一对

1对1讲义勾股定理

中小学个性化辅导专家

2

学海教育一对一个性化辅导讲义

学员姓名学校

年级及科目

八年级

数学

教师

Wang

longbiao

课

题

勾股定理及其逆定理

授课时

间：

教学目标

1、掌握勾股定理与逆定理

2、会用逆定理判断三角形的形状

3、会用勾股定理及逆定理解决实际问题

教学内容

【基础知识梳理】

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，

斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平

方和等于斜边的平方

A

B

C

a

b

c

弦

股

勾

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

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3

弦：斜边

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面

关系：a

2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数：满足a

2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：

、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是

勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13

3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，

那么这个三角形是直角三角形。（经典直

角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角

形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c

为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c

为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那

么它所对的直角边等于斜边的一半。

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4

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一

半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段

6.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它

只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就

不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须

明了所考察的对象是直角三角形

7.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

【考点解析】

题型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC中，90C．

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长分析：直接应用勾股定理222abc

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5

题型二：利用勾股定理测量长度

例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以

到达建筑物的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把

实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，

求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

例题2如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立

长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，

它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

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6

解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如

图2.由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知

道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例题3如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F

是AB上一点，且ABFB

4

1

那么△DEF是直角三角形

吗？为什么？

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7

解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头

脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以

开创条件，由ABFB

4

1

可以设AB=4a，那么BE=CE=

2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF

和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和

DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直

角三角形。注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的

必练习题。

题型四：利用勾股定理求线段长度——

例题4如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边

CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，

求CE的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

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8

注：本题接下来还可以求折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂

直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，A

D边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

变式训练

1.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt

①1.5a，2b，2.5c②5

4

a，1b，2

3

c

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9

题型六：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，

一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了

m

A

BC

D

E

【基础自测】一、选择题

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为

（）

A：26B：18C：20D：21

2、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP

的长为（）

A：3B：4C：5D：7

3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的

长为（）

A：5B：10C：25D：5

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10

4、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）

A：43B：3C：23D：3

5、如图一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东

北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东

南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（）

A：36海里B：48海里C：60海里

D：84海里

6、若△ABC中，13,15ABcmACcm，高AD=12,则BC的长为

（）

A：14B：4C：14或4D：

以上都不对

7、如图：有一圆柱，它的高等于cm8，底面直径等于cm4（3）在圆柱下底

面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行

的最短路程大约（）

A、10cmB、12cmC、19mD、20cm

（4题图）

B

A

、8、如图,山坡AB的高BC=5m,水平距离AC=12m,若在山坡上每隔0.65m栽一棵树,则从上到下共()

A.19棵B.20棵

C.21棵D.22棵

二、填空题

A

B

C

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11

D

C

B

A

1、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，

宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面（填

“合格”或“不合格”）；

2、如图所示，以RtABCV的三边向外作正方形，其面积分别

为

123

,,SSS,且

123

4,8,SSS则；

3、将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的

底端的

距离为6米，则梯子的底端到墙的底端的距离

为；

4、如图，90,4,3,12CABDACBCBD,则AD=；

5、写出一组全是偶数的勾股数是；

6、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为

20dm、3dm、2dm，•A和B是这个台阶两个相对的端点，

A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿

着台阶面爬到B点的最短路程是；

7、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶

部抵着地

面，此时，顶部距底部有m；

三、解答题

1、如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，

AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问

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12

C

ABD

几天才能把隧道AB凿通？

2、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，

DB＝9。

(1)求DC的长。

(2)求AB的长。

3、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处

有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海

警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为

40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在

C处将可疑船只截住？

8kmC

A

B

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13

课后作业

一、选择题（每题3分,共18分）

1.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角

三角形的一组是（）

（A）1,2,3（B）2,3,4（C）3,4,5（D）4,5,6

2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长

为12，那么这个

直角三角形的面积是（）

（A）30（B）40（C）50（D）60

3．如图1,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时

梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4

米,则梯足将向外移()

(A)0.6米(B)0.7米(C)0.8米(D)0.9米

(1)(2)

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14

4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自

然数，那么它的周长是（）

（A）132（B）121（C）120（D）以上

答案都不对

5．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角

形周长为（）

（A）22dSd（B）2dSd

（C）222dSd（D）22dSd

6.直角三角形的三边是,,abaab,并且,ab都是正整数,则三角形

其中一边的长可能是()

（A）61（B）71（C）81（D）91

7．已知直角三角形中一直角边长是32cm，斜边长为34cm，

则另一条直角边的长是（）

A.4cmB.34cmC.6cm

D.36cm

8．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的

周长为（）

A．42B．32C．42或32

D．37或33

9．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足

距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那

么梯足将滑动()

A.9分米B.15分米C.5分米

D.8分米

二、填空题（每题3分,共24分）

10.如图2，以三角形ABC的三边为直径分别向三角形外侧作

半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则

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15

此三角形的形状为_____.

11.在RtABC中,3,5ac,则边b的长为______.

12.如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,

一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少

要飞行_____米.

(3)(4)(5)

13.如图4，已知ABC中，90ACB，以ABC的各边为边在ABC外

作三个正方形，

123

,,SSS分别表示这三个正方形的面积，

12

81,225SS，则

3

_____.S

14．如图5,已知，RtABC中，90ACB，从直角三角形两个锐角

顶点所引的中线的长5,210ADBE，则斜边AB之长为______.

15．如图，学校有一块长方形花铺，有极

少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走

出了一条“路”．他们仅仅少走了步路

（假设2步为1米），却踩伤了花草．

“路”

4m

3m

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第15题图

16.在△ABC中，∠C＝90°，（1）已知a＝2.4，b＝3.2，

则c＝；（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等

于；（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝.

17.一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁

条，那么铁条最长可以是．

18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S

△ABC

＝30cm2，

则AB＝.

19.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边

上的高为，面积为.

20.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长

分别为．

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三、简答题

21如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m

的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计

算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?

22．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在

离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫

声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟

至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

5m

13m

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18

24．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城

街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一

条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车

速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速

检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？

25．如图，一块长方体砖宽5ANcm，长10NDcm，CD上的点B距

地面的高8BDcm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬

行的最短路径是多少？

A

小汽车

小汽车B

C

观

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19

学生对于本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○差

学生签字：

教师评定：

1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差

2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差

教师签字：

学海教育教务处