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1

一种D-S合成法则悖论消除方法的不稳定性分析

摘要：首先介绍了证据理论及其合成法则，针对梁昌勇教授提出的合成法则悖论消除方法

进行了分析，说明消除方法的不稳定性。最后，对合成法则的优势和不足加以分析。

关键词：证据理论合成法则悖论可信度分配不稳定性

一、引言

证据理论（或称Dempster-Shafer理论）是从概率论发展而来的一种样本空

间度量理论，它最早始于Dempster关于上下概率分布簇的研究，Dempster的

学生Shefer在1976年给出严格的数学理论并指出信任函数可以表示不确定性知

识及其推理。对比经典概率论的完整理论体系，证据理论的两个基本的证据度量

函数即信任函数和似然函数作为概率函数的推广，它们成立的条件弱于概率函数

（不需要了解命题的先验概率），具有直接表达“不确定性”的能力，对不确定

性问题的处理具有更大的灵活性和更广泛的应用领域。因此，目前该理论已获得

广泛应用，如在信息融合、数据挖掘、模式识别、决策分析模型等等应用领域均

有以证据理论为基础的成功应用案例。但是，该理论尚有一些不尽人意的地方。

尤其是，在理论上缺乏一个大家所认同的合理解释和证据理论（Dempster-Shafer）

合成过程中会产生一些悖论。本文着重分析了悖论产生的原因所在和一种消除方

法的不稳定性，从本质上说明悖论的不可消除性。

二、D-S证据理论基本概念及其合成法则

设U表示X的所有可能取值的论域集合，其所有在U内的元素间是互不相

容的，则称U为X的识别框架。

1、基本概率赋值。设U为一个识别框架，如果函数]1,0[2:UM在满足下

列条件：

（1）0)(M

（2）1)(AM

2

UA时，则称

)(AM

为A的基本概率赋值。

2、信任函数。设U是一个识别框架，]1,0[2:UM是U上的基本概率赋值，

定义函数

]1,0[2:UBEL

)()(BMABEL)(UA

称该函数是U上的信任函数。

3、似真度函数。设U是一识别框架，定义

]1,0[2:UPL

为

)()(1)(BMABELAPL

PL称为似真度函数。

)(APL表示不否定A的信任度，是所有与A相交的集合的基本概率赋值之

和，且有)()(APLABEL，并以)()(ABELAPL表示对A不知道的信息。规定

的信任区间)](),([APLABEL描述A的不确定性。

4、Dempster-Shafer合成法则。证据理论中的合成法则提供了组合证据的两

个规则。设

1

M和

2

M是U2上的两个相互独立的基本概率赋值，确定组合后的基

本概率赋值：

21

MMM

设

1

BEL和

2

BEL是同一识别框架U上的两个信任函数，

1

M和

2

M分别是其对

应的基本概率赋值，焦元分别为

k

AA,,

1

和

r

BB,,

1

，又设

1)()(

211













ji

BA

ji

BMAMK

那么，由下式定义的函数]1,0[2:m是基本可信度分配：















A

BmAm

BmAm

Am

Am

JI

JI

BA

ji

ABA

ji





)()(1

)()(

)(

0)(

21

21

在上式中，若,1K则M确定一个基本概率赋值；若1K，则认为

1

M

和

2

M

完全冲突，不能对基本概率赋值进行合成。以上定义的证据组合规则称为D-S

3

合成法则。

三、合成法则悖论及其消除方法分析

1、合成法则悖论

从证据合成法则中，我们容易看到：如果冲突系数K等于1时，表示证据

完全冲突，此时不能进行合成；当K接近于1时，虽然可以按照合成法则进行

融合，但是由于冲突值接近于1，合成的结果往往会产生悖论，出现的不合理结

果与实际的情况相违背。下面举一个悖论的实例加以具体说明，即著名的Kyburg

悖论。

某地区发生凶杀案，嫌疑人为ba,和c，有两个人向警方提供证据：

1

E：证人e为住在被害人屋子对面的老妇，称事发时段透过窗户看见嫌疑人

a在凶杀现场。

2

E

：证人f为被害人的邻居，称在事发时段看见嫌疑人c在凶杀现场。

假设我们得到如下基本概率指派：

99.0})({

1

am01.0})({

1

bm0})({

1

cm

0})({

2

am01.0})({

2

bm01.0})({

2

cm

对两条证据进行合成，首先计算证据的冲突程度k：

9999.099.001.099.099.001.099.0

)}({})({})({})({})({})({

})({})({})({})({})({})({

212121

212121







bmcmamcmcmbm

ambmcmambmamk

由于kk,1接近1，表示证据冲突程度很大，此时若用D-S证据合成法则

合成，其结果为：

0})({am1})({bm0})({cm

由此可见，两条证据对b的支持度为0.01，但融合结果却是1。也就是说，

两个证人都认为b几乎不可能是杀人犯，但证据合成后，b却确定成为杀人犯。

4

这很显然与常理相违背。

2、悖论消除方法及其分析说明

先后有很多专家教授对此悖论进行了分析修正。本文着重对可信度分配上的

修正进行分析说明。

梁昌勇教授认为：产生悖论的原因是证据

1

E

给予了a过高的概率指派，却给

予c过低的概率指派；而证据

2

E

却恰恰相反。他对上述悖论提出了如下的消除方

法：

考虑到专家给出的概率分配函数是基于自己的专业知识和经验判断，所以，

应当考虑对两位专家的意见进行折衷。如果经过统计得知专家1在类似的判断中

其正确率为

1

；而专家2在类似的判断中其正确率为

2

；称

1

是专家1的权威，

2

是专家2的权威。

就上述悖论而言，若有

8.0

1

，

7.0

2

，对专家1和专家2的原始概

率分配进行修正，修正方法如下：

专家1修正后的概率为

11

)(xAm，

21

)(xBm，

33

)(xCm，其中

321

,,xxx满足：

专家2修正后的概率为

12

)(yAm，

22

)(yBm，

32

)(yCm，其中

321

,,yyy满足：

8.099.0

1

x

1

321

xxx

01.0

32

xx

5

由上述修正的方法可以得到修正后的专家概率为：

792.0)(

1

Am109.0)(

1

Bm099.0)(

1

Cm

1485.0)(

2

Am1585.0)(

2

Bm693.0)(

2

Cm

经计算得，796059.0k；用D-S合成法则进行合成得到：

5767.0)(Am0824.0)(Bm3364.0)(Cm

这样可得到两组证据合成后对A的支持度为0.5767，对B的支持度为

0.0824，对C的支持度为0.3364。

其实，我们不难发现，如果利用梁昌勇教授的修正方法，只要将可信度分配

重新设置一下，就会出现截然不同的结果。具体修正方案如下：

专家1修正后的概率为

11

)(xAm



，

21

)(xBm



，

33

)(xCm



，其中

321

,,xxx



满足：

可以计算得到：

792.0

1





x179.0

2





x029.0

3





x

同理，也对专家2的分配概率赋予同样的数值进行修正，可以计算得到：

029.0

1





y179.0

2





y792.0

3





y

所以，可以计算得到：

7.099.0

3

y

01.0

12

yy

1

321

yyy

8.099.0

1





x

1

321













xxx

15.0

32









xx

6

9220.0

)179.0029.0(029.0)029.0792.0(179.0)792.0179.0(792.0



k

2946.0

9220.01

029.0792.0

)(









Am4108.0

9220.01

179.0179.0

)(









Bm

2946.0

9220.01

029.0792.0

)(









Cm

如果我们再换取另外一组数值可得：

专家1修正后的概率为

11

)(xAm



，

21

)(xBm



，

33

)(xCm



，其中

321

,,xxx



满足：

经计算得，

9405.0

1





x05725.0

2





x00225.0

3





x

同理，也对专家2的分配概率赋予同样的数值进行修正，可以计算得到：

00225.0

1





y05725.0

2





y9405.0

3





y

所以，9925.0k

28215.0)(



Am4357.0)(



Bm28215.0)(



Cm

这样的话，仅仅由于改变了具体的修正数值，就得到了截然不同的结果。并

且，当两个专家对b的支持度较低时，经过了证据合成后，由于他们的意见冲突

明显，却使得对b的支持度得到了明显的效应放大。可见，这个方法并没有从根

本上消除了合成法则的悖论。

四、合成法则及其悖论分析的意义

证据理论的优势：证据理论用集合来表示命题，将对命题的不确定性描述转

95.099.0

1





x

055.0

32









xx

1

321













xxx

7

化为对集合的不确定性描述。讨论的对象是目标集的幂集，在对证据信息的表示

上，能够区分不确定和不知道的差异，对不确定性问题的描述更接近人的思维习

惯，能较好地处理具有模糊和不确定信息的合成问题。

在实际的问题中，由于证据理论对证据的处理灵活，且证据理论对不确定性

的描述更接近于人类的思维习惯，因而，在个体因素起到重要作用的群决策过程

中，证据理论发挥了独特的作用。但是，不同专家给出证据时，尽可能体现自己

的专业知识。因而，在证据合成过程中，会出现两信任函数的焦元不相交即证据

发生冲突的情况。此时，组合规则得到的结论往往是不合理的。对证据组合规则

的改进首先要研究冲突证据的基本信任度分配问题，已有的研究或是把冲突的基

本信任分配加入)(m中，或是假设)0(m用来表示证据理论的冲突，但是

这样就破坏证据推理的封闭性，从而带来其他问题。这些问题在群决策中变得尤

为突出。由此可以看出，证据理论的不足之处为：证据理论计算出的结果在数值

上有时缺乏稳定性，基本概率分配的的微小变化有时可能引起结果的较大变化，

从上述的悖论消除方法及其分析中可以看出。特别是应用于决策分析时，决策结

果的稳定性得不到保障；证据完全冲突时，证据合成法则无法使用。

所以，严格的讲，上述中梁昌勇教授提出的悖论消除方法并未从根本上消除

悖论。从理论本身来讲，由于合成法则成立的条件相对于贝叶斯公式而言，不需

要了解命题的先验概率，即成立条件弱于贝叶斯公式。这样，也就决定了在证据

合成过程中必然有一些不稳定因素的存在，悖论就是成立条件较弱带来的必然结

果，是无法从本质上进行消除的。其实，由于证据冲突明显，证据合成得到的结

果尽管有些情况下和常理相违背，有些情况在一定程度上和实际的决策中还是有

些一致性的。比如，在群决策的过程中，由于利益双方冲突明显争执不下时，往

往决策结果会趋向中立，或者说，本来在决策中处于弱势的第三方往往由于实力

较强两方的冲突严重而受益最大。这样，也就从实际问题的角度出发，说明了合

成悖论存在的合理性和不可消除性。

值得一提的是，张所地等广大学者教授对D-S证据理论的研究为决策理论

的发展作出了应有的贡献。尤其是，张所地教授提出的三个悖论为我们在群决策

中如何更好更合理的利用合成法则提供了很大帮助，为我们划定了一个合成法则

可行的区域和不适用的范围。尽管，梁昌勇教授的悖论消除方法并未从根本上消

8

除合成法则悖论，带来了结果的不稳定性，但是，他提出的消除方法对我们更好

的利用合成法则有很好的启示。通过这种分配度重新分配的方法，使得我们对冲

突的证据不再盲目地全盘否定，提高了合成结果的可靠性与合理性。通过悖论的

分析，我们让经典的D-S证据理论获得了新生，也有了更为广泛的应用领域。

参考文献

[1]张所地：《管理决策论》，高等教育出版社，2001.05.

[2]梁昌勇等：《Dempster-Shafer合成法则悖论的一种消除方法》，系统工程理论与实践，

2005.03

[3]张所地、王拉娣：《Dempster-Shafer合成法则悖论》，系统工程理论与实践，

1997，17（5）：82-85