珠海市紫荆中学

2021年珠海市香洲区紫荆中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．已知关于x的一元二次方程x2

－x＋a

2

－1＝0的一个根为0，则a的值为（）

A．1B．－1C．±1D．

3．若二次函数y＝x2

－6x＋c的图象过A（－1，y

1

），B（2，y

2

），C（3，y

3

），则y

1

，

y

2

，y

3

的大小关系是（）

A．y

1

＞y

2

＞y

3

B．y

1

＞y

3

＞y

2

C．y

2

＞y

1

＞y

3

D．y

3

＞y

1

＞y

2

4．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都

是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）

A．100（1－x）＝121B．100（1＋x）＝121

C．100（1－x）2

＝121D．100（1＋x）

2

＝121

5．若点P（x，y）在第四象限内，且|x|＝3，|y|＝5，则点P关于原点对称点的坐标是（）

A．（－3，－5）B．（5，－3）C．（－5，3）D．（－3，5）

6．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2

的图象有可能是（）

A．B．

C．D．

7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB

1

C

1

D

1

，边B

1

C

1

与CD交于点O，则四边形AB

1

OD的周长是（）

A．B．2C．1D．3

8．设a，b是方程x2

＋x－2021＝0的两个实数根，则a

2

＋2a＋b的值为（）

A．2019B．2020C．2021D．2022

9．如图，抛物线y＝ax2

＋c与直线y＝mx＋n交于A（－1，p），B（3，q）两点，则不等式

ax2

－mx＋c＜n的解集为（）

A．x＞－1B．x＜3C．x＜－3或x＞1D．－1＜x＜3

10．如图，△ABC为等边三角形，点P从点A出发沿A→B→C路径匀速运动到点C，到达

点C时停止运动，过点P作PQ⊥AC于点Q．若△APQ的面积为y，AQ的长为x，则下

列能反映y与x之间的大致图象是（）

A．B．

C．D．

二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）

11．二次函数y＝x2

＋4的对称轴是．

12．方程2x2

＝x的解为．

13．将抛物线y＝2（x－1）2

＋2向左平移3个单位，向下平移4个单位后所得到的新抛物

线的表达式为．

14．关于x的方程mx2

＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，那么m＝．

15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，

得到△DEC，则AE的长是．

16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α

角（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角α度数为，

△ADF是等腰三角形．

17．已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线yx2

上运动，则AM＋BM的最小值为．

三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）

18．用适当的方法解方程：x2

－4x＋10＝0．

19．如图，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥

x轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为（2，2），求抛物线的函数解析式．

20．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5．求

CD的长．

四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分）

21．已知一元二次方程x2

＋kx＋k0．

（1）求证：不论k为何值，次方程总有两个实数根；

（2）设k＜0，当yx

2

＋kx＋k的图象与x轴两个交点A、B间的距离为4时，求此

二次函数的解析式．

22．如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α

（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连接BE、CF相交于点

D．

（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；

（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

23．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200

个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定

降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价，单

价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部

售出．

（1）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？

（2）请你计算，这批旅游纪念品总获利的最大值与最小值相差多少．

五、解答题（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE

＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接CD、BE，直线CD，

BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．

（1）求证：BE＝CD；

（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对（0°＜α＜90°时加以证明）

（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．

N

M

G

F

E

D

C

B

A

25．在平面直角坐标系xOy中，A（x

1

，y

1

），B（x

2

，y

2

）为抛物线y＝－2x2

＋mxm上

不重合的两点，并且对任意x

1

，x

2

，若x

1

＋x

2

＜1，则恒有（x

1

－x

2

）（y

1

－y

2

）＞0成立．

（1）求m的取值范围；

（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，求顶点移动到最低处时抛物线的解析式；

（3）设（2）中所求抛物线的顶点为点M，将直线MO绕点M逆时针旋转45°后，与该

抛物线的另一个交点为点N，求点N的坐标．