2020高考数学卷子

绝密★启用前

2020

年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共

5

页，

23

题（含选考题）。全卷满分

150

分。考试用时

120

分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1

．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置。

2

．选择题的作答：每小题选出答案后，用

2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3

．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4

．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用

2B

铅笔涂黑。答案写在

答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5

．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1

．若1zi=+，则22zz−=

（）

A

．

0B

．

1C

．2D

．

2

2

．设集合2=|40Axx−

，=|2+0Bxxa

，且|21ABxx=−

，则

a=

（）

A

．

-4B

．

-2C

．

2D

．

4

3

．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥

的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高

与底面正方形的边长的比值为（）

A

．

51

4

−

B

．

51

2

−

C

．

51

4

+

D

．

51

2

+

4

．已知A为抛物线:C()220ypxp=

上一点，点A到C的焦点的距离为

12

，到

y

轴

的距离为

9

，则

p=

（）

A

．

2B

．

3C

．

6D

．

9

5

．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率

y

和温度

x

（单位：℃）的关系，在20

个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(),

ii

xy

（1i=，2，…，20）得到

下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率

y

和温度

x

的回归方程类型的是（）

A

．

yabx=+

B

．2yabx=+C

．xyabe=+D

．

lnyabx=+

6

．函数()432fxxx=−

的图像在点()()11f，

处的切线方程为（）

A

．

21yx=−−

B

．

2+1yx=−

C

．

23yx=−

D

．

2+1yx=

7

．设函数()

π

cos

6

fxx



=+





在π,π−

的图像大致如下图，则()fx

的最小正周期为（）

A

．

10π

9

B

．

7π

6

C

．

4π

3

D

．

3π

2

8

．()2

5y

xxy

x



++





的展开式中33xy的系数为（）

A

．5B

．10C

．15D

．20

9

．已知()0,π

，且3cos28cos5−=，则sin=（）

A

．

5

3

B

．

2

3

C

．

1

3

D

．

5

9

10

．已知

A

，

B

，

C

为球

O

的球面上的三个点，

1

O

为△

ABC

的外接圆．若

1

O

的面积为4，

AB=BC=AC=

1

OO

，则球

O

的表面积为

A

．

64πB

．

48πC

．

36πD

．

32π

11

．已知

M:222220xyxy+−−−=，直线

l

：

220xy++=

，

P

为

l

上的动点，过点

P

作

M

的切线

PA

，

PB

，切点为

A

，

B

，当

PMAB

最小时，直线

AB

的方程为

A

．

210xy−−=

B

．

210xy+−=

C

．

210xy−+=

D

．

210xy++=

12.

若

24

2log=42logabab++

，则

A

．

a

＞

2bB

．

a

＜

2bC

．

a

＞

b2D

．

a

＜

b2

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。

13

．若

x

，

y

满足约束条件

220

10

10

xy

xy

y

+−





−−





+



，则

7zxy=+

的最大值为＿＿＿＿＿．

14

．设

a

，

b

为单位向量，则

1+=ab

，则

ab−=

＿＿＿＿＿．

15

．已知

F

为双曲线

C:()22

22

10,0

xy

ab

ab

−=的右焦点，

A

为

C

的右顶点，

B

为

C

上的

点，且

BF

垂直于

x

轴．若

AB

的斜率为

3

，则

C

的离心率为＿＿＿＿＿．

16

．如图，在三棱锥

P-ABC

的平面展开图，

AC=1

，

AB=AD=3，ABAC⊥，ABAD⊥，

°30CAE=，则cosFCB=＿＿＿＿＿．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

设

n

a

是公比不为1的等比数列，

1

a

为

2

a

，

3

a

的等差中项．

(1)求

n

a

的公比；

(2)若

1

1a=

，求数列

n

na

的前n项和．

18．(12分)

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．

△ABC

是底面

的内接正三角形，P为DO上一点，

6

6

PODO=

．

19．（12分）

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的

两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为

1

2

．

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率．

20．（12分）

已知A，B分别为椭圆()2

2

2

11

x

Eya

a

+=：

的左、右顶点，G为E的上顶点，

8=AGGB

．P

为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点．

21

．已知函数()2xfxeaxx=+−

．

（

1

）当

a=1

时，讨论()fx

的单调性；

（

2

）当

x

≥

0

时，()3

1

1

2

fxx+

，求

a

的取值范围．

（二）选考题：共

10

分。请考生在第

22

、

23

题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22

．

[

选修

4-4

：坐标系与参数方程

]

（

10

分）

在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

1的参数方程为

cos

sin

k

k

xt

yt



=





=





（

t

为参数）．以坐标原点为极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C

2的极坐标方程为

4cos16sin30−+=

．

（

1

）当

k=1

时，

C

1是什么曲线？

（

2

）当

k=4

时，求

C

1与

C

2的公共点的直角坐标．

23

．

[

选修

4-5

：不等式选讲

]

（

10

分）

已知函数()3121fxxx=+−−

．

（

1

）画出

()yfx=

的图像；

（

2

）求不等式

()()1fxfx+

的解集．