2011中考试题

2011年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

学校______________姓名______________准考证号_________________

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个

．．

是符合题意的

1．

3

4



的绝对值是

A．

4

3



B．

4

3

C．

3

4



D．

3

4

2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665575306人，将665

565306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为

A．766.610

B．80.66610

C．86.6610

D．76.6610

3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A．等边三角形B．平行四边形C．梯形D．矩形

4．如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，对角线AC、BD相交于点O，若1AD，3BC，

则

AO

CO

的值为

A．

1

2

B．

1

3

C．

1

4

D．

1

9

5．北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：

区县大兴通州平谷顺义杯柔

门头

沟

延

庆

昌平密云房山

最高气温

（℃）

32323032

则这10个区县该日气温的众数和中位数分别是

A．32，32B．32，30C．30，32D．32，31

6．一个不透明的盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何

其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为

A．

8

15

B．

1

3

C．

2

15

D．

1

15

7．抛物线265yxx的顶点坐标为

A．

(34)，

B．

(34)，

C．

(34)，

D．

(34)，

8．如图，在RtABC△中，90ACB，30BAC，2AB，

D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD

的垂线交射线CA于点E．设ADx，

CEy

，则下列图象中，

能表示y与x的函数关系的图象大致是

O

D

C

B

A

C

E

D

B

A

x

y

y

y

x

x

y

1

1

11

11

1

22

OOO

x

y

D

C

BA

O

21

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．若分式

8x

x



的值为0，则x的值等于_____________．

10．分解因式：321025aaa

____________．

11．若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是_________．

12．在右表中，我们把第i行第

j

列的数记为

ij

a

，

（其中i，

j

都

是不大于5的正整数），对于表中的每个数

ij

a

，

规定

如下：

当

ij≥

时，1

ij

a

，

；当

ij

时，0

ij

a

，

．例如：

当2i，

1j

时，

21

1

ij

aa

，，

．按此规定，

13

a

，

_______；

表中

的25个数中，共有______个1；计算

4155iiiii

aaaaaaaaaa

，，，，，，，，，，

的值为

__________．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：1

01

2cos30272π

2









o。

14．解不等式：4156xx。

15．已知2220aabb

，求代数式422aababab

的值。

16．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BEDF∥，AF，

ABFD.

求证：AEFC。

17．如图，在平面直角坐标系

xOy

中，一交函数

2yx

的图象与

反比例函数

k

y

x



的图象的一个交点为1,An。

⑴求反比例函数

k

y

x



的解析式；

⑵若P是坐标轴上一点，且满足PAOA，直接写出点P的坐标。

18．列方程或方程组解应用题：

京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家

住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车，已知小王家距上班

地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自

驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到

达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的

3

7

。小

11

a

，12

a

，13

a

，14

a

，15

a

，

21

a

，22

a

，23

a

，24

a

，25

a

，

31

a

，32

a

，33

a

，34

a

，35

a

，

41

a

，42

a

，43

a

，44

a

，45

a

，

51

a

，52

a

，53

a

，54

a

，55

a

，

F

D

BC

A

E

x

y

O

A

-1

1

1

王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在

ABC△

中，

90ACBo,D是

BC

的中点，

DEBC

，

CEAD∥

。若

2AC

，

4CE，求四边形ACEB的周长。

20．如图，在ABC△中，ABAC，以AB为直径的Oe分别

交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且

1

2

CBFCAB

.

⑴求证：直线BF是Oe的切线；

⑵若5AB，

5

sin

5

CBF

，求BC和BF的长.

21．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的统计图的一部分.

轿车拥有车量(万辆)年增长率(%)

北京市2006-2007年

私人轿车拥有量统计图

北京市2006-2007年

私人轿车拥有量的年增长率统计图

年份年份

27

25

19

21

22

276

217

146

121

0

50

100

150

200

250

300

30

25

20

15

10

5

0

2006

请你根据以上信息解答下列问题：

⑴2008年北京市私人轿车拥有量是多少万辆（结果保留三个有效数字）？

⑵补全条形统计图；

⑶汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量.为了解汽车碳排放量的情况，

小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关.如：一辆排量为1.6L的轿

车，如果一年行驶1万千米，这一年，它的碳排放量约为2.7吨.于是他调查了他所

居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示.如果按照小明的统计

数据，请你通过计算估计2010年北京市仅排量为1.6L的这类私人轿车（假设每辆

车平衡行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？

小明居住小区不同排量的私人轿车的数量统计表

排量（L）小于1.6

1.61.8

大于1.8

数量（辆）

29753115

22．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD中，ADBC∥，对角线AC、BD

相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、ADBC的长度为三边长

D

B

E

C

A

O

E

B

F

C

D

A

的三角形的面积．

图1

图2

A

D

BC

O

A

D

B

C

O

E

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造

一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平

移可以解决这个问题．他的方法是过点D作

AC

的平行线交

BC的延长线于点E，得到的BDE△即是以AC、BD、

ADBC的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中BDE△的面积等于________．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，ABC△的三条中线分别为AD、BE、CF．

⑴在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长

度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

⑵若ABC△的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边

长的三角形的面积等于________．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8

分）

23．在平面直角坐标系

xOy

中，二次函数2330ymxmxm的

图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.

⑴求点A的坐标；

⑵当

45ABCo时，求m的值；

⑶已知一次函数

ykxb

，点,0Pn是x轴上的一个动点，在

⑵的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象

于点M，交二次函数2330ymxmxm的图象于点

N。若只有当22n时，点M位于点N的上方，求这个一

次函数的解析式。

24．在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直

线DC于点F．

⑴在图1中证明CECF；

⑵若90ABC，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；

⑶若120ABC，FGCE∥，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求BDG

的度数．

图3

A

F

E

C

D

B

x

y

5

4

3

2

1

123

-1

-2

-3

-4

-5

-3-2-1

O

图1

图2图3

A

B

C

F

E

D

A

D

B

E

C

G

F

A

D

E

C

G

F

B

25．如图，在平面直角坐标系

xOy

中，我们把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆

所组成的图形叫作图形

C

．已知

(10)A，

，

(10)B，

，AEBF∥，且半圆与y轴的交点

D在射线AE的反向延长线上．

⑴求两条射线AE、BF所在直线的距离；

⑵当一次函数

yxb

的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数

yxb

的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

⑶已知平行四边形

AMPQ

（四个顶点A、M、P、

Q

按顺时针方向排列）的各项点

都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

备用图

y

y

x

x

F

F

B

B

O

O

A

A

E

E

D

D

2011年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷参考答案

一、选择题

题号

12345678

答案

DCDBABAB

二、填空题

题号

9101112

答案

825aa圆柱

0151

三、解答题

13．解：1

01

2cos30272π

2









3

22331

2



23331

233．

14．解：去括号，得4456xx．

移项，得4546xx．

合并，得2x．

解得2x．

所以原不等式的解集是2x．

15．解：422aababab

22244aabab

244abb

．

∵2220aabb，

∴0ab．

∴原式40bab．

16．证明：∵

BEDF，∥

∴ABED．

在ABE△和FDC△中，

ABED

ABFD

AF

















，

，

，

∴ABEFDC△△.

∴AEFC．

17．解：⑴∵点1An，在一次函数

2yx

的图象

上，

∴212n．

∴点A的坐标为12，．

∵点A的反比例函数

k

y

x



的图象上，

∴2k．

E

A

CB

D

F

1

O

1

-1

x

y

A

∴反比例函数的解析式为

2

y

x



．

⑵点P的坐标为20，或04，．

18．解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米．

依题意，得

18318

297xx





．

解得27x．

经检验，27x是原方程的解，且符合题意．

答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．

四、解答题

19．解：∵

90ACBDEBC，，⊥

∴ACDE∥.

又∵

CEAD，∥

∴四边形ACED是平行四边形．

∴2DEAC.

在RtCDE△中，由勾股定理得

2223CDCEDE.

∵D是BC的中点，

∴243BCCD.

在RtABC△中，由勾股定理得22213ABACBC.

∵D是BC的中点，

DEBC，⊥

∴4EBEC.

∴四边形ACEB的周长10213ACCEEBBA.

20．⑴证明：连结AE.

∵AB是Oe的直径，

∴90AEB.

∴1290.

∵

ABAC，

∴

1

1

2

CAB

.

∵

1

2

CBFCAB，

∴1CBF.

∴290CBF.

即90ABF.

∵AB是Oe的直径，

∴直线BF是Oe的切线．

⑵解：过点C作CGAB⊥于点G．

∵

5

sin1

5

CBFCBF，，

∴

5

sin1

5



．

∵

905AEBAB，，

∴sin15BEAB.

∵

90ABACAEB，，

∴225BCBE.

由RtABE△中，由勾股定理得

A

C

E

B

D

1

2

G

A

D

C

F

B

E

O

∴

255

sin2cos2

55

，

.

在

RtCBG△

中，可求得

42GCGB，

.

∴

3AG

.

∵GCBF∥，

∴

AGCABF:△△

.

∴

GCAG

BFAB



.

∴

20

3

GCAB

BF

AG





.

21．解：⑴146119%

173.74

174(万辆).

所以2008年北京市私人轿车拥有量

约是174万辆.

⑵如右图.

⑶

75

2762.7372.6

150



(万吨).

估计2010年北京市仅排量为1.6L的

这类私人轿车的碳排放总量约为372.6

万吨.

22．解：BDE△的面积等于1.

⑴如图.

以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是CFP△.

⑵以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于

3

4

.

五、解答题

23．解：⑴∵点AB、是二次函数2330ymxmxm的图象与x轴的交点，

∴令

0y，

即2330mxmx.

解得

12

3

1xx

m

，

.

又∵点A在点B左侧且

0m，

∴点A的坐标为10，.

⑵由⑴可知点B的坐标为

3

0

m







，.

∵二次函数的图象与y轴交于点

C，

∴点C的坐标为03，.

∵45ABC，

∴

3

3

m



.

∴1m.

⑶由⑵得，二次函数解析式为223yxx.

依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二

次函数的

图象交点的横坐标分别为2和2，由此可得交点坐标为25，和

174

轿车拥有车量(万辆)

北京市2006-2010年

私人轿车拥有量统计图

年份

276

217

146

121

0

50

100

150

200

250

300

20092010

A

P

E

F

C

D

B

1

O

B

C

A

y

x

23，.

将交点坐标分别代入一次函数解析式

ykxb

中，

得

25

23.

kb

kb











，

解得

2

1.

k

b











，

∴一次函数的解析式为

21yx

.

24．⑴证明：如图1.

∵AF平分

BAD，

∴BAFDAF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴

ADBCABCD，∥∥

.

∴

DAFCEFBAFF，

.

∴CEFF.

∴CECF.

⑵BDC45.

⑶解：分别连结GB、GE、GC（如图2）.

∵

120ABDCABC，，∥

∴120ECFABC

∵FGCE∥且

FGCE，

∴四边形CEGF是平行四边形.

由⑴得

CECF，

∴CEGFY是菱形.

∴

1

60

2

EGECGCFGCEECF，

.

∴ECG△是等边三角形.

∴

EGCG，

①

60GECEGC.

∴GECGCF.

∴BEGDCG.②

由ADBC∥及AF平分BAD可得BAEAEB.

∴ABBE.

在ABCDY中，ABDC.

∴BEDC.③

由①②③得BEGDCG△△.

∴

BGDE，12.

∴132360BGDEGC.

∴

180

60

2

BGD

BDG





.

25．解：⑴分别连结AD、DB，则点D在直线

AE上，如图1.

∵点D在以AB为直径的半圆上，

∴90ADB.

P

M

N

x

y

A

C

B

O

1

D

E

F

C

B

A

图1

3

21

G

图2

A

B

C

F

E

D

图1

D

E

A

O

B

F

x

y

∴BDAD⊥.

在

RtDOB△

中，由勾股定理得222BDODOB.

∵

AEBF，∥

∴两条射线AE、BF所在直线的距离为

2

.

⑵当一次函数

yxb

的图象与图形

C

恰好只有一个公共点时，

b

的取值是

2b或11b；

⑶假设存在满足题意的

AMPQY

，根

据点M的位置，分以下四种情况讨

论：

①当点M在射线AE上时，如图2.

∵

AMPQ、、、

四点按顺时针方

向排列，

∴直线

PQ

必在直线AM的上方.

∴

PQ、

两点都在

»

AD

上，且不与

点AD、重

合.

∴02PQ.

∵

AMPQ∥

且

AMPQ，

∴02AM.

∴21x.

②当点M在

»

AD

（不包括点D）上时，如图

3.

∵

AMPQ、、、

四点按顺针方向排列，

∴直线

PQ

必在直线AM的下方.

此时，不存在满足题意的平行四边形.

③当点M在

»

DB

上时，

设

»

DB

的中点为

R，

则ORBF∥．

1）当点M在

»

DR

（不包括点R）上时，如

图4．

过点M作OR的垂线交

»

DB

于点

Q，

垂

足为点

S，

可得S是

MQ

的中点．

连结AS并延长交直线BF于点P．

∵O为AB的中点，可证S为AP的中

点．

∴四边形

AMPQ

为满足题意的平行四

边形．

∴

2

0

2

x≤

．

2）当点M在

»

RB

上时，如图5．

直线

PQ

必在直线AM的下方．

此时，不存在满足题意的平行四边形．

M

Q

P

y

x

F

B

O

A

E

D

图2

M

y

x

F

B

O

A

E

D

图3

图4

P

Q

S

R

M

D

E

A

O

B

F

x

y

R

P

1

P

2

P

3

图5

D

E

A

O

B

F

x

y

M

④当点M的射线BF（不包括点B）

上时，如

图6．

直线

PQ

必在直线AM的下方．

此时，不存在满足题意的平行四

边形．

综上，点M的横坐标x的取值范围

是

21x

或

2

0

2

x≤

．

M

y

x

F

B

O

A

E

D

图6

P

3

P

2

P

1