二次函数顶点坐标公式

1

二次函数的顶点式

一、教学目标：

1、经历把二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c通过配方化成顶点式y＝a(x－h)2

＋k的过程，推导出顶点坐标公式，并求其开口方向、对称轴、顶点坐标与最值。

2、在探索过程中，学生经历了知识的产生过程，从而培养勇于探究、积极进取

的精神。

二、重难点：

重点：将二次函数一般式通过配方化成顶点式，并求其有关性质。

难点：运用配方法把二次函数一般式化成顶点式。

三、教学过程：

（一）承上启下，自然导入

通过提问的方式进行复习，讲完第3、4题后，引导学生回忆二次函数y＝a(x

－h)2＋k的性质，再出示：

（二）提出问题，启发思考

师：下面，我们思考一个问题：如何把二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－

h)2＋k的形式？

生：两边加上一次项系数一半的平方。

生：不对，这里只有一边。

生：加上并减去就可以了。

出示：

师：看看，解答过程正确吗？

2

学生很快发现了：应该是y=(x-2)2+1，这里是完全平方差公式。

师：我们总结一下：二次项系数是1的二次函数应该如何配方？

生：加上并减去一次项系数一半的平方。

（三）探索——我行

师：如果二次项系数不是1呢？

出示课件：

学生进入了思考、讨论的状态……

待学生完成后，出示：

师：我们把它这个结果化简一下，看能否得到y＝3x2－6x＋5？

学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。

师：错在哪里？

生：没有把二次项系数提取出来，配方时二次项系数要先化为1。

师：对！二次项系数要先化为1，这是用配方法的前提条件。做错的同学请重

新做一遍。接着出示：

师：这个解答过程正确吗？我们把结果化简一下，看能否得到y＝3x2－6x＋5？

学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。

师：错在哪里？

生：运用乘法分配率时，3没有乖以－12。

出示：

3

师：同学们，自己总结：在配方的时候应注意什么问题。请做以下一道题：

师：这道题将系数3改为－3，又应该怎么做？

学生进入了思考、讨论的状态……

待学生完成后，出示：

师：同学们，看看，这种做法有多少个错误。

课堂气氛顿时活跃起来……

生：第一步，提取－3的时候，括号里的数没有变号。

生：第三步，后面那个5没有加上去。

……

师：现在你们知道配方的时候应该注意什么问题了吧！

学生争先恐后地提出来……

出示：

4

（四）乘胜追击，探究新知

出示：

学生很快作了回答，教师在黑板上板书。

师：如果对每一个二次函数的一般式都先配方成顶点式，再求它的有关性质，

很麻烦。我们能不能把二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c通过配方化成顶点式y＝

a(x－h)2＋k呢？

生：能。

学生都兴致勃勃地投入了运算……

待学生完成后出示：

师：我们把

2

2

4

()

24

bacb

yax

aa



叫做二次函数的顶点式，它的开口方向、对

称轴、顶点坐标分别是什么？

生：开口方向由a决定，a>0则开口向上，a<0则开口向下。对称轴是直线

2

b

x

a



，顶点坐标是

24

(,)

24

bacb

aa



。

出示：

（五）学以致用，勇于创新

5

师：我们运用新学习的知识来求出二次函数y＝－2x2－4x＋8的开口方向、对

称轴、顶点坐标

出示：

让两个学生在黑板进行板演，大家完成后，请别的学生进行评讲。

出示：

师：同学们，你们记住顶点坐标公式了吗？好像很难记啊！还有较快捷的方法

求顶点坐标吗？

学生陷入了沉思……

有学生提出：顶点在二次函数的图象上，可不可以把横坐标

2

b

x

a



代入表达

式求纵坐标？

师：大胆去尝试。

……

生：真的可以，求出的顶点坐标是一样的。

全班学生给予了热烈的掌声……

出示：

（六）巩固深化，拓展思维

出示：

6

让四个学生在黑板上板演，完成后，请别的学生评讲。

出示：

第1题：引导学生理解：最值实际上就是顶点坐标的纵坐标。

第2题：引导学生理解：顶点坐标是（－1，4），那么对称轴就是：直线x=－1。

第3题是第2题的变式。

（七）小结与反思

（八）布置作业

四、教学反思

1、现在的学生是在自主学习、探究为主导的学习环境成长起来的，他们需要的

不是死记硬背，而是建立在本身知识体系上的理解和掌握。

2、本节课体现了学生在学习中的主体地位，有效开展合作交流，给予足够的时

间让学生进行思考、讨论，由学生自行探究、解决问题，教师只是起引导的作用。

7

3、布鲁纳说过：探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展。数学教育

要鼓励学生主动探究，获取科学知识，解决学习中的阻碍。本节课中，教师致力于

创设情境，营造良好的氛围，促使学生积极探究。教师起到了穿针引线的作用，使

学生对问题的研究不断深入，层层推进，从而达到探究目标，培养了学生科学的探

究精神和探究能力。