1

16

C.

1

2

D．2

解析：选C.设f(x)＝xn，则有2n＝

2

2

，解得n＝－

1

2

，

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即f(x)＝x－

1

2

，所以f(4)＝4－

1

2

＝

1

2

.

2．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是()

A．y＝x

2

3

B．y＝x

3

2

C．y＝x－

1

3

D．y＝x－

3

4

解析：选D.A.y＝x

2

3

＝

3

x2，x∈R；B.y＝x

3

2

＝x3，x≥0；C.y＝x－

1

3

＝

1

3

x

，x≠0；D.y＝x

－

3

4

＝

1

4

x3

，x＞0.

3．已知幂函数的图象y＝xm2－2m－3(m∈Z，x≠0)与x，y轴都无交点，且关于y轴对

称，则m为()

A．－1或1B．－1,1或3

C．1或3D．3

解析：选B.因为图象与x轴、y轴均无交点，所以m2－2m－3≤0，即－1≤m≤3.又图

象关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－2m－3是偶数，∴m＝－1,1,3.故选B.

4．下列结论中，正确的是()

①幂函数的图象不可能在第四象限

②α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点(1,1)和(0,0)

③幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数

④幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内，随x的增大而减小

A．①②B．③④

C．②③D．①④

解析：选D.y＝xα，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y＝x2在(－∞，

0)上为减函数，①④正确．

5．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：选B.y＝x2与y＝x0是幂函数．

6．幂函数f(x)＝xα满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件()

A．α＞1B．0＜α＜1

C．α＞0D．α＞0且α≠1

解析：选A.当x＞1时f(x)＞1，即f(x)＞f(1)，f(x)＝xα为增函数，且α＞1.

7．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________．

解析：设f(x)＝xα，则有3α＝3＝3

1

2

⇒α＝

1

2

.

答案：f(x)＝x

1

2

8．设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．

解析：结合幂函数的图象性质可知p<1.

答案：p<1

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9．如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xα“拼接”而成，

则aa、aα、αa、αα按由小到大的顺序排列为________．

解析：依题意得





a

1

4

＝

1

2



1

4

α＝

1

2

⇒





a＝

1

16

，

α＝

1

2

.

所以aa＝(

1

16

)

1

16

＝[(

1

2

)4]

1

16

，aα＝(

1

16

)

1

2

＝[(

1

2

)32]

1

16

，αa＝(

1

2

)

1

16

，αα＝(

1

2

)

1

2

＝[(

1

2

)8]

1

16

，由幂函数

单调递增知aα＜αα＜aa＜αa.

答案：aα＜αα＜aa＜αa

10．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定

m的值．

解：根据幂函数的定义得：m2－m－5＝1，

解得m＝3或m＝－2，

当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；

当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.

11．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm

2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例

函数；(3)二次函数；(4)幂函数？

解：(1)若f(x)为正比例函数，

则









m2＋m－1＝1

m2＋2m≠0

⇒m＝1.

(2)若f(x)为反比例函数，

则









m2＋m－1＝－1

m2＋2m≠0

⇒m＝－1.

(3)若f(x)为二次函数，

则









m2＋m－1＝2

m2＋2m≠0

⇒m＝

－1±13

2

.

(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±2.

12．已知幂函数y＝xm

2－2

m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求

m的值，并画出它的图象．

解：由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.

又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.

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当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．

∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图(1)．

当m＝1时，y＝x－4，其图象如图(2)．

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