2012湖北高考数学

第1/5页

试卷类型A

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）

本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方块涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域

内。答在试卷、草稿纸上无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。

考生应该根据直接的选做的题目准确填涂题号，不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区

域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的

1.方程2x

+6x+13=0的一个根是

A-3+2iB3+2iC-2+3iD2+3i

2命题“



x

0

∈C

R

Q，3

0

x∈Q”的否定是

A



x

0

∉C

R

Q，3

0

x∈QB



x

0

∈C

R

Q，3

0

x∉Q

Cx

0

∉C

R

Q，3

0

x∈QDx

0

∈C

R

Q，3

0

x∉Q

3已知二次函数y=f(x)的图像如图所示，则它与X轴所围图形的面积为

A.

2

5



B.

4

3

C.

3

2

D.

2



4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为

A.

8

3



B.3πC.

10

3



D.6π

第2/5页

5.设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=

A.0B.1C.11D.12

6.设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则

abc

xyz







A.

1

4

B.

1

3

C.

1

2

D,

3

4

7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a

n

}，{f

（a

n

）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+

∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x|。

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为

A.①②B.③④C.①③D.②④

8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB

内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A.B.C.D.

第3/5页

9.函数f（x）=xcosx²在区间[0,4]上的零点个数为

A.4B.5C.6D.7

10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，

所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一

个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159…..判断，下列近似

公式中最精确的一个是

二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填

在答题卡对应题号

．．．．．．．

的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）

11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab，

则角C=______________。

12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.

13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。

显然2位回文数有9个：11,22,33„，99.3位回文数有90个：101,111,121，„，

191,202，„，999。则

（Ⅰ）4位回文数有______个；

（Ⅱ）2n＋1（n∈N

+

）位回文数有______个。

14.如图，双曲线的两顶点为A

1

，A

2

，虚轴两端点为B1，

B2，两焦点为F

1

，F

2

。若以A

1

A

2

为直径的圆内切于菱形F

1

B

1

F

2

B

2

，切点分别为

A，B，C，D。则

（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；

（Ⅱ）菱形F

1

B

1

F

2

B

2

的面积S

1

与矩形ABCD的面积S

2

的比值__________。

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位

置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答

结果计分。）

第4/5页

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交

⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB

的中点的直角坐标为_________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知向量a=，b=，设函数f（x）

=a·b+的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若y=f（x）的图像经过点求函数f（x）在区间上的取值范

围。

18.（本小题满分12分）

已知等差数列{a

n

}前三项的和为-3，前三项的积为8.

（1）求等差数列{a

n

}的通项公式；

（2）若a

2

,a

3

,a

1

成等比数列，求数列

n

a

的前n项的和。

19.（本小题满分12分）

如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连

接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD

上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小

第5/5页

20．（本小题满分12分）

根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900

工期延误天数Y02610

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，

0.9，求：

（I）工期延误天数Y的均值与方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。

21.（本小题满分13分）

设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，

点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹

为曲线C。

（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射

影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，

求m的值；若不存在，请说明理由。

22.(本小题满分14分)

（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x>0），其中r为有理数，且0

（II）试用（I）的结果证明如下命题：

设a

1

≥0，a

2

≥0，b

1

，b

2

为正有理数，若b

1

+b

2

=1，则a

1

b1a

2

b2≤a

1

b

1

+a

2

b

2

；

（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当

α为正有理数时，有求道公式(xα）r=αxα-1